新课标2018届高考数学二轮复习题型专项训练7立体几何解答题专项理.doc
题型专项训练7立体几何(解答题专项)1.(2017浙江湖州高三期末)在三棱柱ABC-A1B1C1中,ABC是正三角形,且A1A=AB,顶点A1在底面ABC上的射影是ABC的中心.(1)求证:AA1BC;(2)求直线A1B与平面BCC1B1所成角的大小.2.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为梯形,ADBC,AB=BC=CD=1,DA=2,DP平面ABP,O,M分别是AD,PB的中点.(1)求证:PD平面OCM;(2)若AP与平面PBD所成的角为60°,求线段PB的长.3.在三棱锥A-BCD中,E是BC的中点,AB=AD,BDDC.(1)求证:AEBD;(2)若DB=2DC=AB=2,且二面角A-BD-C为60°,求AD与平面BCD所成角的正弦值.4.如图,在三棱锥P-ABC中,ABC是等边三角形,D是AC的中点,PA=PC,二面角P-AC-B的大小为60°.(1)求证:平面PBD平面PAC;(2)求AB与平面PAC所成角的正弦值.5.如图,四边形ABCD为平行四边形,AB=5,AD=4,BD=3,将BCD沿着BD翻折到平面BC1D处(不与平面ABCD重合),E,F分别为对边AB,C1D的中点.(1)求证:EFBD;(2)若异面直线EF,BC1所成的角为30°,求二面角C1-AB-D的平面角的正切值.6.(2017浙江台州实验中学模拟)如图,已知长方形ABCD中,AB=2,AD=1,M为DC的中点.将ADM沿AM折起,使得平面ADM平面ABCM.(1)求证:ADBM;(2)点E是线段DB上的一动点,当二面角E-AM-D大小为时,试确定点E的位置.参考答案题型专项训练7立体几何(解答题专项)1.(1)证明 如图,设O为底面三角形的中心,A1O底面ABC,A1OBC,ABC为正三角形,连接AO交BC于点D,则ADBC,又ADA1O=O,BC平面A1AD,则AA1BC.(2)解 取B1C1的中点D1,连接A1D1,DD1,由(1)知,BC平面ADD1A1,平面ADD1A1平面BB1C1C,且平面ADD1A1平面BB1C1C=DD1,过点A1作A1HDD1,垂足为H,连接BH,则A1BH为直线A1B与平面BCC1B1所成角.设A1A=AB=2a,可得A1O=a,由AD·A1O=AA1·A1H,得A1H=a.在RtA1HB中,sin A1BH=.直线A1B与平面BCC1B1所成角为45°.2.(1)证明 连接BD交OC于点N,连接MN,OB.因为O为AD的中点,AD=2,所以OA=OD=1=BC.又因为ADBC,所以四边形OBCD为平行四边形,所以N为BD的中点,因为M为PB的中点,所以MNPD.又因为MN平面OCM,PD平面OCM,所以PD平面OCM.(2)解 由四边形OBCD为平行四边形,知OB=CD=1,所以AOB为等边三角形,所以A=60°,所以BD=,即AB2+BD2=AD2,即ABBD.因为DP平面ABP,所以ABPD.又因为BDPD=D,所以AB平面BDP,所以APB为AP与平面PBD所成的角,即APB=60°,所以PB=.3.(1)证明 如图,取BD的中点F,连接EF,AF,E为BC的中点,F为BD的中点,FEDC.又BDDC,BDFE.AB=AD,BDAF,又AFFE=F,AF,FE平面AFE,BD平面AFE,AE平面AFE,AEBD.(2)解 由(1)知BDAF,AFE即为二面角A-BD-C的平面角.AFE=60°.AB=AD,DB=AB=2,ABD为等腰直角三角形,故AF=BD=1,又FE=DC=,AE2=AF2+FE2-2AF·FE·cos AFE=1+-2×1××cos 60°=,即AE=,AE2+FE2=1=AF2,AEFE,又由(1)知BDAE,且BDFE=F,BD平面BDC,FE平面BDC,AE平面BDC,ADE就是AD与平面BCD所成角.在RtAED中,AE=,AD=,AD与平面BCD所成角的正弦值sinADE=.4.(1)证明 由AC平面PBD,又AC平面PAC,所以平面PAC平面PBD,即平面PBD平面PAC.(2)解 PDB就是P-AC-B的平面角,得PDB=60°.作BOPD于点O,连接AO,则ACBO,又ACPD=D,BO平面PAC,BAO就是直线AB与平面PAC所成的角.令AB=2a,则BD=a,BO=BD=a,sinBAO=.5.(1)证明 连接CC1,并取CC1的中点M,连接FM,BM.因为F为C1D的中点,所以FMDC且FM=DC.因为四边形ABCD为平行四边形,所以DCAB.又E为AB的中点,所以FMEB,即四边形FMBE为平行四边形.所以EFMB.因为AB=5,AD=4,BD=3,即AD2+BD2=AB2,所以BDAD,BDBC,BDBC1.因为BCBC1=B,所以BD平面BCC1.又因为BM平面BCC1,所以BDBM,BDEF.(2)解 取BC的中点N,过N作线段AB的垂线交AB的延长线于点H,连接C1N,C1H,由(1)知,异面直线EF,BC1所成的角为C1BM,故C1BM=30°.因为BC=BC1,M为CC1的中点,所以C1BC=60°,即C1BC为正三角形.所以C1NBC.又BD平面BCC1,BD平面ABCD,所以平面ABCD平面BCC1.因为平面ABCD平面BCC1=BC,所以C1N平面ABCD,C1NAB.所以C1HN为二面角C1-AB-D的平面角.在RtC1NH中,C1N=BC=2,NH=NB·sinNBH=BC·,所以tanC1HN=,即二面角C1-AB-D的平面角的正切值为.6.(1)证明 长方形ABCD中,AB=2,AD=1,M为DC的中点,AM=BM=.BMAM.平面ADM平面ABCM,平面ADM平面ABCM=AM,BM平面ABCM,BM平面ADM,AD平面ADM,ADBM.(2)解 过点E作MB的平行线交DM于点F,BM平面ADM,EF平面ADM,在平面ADM中,过点F作AM的垂线,垂足为H,则EHF为二面角E-AM-D的平面角,即EHF=.设FM=x,则DF=1-x,FH=x,在RtFHE中,由EFH=,EHF=,可得EF=FH=x.EFMB,MB=,x=4-2.当点E位于线段DB间,且=2-3时,二面角E-AM-D大小为.5
