高中数学第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算空间向量的数量积运算素材新人教A版选修2_1.doc

空间向量的数量积运算知识点一 求两向量的数量积如图所示，已知正四面体O-ABC的棱长为 a，求·.解 由题意知 | | = | | = | | = a，且，= 120°， ，= 120°，· =·（ ）= ·· ,= a2cos120°a2cos120°0【反思感悟】 在求两向量的夹角时一定要注意两向量的起点必须在同一点，如，60°时， ，120°. 已知长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD4，E为AB1的中点，F为A1D1的中点，试计算：（1）· ；（2）· ；（3）· .解 如图所示，设a，b，c，则|a|c|2，|b|4，a·bb·cc·a0. （1） · = b· （c a ）+b= | b |2 = 42 = 16 .(2)· = （c a +b ）·（ a + c ）= | c |2| a |2 = 22 22 = 0.（3）· = (ca)b·(ba)(abc)·(ba)|a|2|b|22.知识点二 利用数量积求角如图，在空间四边形OABC中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45°，OAB60°，求OA与BC所成角的余弦值解 . 因,所以 · =· ·=|cos ，| | | | cos , =8×4×cos135° 8×6×cos120°所以cos,=.即OA与BC所成角的余弦值为.【反思感悟】在异面直线上取两个向量，则两异面直线所成角的问题可转化为两向量的夹角问题需注意的是：转化前后的两个角的关系可能相等也可能互补在二面角l中，A，B，C，Dl，ABCD为矩形，P，PA，且PAAD，M、N依次是AB、PC的中点(1)求二面角l的大小；(2)求证：MNAB；(3)求异面直线PA与MN所成角的大小(1)解 PA，lPAl，又ADl，PAAD=A，l平面PAD，lPD，故ADP为二面角-l-的平面角，由PA=AD得ADP=45°.二面角-l-的大小为45°.（2）证明 ，()， ， = = ，ADAB，APAB · 0，·0， MNAB.(3)解 设APa，由(2)得 · ··a2，|a，| |a， cos< , >，即异面直线PA与MN所成角为45°.知识点三 利用数量积证明垂直关系如图所示，m，n是平面内的两条相交直线如果lm，ln，求证：l . 证明 在内作任一直线g，分别在l，m，n，g上取非零向量l，m，n，g.因为m与n相交，所以向量m，n不平行由向量共面的充要条件知，存在惟一的有序实数对(x，y)，使gxmyn.将上式两边与向量l作数量积，得l·gxl·myl·n.因为l·m0，l·n0，所以l·g0, 所以lg.即lg.这就证明了直线l垂直于平面内的任意一条直线，所以l.【反思感悟】证明两直线垂直可转化为证明两直线的方向向量垂直，即证明两向量数量积为零已知：在空间四边形OABC中，OABC，OBAC，求证：OCAB.证明 OABC，OBAC，·= 0，·= 0. ·(+)· ( + )= ····=· ·()= ·· · ()·0， ，OCAB.课堂小结：空间两个向量a，b的数量积，仍旧保留平面向量中数量积的形式，即：a·b|a|b|cosa，b，这里a，b表示空间两向量所成的角(0a，b)空间向量的数量积具有平面向量数量积的运算性质应用数量积可以判断空间两直线的垂直问题，可以求两直线夹角问题和线段长度问题即(1)利用aba·b0证线线垂直(a，b为非零向量)(2)利用a·b|a|·|b|cosa，b，cos，求两直线的夹角(3)利用|a|2a·a，求解有关线段的长度问题 一、选择题1若a，b均为非零向量，则a·b|a|b|是a与b共线的( )A充分不必要条件 B必要非充分条件C充要条件 D既非充分也非必要条件答案 A解析 a·b|a|b|cosa，b|a|b|cosa，b1a，b0，当a与b反向时，不能成立2已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a3b|等于( )A. B.C. D4答案 C解析 |a3b|2(a3b)2a26a·b9b216·cos60°913.3对于向量a、b、c和实数，下列命题中真命题是( )A若a·b0，则a0或b0B若a0，则0或a0C若a2b2，则ab或abD若a·ba·c，则bc答案 B解析 A中若ab，则有a·b0，不一定有a0，b0.C中当|a|b|时，a2b2，此时不一定有ab或ab.D中当a0时，a·ba·c，不一定有bc.4已知四边形ABCD满足：*6··>0，·>0，·>0，·*6·>0，则该四边形为( )A平行四边形 B梯形C平面四边形 D空间四边形答案 D5已知a、b是平面内的两个不相等的非零向量，非零向量c在直线l上，则c·a0且c·b0是l的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案 B二、填空题6已知向量a、b满足条件：|a|2，|b|，且a与2ba互相垂直，则a与b的夹角为_答案 45°解析 因为a与2ba垂直，所以a·(2ba)0.即2a·b|a|20，所以2|a|b|·cosa，b|a|20，所以4cosa，b40cosa，b，所以a与b的夹角为45°.7. 已知线段AB,BD在平面内,ABD=120°,线段AC,如果AB=a,BD=b,AC=c,则| |为_答案 解析 |2|22222·2·2·a2b2c22abcos60°a2b2c2ab.|.8已知|a|3，|b|4，mab，nab，a，b135°，mn，则_.答案 解析 由m·n0，得(ab)·(ab)0，列方程解得.三、解答题9. 如图，已知E是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱C1D1的中点，试求向量与所成角的余弦值. 解 设正方体的棱长为m，a，b，c，则|a|b|c|m.a·bb·cc·a0.又ab，ca. ·(ab)·(ca)a·cb·ca2a·ba2m2.又| |m，|m，cos ， = .10已知在平行六面体ABCDABCD中，AB4，AD3，AA5，BAD90°，BAADAA60°.(1)求AC的长(如图所示)； (2) 求 与的夹角的余弦值解 (1)= + + ,|2 = (+ + )2=| |2 + | |2+ | |2 + 2 (· +· + ·)= 42 + 32 + 52 +2（0+10+7.5）= 85.| .(2) 方法一 设与的夹角为,四边形ABCD是矩形,| | = 。由余弦定理可得cos.方法二 设a，b，c，依题意· (abc)·(ab)a22a·bb2a·cb·c16094·5·cos60°3·5·cos60°16910. cos = .6