2021版新高考数学一轮复习单元质检卷四三角函数解三角形B新人教A版202006130311.docx
单元质检卷四三角函数、解三角形(B)(时间:45分钟满分:100分)一、单项选择题(本大题共4小题,每小题7分,共28分)1.(2019广东珠海二模)已知tan =-2,其中为三角形内角,则cos =()A.-55B.255C.55D.-2552.已知函数f(x)=12sin 2x+32cos 2x,把函数f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把所得到的曲线向左平移6个单位长度,得到函数g(x)的图象,则函数g(x)的对称中心是()A.2k+6,0,kZB.2k+2,0,kZC.k+2,0,kZD.k+4,0,kZ3.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,ABC=120°,ABC的平分线交AC于点D,且BD=1,则4a+c的最小值为()A.8B.9C.10D.74.如图,函数y=|tan x|cos x0x<32,x2的图象是()二、多项选择题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)5.已知函数f(x)=Asin(x+)(其中A>0,>0,0<|<)的部分图象如图所示,则下列结论正确的是()A.函数f(x)的图象关于直线x=2对称B.函数f(x)的图象关于点-12,0对称C.函数f(x)在区间-3,6上单调递增D.函数y=1与y=f(x)-12x2312的图象的所有交点的横坐标之和为836.已知ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且a=6,4sin B=5sin C,以下四个命题中正确命题有()A.满足条件的ABC不可能是直角三角形B.当A=2C时,ABC的周长为15C.当A=2C时,若O为ABC的内心,则AOB的面积为7D.ABC的面积的最大值为40三、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.已知ABC是锐角三角形,a,b,c分别是A,B,C的对边.若A=2B,则(1)角B的取值范围是. (2)ab+ba的取值范围是. 8.已知实数a>0,若函数f(x)=a(sin x+cos x)-sin xcos x(xR)的最大值为92,则a的值为. 四、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)(2019重庆渝中区一模)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,2acos C=b.(1)证明:A=C;(2)若B为钝角,ABC的面积为23a2,求ba.10.(15分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知ABC的面积为a23sinA.(1)求sin Bsin C;(2)若6cos Bcos C=1,a=3,求ABC的周长.11.(15分)(2019山东济南一中期末)已知向量a=cos32x,sin32x,b=cosx2,sinx2,且x-23,2.(1)当x=3时,求a·b及|a+b|的值;(2)若函数f(x)=a·b-2|a+b|的最小值是-1,求实数的值.参考答案单元质检卷四三角函数、解三角形(B)1.Atan=-2<0,2<<,则sin=-2cos,代入sin2+cos2=1得cos2=15,则cos=-55,故选A.2.C函数f(x)=12sin2x+32cos2x=sin2x+3.由题意,得g(x)=sinx+2=cosx,所以函数g(x)的对称中心是k+2,0,kZ.3.B由题意得12acsin120°=12asin60°+12csin60°,即ac=a+c,得1a+1c=1,得4a+c=(4a+c)1a+1c=ca+4ac+52ca·4ac+5=4+5=9,当且仅当ca=4ac,即c=2a时,取等号,故选B.4.Cy=|tanx|cosx=sinx,x0,2),32),-sinx,x(2,),函数y=|tanx|cosx0x<32,x2的图象是C.故选C.5.BCD由题图可知,A=2,T4=23-512=4,T=2=,则=2,又2×512+=,=6,满足0<|<,则f(x)=2sin2x+6.f2=-1,f(x)的图象不关于直线x=2对称;f-12=0,f(x)的图象关于点-12,0对称;由x-3,6,得2x+6-2,2,则f(x)在区间-3,6上单调递增;由f(x)=2sin2x+6=1,得sin2x+6=12,2x+6=6+2k或2x+6=56+2k,kZ.取k=0,得x=0或3;取k=1,得x=或43.函数y=1与y=f(x)-12x2312的图象的所有交点的横坐标之和为3+43=83.6.BCDa=6,4sinB=5sinC即4b=5c,设b=5t,c=4t,由36+16t2=25t2,可得t=43,满足条件的ABC可能是直角三角形,故A错误;a=6,4sinB=5sinC,A=2C,可得B=-3C,由正弦定理可得4b=5c,b=5c4,由bsinB=csinC,sinC0,可得4cos2C-1=54,解得cosC=34,sinC=74,可得sinA=2sinCcosC=378,可得c=4,b=5,则a+b+c=15,故B正确;SABC=12bcsinA=1574.设ABC的内切圆半径为R,则R=2Sa+b+c=72,SAOB=12cR=7.故C正确.以BC的中点为坐标原点,BC所在直线为x轴,可得B(-3,0),C(3,0),又4sinB=5sinC,可得4b=5c,设A(m,n),可得4(m-3)2+n2=5(m+3)2+n2,平方可得16(m2+n2-6m+9)=25(m2+n2+6m+9),即有m2+n2+823m+9=0,化为m+4132+n2=4032,则A的轨迹为以-413,0为圆心,半径为403的圆,可得ABC的面积的最大值为12×6×403=40,故D正确.7.6,4322,433(1)A=2B,A+B+C=,C=-3B,ABC是锐角三角形,0<2B<2且0<-3B<2,解得6<B<4.(2)由正弦定理得,ab=sinAsinB=sin2BsinB=2cosB,6<B<4,得22<cosB<32,即2<ab<3,令t=ab(2,3).ab+ba=t+1t=g(t),则g(t)在t(2,3)上单调递增.g(t)322,433.ab+ba的取值范围是322,433.8.522设t=sinx+cosx=2sinx+4,则t-2,2,则t2=sin2x+cos2x+2sinx·cosx=1+2sinx·cosx,sinxcosx=t2-12.g(t)=f(x)=a(sinx+cosx)-sinxcosx=at-t2-12=-12t2+at+12,对称轴方程为t=a>0,当0<a<2时,g(t)max=g(a)=a22+12=92,解得a=22(舍);当a2时,g(t)max=g(2)=-12+2a=92,解得a=522.a的值为522.9.(1)证明b=2acosC,由正弦定理得sinB=2sinAcosC,B=-(A+C),sin(A+C)=2sinAcosC,则sinAcosC+cosAsinC=2sinAcosC,sinAcosC-cosAsinC=0,即sin(A-C)=0,A,C(0,),A-C(-,),则A-C=0,A=C.(2)解由(1)可得a=c,ABC的面积为23a2,12acsinB=23a2,sinB=223,sinB=223>32,且B为钝角,2<B<23,2<-2A<23,6<A<4,12<sinA<22,sin2A=sin(A+C)=sinB=223,sin2A+cos2A=1,sinA=33或sinA=63(舍去).sinA=33,ba=sinBsinA=22333=263.10.解(1)由题设得12acsinB=a23sinA,即12csinB=a3sinA.由正弦定理得12sinCsinB=sinA3sinA.故sinBsinC=23.(2)由题设及(1)得cosBcosC-sinBsinC=-12,即cos(B+C)=-12.所以B+C=23,故A=3.由题设得12bcsinA=a23sinA,即bc=8.由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c=33.故ABC的周长为3+33.11.解(1)因为向量a=cos32x,sin32x,b=cosx2,sinx2,所以a·b=cos32x·cosx2+sin32x·sinx2=cos32x-12x=cosx,|a+b|=(cos32x+cosx2) 2+(sin3x2+sinx2) 2=1+1+2cosx=2+2cosx=4cos2x2=2cosx2,当x=3时,则a·b=cos3=12.|a+b|=2cos6=2×cos6=3.(2)函数f(x)=a·b-2|a+b|=cosx-4cosx2.由于x-23,2,所以x2-3,4,故f(x)=cosx-4cosx2,cosx212,1,进而可得f(x)=2cos2x2-4cosx2-1=2cosx2-2-22-1.当121时,当且仅当cosx2=时,f(x)取得最小值,即f(x)min=-22-1=-1,解得=0.不满足121,故舍去;当>1时,当且仅当cosx2=1时,f(x)取得最小值,即f(x)min=2-4-1=-1,解得=12,不满足>1,故舍去;当<12时,当且仅当cosx2=12时,f(x)取得最小值,即f(x)min=2×14-4×12-1=-1,解得=14,满足<12.综上所述,=14.10
