随机信号与系统课第一章知识题部分答案解析.doc
,第一章 习题1-1 对某一目标进行射击，直到击中为止。如果每次射击命中率为p，试求（1）射击次数的概率分布表；（2）射击次数的概率分布函数。 解：（1）设 事件A：每次射击命中目标 事件B：第n次首次命中目标 则射击次数的概率分布表为：次数123n（2）射击次数的概率分布函数：.1-2 假设测量某一目标的距离时，随机偏差X（单位m）的分布密度为试求在三次测量中，至少有一次测量偏差的绝对值不超过30m的概率。 解：由随机误差分布密度可知，设 事件A：一次测量中的测量误差的绝对值超过30m； 事件B：三次测量中至少有一次测量误差的绝对值不超过30m；则 1-3 对某一目标进行射击，直到击中为止。如果每次射击命中率为p，试求射击次数的数学期望和方差。解：设射击次数为X，由题1-1，知其概率分布函数为，所以其数学期望为.设，则Sn=1+2(1-p)+3(1-p)2+(n-1)(1-p)n-2 +n(1-p)n-1 (1-p)Sn= (1-p)+2(1-p)2+3(1-p)3+ +(n-1)(1-p)n-1+n(1-p)n -，得 pSn=1+(1-p)+(1-p)2+(1-p)3+(1-p)n-1-n(1-p)n，化简得. .射击次数的方差为， ， .设，则Qn=10+21(1-p)+32(1-p)2+(n-1)(n-2)(1-p)n-2 +n(n-1)(1-p)n-1 (1-p)Qn= 10(1-p)+21(1-p)2+32(1-p)3+ +(n-1)(n-2)(1-p)n-1+n(n-1)(1-p)n -，得 pQn=21(1-p)+22(1-p)2+23(1-p)3+2(n-1)(1-p)n-1-n(n-1)(1-p)n，整理得又 ， ， . 1-4 对圆的直径作近似测量，设其值均匀分布在区间a，b内，求圆面积的分布密度和数学期望。解：设X为圆直径的近似测量值，则X的概率密度函数为分布函数为设圆的面积为Y，则Y=X2/4，所以圆面积的分布函数计算得 Y=X2/4， 圆面积Y的数学期望. .1-5 设随机变量X和Y互相独立，且服从正态分布。试证明随机变量Z1=X 2+Y 2与随机变量Z2=X/Y也是独立的。证明：不妨设X和Y均为标准高斯变量，由于， .由于Z1=X 2+Y 2，Z2=X/Y，反解X、Y，可得 或 代入，可得Z1与Z2的联合分布密度为其边缘密度为 有，所以Z1与Z2二者相互独立.1-6 设随机变量X和Y是独立的，且分别服从参数为a和b的泊松分布。试应用特征函数来证明随机变量Z=X+Y服从参数为a+b的泊松分布。证明：（方法一）不妨设，则，因为X、Y相互独立 所以 因此有下式： 所以Z=X+Y服从参数为(a+b)的泊松分布,证毕.（方法二）：由条件可知随机变量X、Y的特征函数分别为所以又X、Y独立，由特征函数性质可知Z=X+Y服从参数为(a+b)的泊松分布,证毕.1-7 设泊松分布为试证明：（1）均值和方差皆为l；（2）特征函数为expl(ejw-1)。证明：（1） .（2）1-8 均值和方差分别为m 和s 2的高斯密度函数为试证明（1）特征函数为（2）高斯变量的中心矩为证明：（1） （2） .令则当k为奇数时，因为被积函数是奇函数，故当m为偶数时，因为被积函数是偶函数，故令 ，证毕.1-9 已知随机变量x1和x2相互独立，且x1，x2N（，2）。试求y=2x1+3x2的概率密度函数。解：.1-10 考虑p阶子回归序列模型式中，ai（i=1，2，p）称为自回归系数；ekN(0，e2)，且Exk-m ek=0，"0< m p。令k=p，p+1，N-1，得到N-p个观测序列xp，xp+1，xN-1，且有上式表示，在给定x1=x0，x1，xp-1T、a=a1，a2，ap和ekN(0，e2)的条件下，观测序列x2=xp，xp+1，xN-1T是由白噪声序列ep，ep+1，eN-1的线性变换而得到的。试求到x2的概率密度p(x2|x1，a，se2)。解：,而Exp ep-m=0，Exp ep0，Exp xp-m=0，0< m p，由Exk-m ek=0可知E(ek-m+ a1xk-m-1+ apxk-m-p) ek=0， Eek-m ek=0，m0.1-11假设x和y是独立的随机变量，且x1，x2N（0，2）。考虑变换试求随机变量r和j 的联合密度函数，并证明二者是相互独立的。解： .由于x1，x2N（0，2），将逆变换x=rcosj，y=rsinj代入，可得. 即为随机变量r和j 的联合密度函数.其边缘密度为，. 有，所以r和j 二者相互独立.1-12设x1和x2是独立的随机变量，且x1，x2N（0，2）。试求随机变量y=x1+x2的密度函数。 解： .1-13 试利用相关函数的定义和限时限带过程的平均谱密度表达式（1.5.34），证明维纳-辛钦公式（1.5.35）。证明：对于平稳随机信号来说，其最终定义的功率谱密度应该为.而 .对于平稳随机信号令，将上式得积分变量变换为和，有所以有,证毕.1-14 如果随机过程x(t)与 y(t)正交，即Rxy()=0，试证明证明： .1-15 设线性定常系统的频率传递函数为式中，sgn(w)为符号函数；W(w)为窗函数，即假设输入信号x(t)是一平稳过程，其自相关函数为试计算在频带01Hz（-2p2p）内系统输出y(t)的平均功率。解： 在频带01Hz内输出的平均功率.1-16 考虑图P1-1所示RC电路，假定该系统的输入过程x(t)是白噪声，Sx(w)=N0/2，N0为常数，试求（1）输入样本x(t)的瞬时功率；RC输入x(t)输出y(t)图P1-1 习题1-16（2）该系统输出样本y(t)的功率谱密度Sy(w)和自相关函数Ry(t)。解：，.，利用留数定理计算上式，得.1-17 在MATLAB/Simulink平台上构造图1-20所示的仿真系统，其中，线性系统用某一低通滤波器来仿真。试分别用正弦信号、白噪声和伪随机序列作为系统的输入信号，从“示波器”观察输出波形；并说明如何选取恰当的输入信号，才能获得正确的系统辨识结果。1-18 试利用分离系统的概念，构造一对互为正交的平稳随机信号。1-19 设随机序列为式中，f1=0.05，f2=0.12；ek为标准高斯白噪声。要求编写MATLAB程序，计算（1）随机序列xk的均值、均方值和均方差；（2）随机序列xk的功率谱。1-20 请编写MATLAB语言程序，分别计算样本函数和高斯白噪声e(t)的自相关函数。1-21 请编写MATLAB程序，分别计算以下两个平稳随机序列的自相关函数和互谱密度。式中，ek是均值为零、方差为1的白噪声。
