北师大版数学必修四-《任意角的正弦函数余弦函数的定义与周期性》导学案(含解析).doc
,第3课时任意角的正弦函数、余弦函数的定义与周期性1.理解通过单位圆引入任意角的正弦函数的意义.2.掌握任意角的正弦函数、余弦函数的定义,能利用角的终边与单位圆的交点坐标写出正弦函数值与余弦函数值.掌握特殊角的正弦、余弦函数值.3.理解并掌握终边相同的角的正弦、余弦函数值相等.4.了解周期函数的定义,并能简单应用.在初中由于学习的知识不够深入和认知的差异,为了便于理解锐角三角函数的概念,我们以锐角为其中一个角构造一个直角三角形,利用不同边的比值定义了该锐角的三角函数(正弦函数、余弦函数、正切函数),但这种定义显然不适应任意角的三角函数的定义,这节课我们将要探寻任意角的三角函数的本质是什么?并能对任意角的三角函数给出一个科学合理的定义.问题1:一般地,在直角坐标系中(如图),对任意角,它的终边与圆交于点P(a,b),则比值叫作角的,记作:sin =;比值叫作角的,记作:cos =,r=.当r=1时,任意角的终边与单位圆交于点P(a,b),我们可以唯一确定点P(a,b),点P的纵坐标b是的函数,称为函数,记作:;点P的横坐标a是的函数,称为余弦函数,记作:.通常我们用x,y分别表示自变量与因变量,将正弦函数表示为,正弦函数值有时也叫正弦值;将余弦函数表示为,余弦函数值有时也叫余弦值.问题2:终边相同的角的正弦函数值、余弦函数值,即若=+2k(kZ),则sin sin ,cos cos .问题3:正、余弦函数值的符号(1)表格表示象限三角函数第一象限第二象限第三象限第四象限sin cos 问题4:周期函数的有关概念(1)一般地,对于函数f(x),如果存在常数T,对定义域内的任意一个x值,都有 ,我们就把f(x)称为周期函数,T称为这个函数的.(2)正弦函数、余弦函数是周期函数,为正弦函数、余弦函数的周期.如-2,2,4等都是它们的周期.其中2是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个,称为.1.若sin <0,cos >0,则的终边(不含端点)在().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知角的终边经过点(-6,8),则cos 的值为().A.-B.C.-D.3.若点P在角的终边上,且|OP|=2,则点P的坐标是.4.在时钟钟面上,分针从如图位置开始顺时针走动,当分针走过1125时,求分针针尖到分针起始位置OA的距离(即A到OA的距离,设分针长为r cm).判断正弦、余弦函数值的符号判断下列各式的符号.(1)cos(-345);(2)sin 175 cos 248.周期函数的证明已知f(x+2)=-f(x),求证:f(x)是周期函数,并求出它的一个周期.利用正弦函数、余弦函数的定义求值已知角的终边在直线y=-x上,求cos -的值.若角的终边落在直线y=-x上,求+的值.若函数f(x)是以为周期的奇函数,且f()=1,求f(-)的值. 已知角的终边经过点P(x,-) (x0),且cos =x,求sin +的值. 1.等于().A.B.C.-D.2.已知cos sin <0,那么角是().A.第一或第二象限角B.第二或第三象限角C.第二或第四象限角D.第一或第四象限角3.求下列式子的值:(1)sin=;(2)cos 405=.4.已知函数f(x)在其定义域上都有f(x+1)=-,求证:f(x)是以2为周期的周期函数.(2011年江西卷)已知角的顶点为坐标原点,始边为x轴的正半轴,若P(4,y)是角终边上一点,且sin =-,则y=.考题变式(我来改编):第3课时任意角的正弦函数、余弦函数的定义与周期性知识体系梳理问题1:正弦余弦角正弦y=sin (R)角y=cos (R)y=sin x(xR)y=cos x(xR)问题2:相同相同=问题3:正正负负正负负正问题4:(1)非零f(x+T)=f(x)周期(2)2k(kZ,k0)最小正周期基础学习交流1.Dsin <0,在第三、四象限及y轴的负半轴上,由cos >0,可知在第一、四象限及x轴的正半轴上,故在第四象限.2.Acos =-.3.(-1,)x=|OP|cos =2(-)=-1,y=|OP|sin =.点P的坐标为(-1,).4.解:1125=3603+45,d=rsin 45=r(cm).重点难点探究探究一:【解析】(1)-345=-360+15是第一象限角,cos(-345)>0.(2)175是第二象限角,248是第三象限角,sin 175>0,cos 248<0,sin 175 cos 248<0.【小结】熟记正弦、余弦函数值在各个象限内的符号是解决此类问题的关键,同时可结合图形帮助理解.探究二:【解析】f(x+4)=f(x+2)+2=-f(x+2)=f(x),f(x)是周期函数,且4是它的一个周期.【小结】一般地,对于函数f(x),如果存在非零实数T,使得对任意x都有f(x+T)=f(x),那么f(x)就是一个周期为T的周期函数,故解决此类问题的关键是找出周期T,并证明上述等式成立.探究三:【解析】求角的正、余弦值关键是确定角的终边上任一点的坐标,所以在角的终边上取一点P(4,-3),则r=|OP|=5.于是sin =-,cos =,所以cos -=+=.问题上述解法全面吗?结论角的终边在一条直线上时,要对角的终边为射线y=-x(x0)还是为射线y=-x(x>0)进行分类讨论.于是,正确解答如下:在角的终边上取一点P1(4,-3).则r=|OP1|=5.于是sin =-,cos =,cos -=.在角的终边上取一点P2(-4,3).则r=|OP2|=5.于是sin =,cos =-,cos -=-=-.综上,cos -的值为或-.【小结】(1)在角的终边上取点,利用定义求sin ,cos ;(2)若终边落在直线上,则需分两种情况讨论.思维拓展应用应用一:当的终边落在第二象限时,+=+=0;当的终边落在第四象限时,+=+=0.+=0.应用二:f(x)是以为周期的奇函数,f(-)=-f()=-f(3+)=-f()=-1.应用三:P(x,-)(x0),点P到原点的距离r=.又cos =x,cos =x.x0,x=,r=2.当x=时,P点的坐标为(,-),由三角函数的定义,有sin =-,=-,sin +=-=-;当x=-时,同理,可求得sin +=.基础智能检测1.B=|sin 120|=.2.C若cos >0,sin <0,则在第四象限;若cos <0,sin >0,则在第二象限.故选C.3.(1)1(2)(1)sin=sin(+6)=sin=1.(2)cos 405=cos(45+360)=cos 45=.4.解:f(x+2)=-=-=f(x),即f(x+2)=f(x).由周期函数的定义可知:函数f(x)是以2为周期的周期函数.全新视角拓展-8r=,且sin =-,所以sin =-,则y=-8.思维导图构建f(x+T)=f(x)
