高中数学北师大版 必修第一册第三章指数运算与指数函数培优专练5.docx

试卷第 1页，共 3页高中数学北师大版高中数学北师大版（2019）必修第一册第必修第一册第三三章章指数指数运算与指数运算与指数函数培优专练函数培优专练 5第第 I I 卷（选择题）卷（选择题）请点击修改第 I 卷的文字说明一、单选题一、单选题1央视人民网报道：2019 年 7 月 15 日，平顶山市文物管理局有关人士表示，郏县北大街古墓群抢救性发掘工作结束，共发现古墓 539 座，已发掘墓葬 93 座该墓地是一处大型古墓群，在已发掘的 93 座墓葬中，有战国时期墓葬 32 座、两汉时期墓葬 56 座、唐墓 2 座、宋墓 3 座生物体死亡后，它机体内原有的碳 14 会按确定的规律衰减，大约每经过 5730 年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”检测一墓葬女尸出土时碳 14 的残余量约占原始含量的 79%，则可推断为该墓葬属于时期（辅助数据：2log 0.790.34）参考时间轴：A战国B两汉C唐朝D宋朝2已知函数()42xxf xaa，在(0,)x的图像恒在x轴上方，则实数a的取值范围是（）A3a B2a C04aD4a 3已知函数1()1,222xf xx，则函数()(2)yf xfx的最大值是（）A7B8C21D224定义在R上的函数 fx满足 121f xf x，当0,1x时，2122xxfx，若 fx在,1n n上的最小值为 23，则n A4B5C6D75已知函数3()1 3xxf x，设ix（1,2,3i）为实数，且1230 xxx给出下列结论：若1230 xxx，则1233()()()2f xf xf x；若1230 xxx，则1233()()()2f xf xf x其中正确的是（）试卷第 2页，共 3页A与均正确B正确，不正确C不正确，正确D与均不正确6 若不等式1214lg1 lg44xxax对任意的,1x 恒成立,则实数a的取值范围是A(-,0B(-,34C0,)D34,)二、多选题二、多选题7高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设xR，用 x表示不超过 x 的最大整数，则 yx称为高斯函数，例如：3.54，2.12.已知函数1()12xxef xe，则关于函数()()g xf x的叙述中正确的是（）A()g x是偶函数B()f x是奇函数C()f x在 R 上是增函数D()g x的值域是 1,0,1E.()g x的值域是 1,08下列函数()f x对任意的正数1x，2x，3x满足123123()()()()f xxxf xf xf x的有A()42sinf xxB()f xxC()xf xeD()ln(1)f xx第第 IIII 卷（非选择题）卷（非选择题）请点击修改第 II 卷的文字说明三、填空题三、填空题9已知 23f xm xmxm，22xg x，若满足对于任意xR，0f x 和 0g x 至少有一个成立，则实数 m 的取值范围是_10若曲线|y|2x1 与直线 yb 没有公共点，则 b 的取值范围为_11定义：如果函数 yf x在区间,a b上存在00 xaxb，满足 0f bf af xba，则称0 x是函数 yf x在区间,a b上的一个均值点，已知函数 142xxf xm在区间0,1上存在均值点，则实数m的取值范围是_.12已知函数 12xfx与 24log240g xxaxa，若对任意的10,1x，都存在20,2x，使得 12f xg x，则实数a的取值范围是_.试卷第 3页，共 3页四、解答题四、解答题13已知函数2()21xxaf x为定义在 R 上的奇函数.（1）求 a 的值；（2）判断函数()f x的单调性，并用单调性定义证明；（3）若关于 x 的不等式()()0ff xf t有解，求 t 的取值范围.14已知函数 231axxf xa 的图象经过点2,0，其中0a 且1a.（1）求a的值；（2）求 fx在区间1,2上的值域.15已知函数2()21xxaf xa为奇函数，其中 a 为实数（1）求实数 a 的值；（2）若0a 时，不等式()20 xff xf t在 1,1x 上恒成立，求实数 t 的取值范围16已知函数2()12xf xa（a是常数）.（1）若1a，求函数()f x的值域；（2）若()f x为奇函数，求实数a.并证明 fx的图像始终在1()21xg x的图像的下方；（3）设函数21()()1h xf x，若对任意123,0,1x x x，以123,h xh xh x为边长总可以构成三角形，求a的取值范围.答案第 1页，共 16页参考答案参考答案1B【分析】根据题意得到函数关系式57301(0)2tPt，代入数据计算得到答案.【详解】生物体内碳 14 的含量P与死亡年数t之间的函数关系式为57301(0)2tPt5127300.79log 0.795 327 01tPt1225730 log 0.795730 log 0.791948t 2019 194871，对应朝代为汉故选B【点睛】本题考查了函数的应用，意在考查学生的应用能力.2D【分析】根据题意令2xt，由(0,)x则1,t，则函数2ytata，则问题转化成20tata在1,t上恒成立，化简不等式211111tatttt 恒成立，根据基本不等式可求21tt 的范围，再根据恒成立思想，可求参数取值范围.【详解】令2xt，(0,)x则1,t，函数化成2ytata则函数()42xxf xaa，在(0,)x图象恒在x轴上方，可转化成20tata在1,t恒成立，故21tat在1,t恒成立，答案第 2页，共 16页则有221 1111121111tttttttttt 且10t 则22241tt，又21tat在1,t恒成立，则2min41tat故a的范围4a 故选：D【点睛】本题考查换元法转化函数恒成立问题，考查计算能力，有一定难度.3B【分析】根据题意，得出函数y的解析式212122xxy，并根据函数的性质求出函数y的定义域，再利用换元法令12xt，得到关于t的二次函数()f t，再根据二次函数的性质即可得出()f t的最大值，即函数()(2)yf xfx的最大值【详解】由题意得，211()(2)222xxyf xfx，()f x的定义域为2 2,()(2)yf xfx的定义域应满足222x 即1,1x 令12xt，则1,22t则21()2,22yf tttt 可知，()f t在1,22上是单调递增的，max()(2)8f tf即函数()(2)yf xfx的最大值为 8答案第 3页，共 16页故选 B【点睛】本题主要考查求复合函数的定义域以及利用换元法求函数的最值4B【分析】根据0 x，1时，2231()(21)(22)23 22(2)24xxxxxf x，研究其最小值，再考虑当1x，2、2，3时，相应函数的最小值，总结规律即可得到结论【详解】当0 x，1)时，()(21)(22)xxf x 223123 22(2)24xxx，01x ，1 22x，当322x，23log2x 时，f1()4minx；当1n，即1x，2时，有10 x ，1，1231(1)(2)24xf x1231()2(1)12(2)22xf xf x，01 1x，11 22x，当1322x，2log 3x时，f1()2minx，当2n，即2x，3，有20 x，1，2231(2)(2)24xf x，2231(1)2(2)12(2)22xf xf x，223()2(1)14(2)22xf xf x，则2322x，即2log 6x 时，()f x取得最小值 2；同理可得当3n，即3x，4，()f x的最小值为2 2 15 ，当4n，即4x，5，()f x的最小值为25111，当5n，即5x，6，()f x的最小值为2 11 123 故选：B【点睛】本题考查函数的最值的求法，注意运用指数函数和二次函数的性质，考查学生分析解决问题的能力，有一定的难度答案第 4页，共 16页5A【分析】令 1()2g xf x，得到 g x为递增函数，且为奇函数，中，不妨设1230,0,0 xxx，结合1212(,()A xxf xx，利用直线OA的方程得到 1212()g xg xg xx，进而得到 123()0g xg xg x，可判断正确；中，不妨设1230,0,0 xxx，得到点2323(,()B xxf xx，利用直线OB的方程得到2323()g xg xg xx，进而得到 123()0g xg xg x，可判定正确.【详解】令函数 131311121322132 13xxxxxg xfx，可得函数 g x为单调递增函数，又由3131()()02(1 3)2)(1 3xxxxg xgx，即()()gxg x，所以函数 g x为奇函数，图象关于点(0,0)对称，如图（1）所示，中，因为1230 xxx，且1230 xxx，则312()xxx，不妨设1230,0,0 xxx，则点1212(,()A xxf xx，此时直线OA的方程为1212()f xxyxxx，可得121211221212()(),g xxg xxg xx g xxxxxx，则12121212121212()()()g xxg xxg xg xxxg xxxxxx，可得 1212()0g xg xg xx，又由31212()()g xgxxg xx，所以 123()0g xg xg x，即123111()0222fxfxf x，即1233()()()2f xf xf x，所以正确；中，若1230 xxx，不妨设1230 xxx，则123()xxx，不妨设1230,0,0 xxx，答案第 5页，共 16页则点2323(,()B xxf xx，此时直线OB的方程为2323()f xxyxxx，可得232322332323()(),g xxg xxg xxg xxxxxx，则23232323232323()()()g xxg xxg xg xxxg xxxxxx，可得2323()0g xg xg xx，又由 12323()()g xgxxg xx，所以 123()0g xg xg x，即123111()0222fxfxf x，即1233()()()2f xf xf x，所以正确.故选：A.【点睛】方法点拨：令函数 1()2g xf x，得到函数 g x为递增函数，且为奇函数，求得点答案第 6页，共 16页1212(,()A xxf xx和2323(,()B xxf xx，结合直线OA和OB的方程，得出不等式关系式是解答的关键.6B【解析】由12(1)4lg(1)lg44xxax，得(1)12(1)4lglg44xxxa，即1 2(1)44lglg44xxxa所以1 2(1)44xxxa，124xxa即11()()42xxa 对任意的,1x 恒成立设11()()()42xxf x，,1x，由1()4xy 与1()2xy 都是,1上的减函数，则 fx为减函数故 min314fxf，34a，故选 B【方法点晴】本题主要考查指数与对数的运算法则以及不等式恒成立问题，属于难题不等式恒成立问题常见方法：分离参数 afx恒成立(maxafx可)或 afx恒成立（minafx即可）；数形结合(yf x图象在 yg x上方即可)；讨论最值 min0fx或 max0fx恒成立；讨论参数.本题是利用方法 求得a的最大值.7BCE【分析】计算(1),(1)gg得出(1)(1),(1)(1)gggg 判断选项 A 不正确；用函数的奇偶性定义，可证()f x是奇函数，选项 B 正确；通过分离常数结合复合函数的单调性，可得出()f x在 R 上是增函数，判断选项C正确；由xye的范围，利用不等式的关系，可求出11()22f x，进而判断选项 E 正确，选项 D 不正确，即可求得结果.【详解】根据题意知，e111()1 e221 exxxf x.e1(1)(1)01e2gf，答案第 7页，共 16页11(1)(1)112gfe，(1)(1),(1)(1)gggg，函数()g x既不是奇函数也不是偶函数，A 错误；e111()()1 e21 e2xxxfxf x，()f x是奇函数，B 正确；由复合函数的单调性知11()21xf xe在 R 上是增函数，C 正确；e0 x，1e1x，1101,10,11xxee 11()22f x，()()1,0g xf x，D 错误，E 正确.故选:BCE.【点睛】本题考查函数的新定义，考查函数的奇偶性、单调性和值域，研究函数的单调性和值域要注意分离常数，属于较难题.8ABD【分析】根据四个选项中的函数证明不等式123123()()()()f xxxf xf xf x成立或举反例说明不成立(举反例时中让123xxx)【详解】A123123()42sin()6f xxxxxx，123123()()()42sin42sin42sin6f xf xf xxxx，A 正确；B212312312231123()222xxxxxxx xx xx xxxx，123123xxxxxx，B 正确；C1231xxx时，1233xxxeeeee，C 错；D12312312231 3123123(1)(1)(1)11xxxx x xx xx xx xxxxxxx，123123123ln(1)(1)(1)ln(1)ln(1)ln(1)ln(1)xxxxxxxxx，D 正确故选：ABD答案第 8页，共 16页【点睛】本题考查正弦函数、幂函数、指数函数、对数函数的性质，对于函数的性质123123()()()()f xxxf xf xf x，正确的需进行证明，错误的可举一反例说明94,0【分析】作出符合题意的图象,利用数形结合思想,先判断函数 22xg x 0的取值范围,再根据 0f x 和 0g x 至少有一个成立,列出实数m需要满足的不等式即可.【详解】由题意作图如下：由题意可得，对于任意xR,fx和 g x至少有一个小 0.因为 22xg x，所以当1x 时,0g x,当1x时,0g x 所以对于抛物线 23f xm xmxm的图象开口必向下，且与x轴交点的横坐标小于1，所以02131mmm，解得40m.故答案为:4,0【点睛】本题主要考查利用数形结合思想解决指数型函数与二次函数相结合的问题及对函数图象的判断;其中作出符合题意的图象是求解本题的关键;属于综合型强、难度大型试题.答案第 9页，共 16页101,1【解析】画出曲线|y|2x1 与直线 yb 的图象如图所示由图象可得|y|2x1 与直线 yb 没有公共点，则 b 应满足的条件是 b1，1112,1【分析】函数 142xxf xm在区间0,1上存在均值点，关于 x 的方程 11041 021xxf xmff在0,1内有实数根。求出函数 fx的值域，包含元素1 即可。【详解】函数 142xxf xm在区间0,1上存在均值点，关于 x 的方程 11041 021xxf xmff在0,1内有实数根。由 2214222 2211xxxxxf xmmm ，()21,2x，可得 22210,1,2111,xxf xmmm .要使方程 1f x 在0,1内有实数根，则11,mm ，即1121mmm 。故答案为：2,1。【点睛】本题考查了指数函数和二次函数复合函数的值域问题，将指数函数看成一个整体，通过换元法求得二次函数的值域即可。本题属于中等题。答案第 10页，共 16页122,【分析】求出函数 yf x在区间0,1上的值域为1,12，由题意可知，由41log12u，可得出24u，由题意知，函数224uxax在区间0,2上的值域包含2,4，然后对a分01a、12a、2a 三种情况分类讨论，求出函数224uxax在区间0,2上的值域，可得出关于实数a的不等式（组），解出即可.【详解】由于函数 12xfx在0,1上的减函数，则10111222x，即 112fx，所以，函数 12xfx在区间0,1上的值域为1,12.对于函数 24log24g xxax，内层函数为224uxax，外层函数为4logyu.令41log12u，得24u.由题意可知，函数224uxax在区间0,2上的值域包含2,4.函数224uxax的图象开口向上，对称轴为直线0 xa.（i）当01a时，函数224uxax在区间0,a上单调递减，在区间,2a上单调递增，则2min4ua，maxmax 4,8484uaa，即2484aua，此时，函数224uxax在区间0,2上的值域为24,84aa，由题意可得242844aa，解得2a ，此时，a；（ii）当12a时，函数224uxax在区间0,a上单调递减，在区间,2a上单调递增，则2min4ua，maxmax 4,844ua，即244au，此时，函数224uxax在区间0,2上的值域为24,4a，由题意可得242a，解得2a 或2a，此时22a；（iii）当2a 时，函数224uxax在区间0,2上单调递减，则min84ua，max4u，答案第 11页，共 16页则函数224uxax在区间0,2上的值域为84,4a，由题意可得842a，解得32a，此时，2a.综上所述，实数a的取值范围是2,.【点睛】本题考查指数函数与对数函数的综合问题，根据任意性和存在性将问题转化为两个函数值域的包含关系是解题的关键，在处理二次函数的值域问题时，要分析对称轴与区间的位置关系，考查分类讨论思想、化归与转化思想的应用，属于难题.13（1）1a；（2）fx在 R 上单调递增，证明见解析；（3）,1.【分析】（1）根据奇函数的定义得到 fxfx，利用指数幂的运算化简可求得a的值；（2）先取12xx，然后将 12f xf x通分化简分解因式，并结合指数函数的单调性判定 12f xf x与0的大小关系，可证明出 fx在 R 上的单调性；（3）利用 fx的奇偶性和单调性将问题转化为2121xxt 有解.根据指数函数的值域求解出2121xx的取值范围，从而可求t的取值范围.【详解】（1）因为 fx为奇函数，所以 fxfx，所以222121xxxxaa，所以2122121xxxxaa 且120 x，所以212xxaa，所以 1212xxa，所以1a；（2）fx在R上单调递增，证明如下：由条件知 2121xxf x，任取12xx，所以 12211212121221212121212121212121xxxxxxxxxxfxfx12122 2221 21xxxx，又因为12xx，2xy 在 R 上单调递增，答案第 12页，共 16页所以12220 xx且1221210 xx，所以 120f xf x，所以12fxfx，所以 fx在 R 上单调递增；（3）()()0ff xf t有解即()()ff xf t 有解，由 fx的奇偶性可知进一步等价于()()ff xft有解，由 fx的单调性可知进一步等价于()f xt 有解，即关于x的不等式2121xxt 有解.2121 221212121xxxxx ，因为211,x，所以20,221x，211,121x，所以2121xx的取值范围是1,1，所以1t ，所以1t，即t的取值范围是()1，.14（1）2a（2）7,63【分析】（1）根据指数函数定点01a，求解参数.（2）根据复合函数单调性，令 223 12g xxxx为内层函数，求解()g x范围，再求值域.【详解】解：（1）依题意得12210afa，则1021aaa，所以102a，解得2a.（2）因为2a，所以 22321xxf x，设函数 223 12g xxxx，易知函数 g x在区间1,2上为增函数.答案第 13页，共 16页又因为 13g，26g，所以 36g x.因为2xy 为增函数，所以 763f x，即 fx在区间1,2上的值域为7,63.【点睛】本题考查：（1）指数函数定点问题（2）复合函数单调性问题，有一定难度.15（1）；（2）1,5.【分析】（1）由函数2()21xxaf xa为奇函数，可得()()fxf x，代入整理可得：2222(2)1(2)xaax，所以21a，即可得解；（2）若0a，由（1）知1a，所以212()12121xxxf x，根据复合函数单调性所以()f x为增函数，又因为()f x为奇函数，由题意可得：()20 xf xt，构造函数进行分类讨论即可得解.【详解】（1）由函数2()21xxaf xa为奇函数，可得()()fxf x，代入可得：222121xxxxaaaa，整理可得：2222(2)1(2)xaax，所以21a，解得：1a ；（2）若0a，由（1）知1a，所以212()12121xxxf x，由2x为增函数，21xu 为增函数且210 xu ，又因为2u为减函数，所以2u为增函数，所以()f x为增函数，又因为()f x为奇函数，由()20 xff xf t可得：()20 xf xt，答案第 14页，共 16页即21+2021xxxt在 1,1x 上恒成立，若0t，1x 时不成立，故0t，令2xs，则1(,2)2s，整理可得：2(1)10t sts，令2()(1)1g st sts，若1122tt或122tt需131()0242gt，(2)610gt，可得1156t 或12t ，若11222tt，需1()02tgt，解得1125t ，综上可得：实数 t 的取值范围为1,5.【点睛】本题考查了分式函数的奇偶性和单调性，考查了转化思想和分类讨论思想，计算量较大，属于较难题.本题所用方法有：（1）复合函数的同增异减原理的应用；（2）利用单调性解不等式，关键是求出函数单调性，误区为直接代入；（3）构造二次函数求参数范围，主要利用二次函数的性质进行分类讨论.16（1）(1,1)（2）1a；证明见解析（3）(,32)(2,)a 【分析】（1）把1a 代入后反解可得1201xyy，解分式不等式即可；（2）直接利用奇函数的定义代入即可求解，利用作差法即可证明结论；（3）由题意可得minmax2()()h xh x，结合221()()124xfah xx，利用换元法转化为24tay，1,2t，再结合二次函数的性质即可.答案第 15页，共 16页【详解】（1）由题意，2()12xf xa（a是常数），当1a 时，此时21()21xxf x-=+，即2121xxy，整理可得121xyy，因20 x，则101yy，即110yy，解得11y，故函数 fx的值域为1,1.（2）由题意，()f x为奇函数，则()()0f xfx，即2211022xxaa，化简得2(1)22(1)0 xxaa，22xx恒不为零，10a 且2(1)0a，解得1a，此时21()21xxf x-=+，211212()()2102121xxxxxf xg x，即()f x的图像始终在1()21xg x的图像的下方.（3）由题意，得minmax2()()h xh x，2211()2()14xh xaf x，令2,1,2xtt，则21(),1,24ytat，其对称轴为ta，当2 a，即2a 时，此时21(),1,24ytat单调递减，minmax2()()h xh x，即22112(2)(1)44aa，解得32a 或32a ，32a ；当322a ，即322a 时，此时21(),1,24ytat先减后增左端点高，minmax2()()h xh x即212 0(1)4a，无解；当312a ，即312a 时，此时21(),1,24ytat先减后增右端点高，minmax2()()h xh x即212 0(2)4a，无解；当1a，即1a 时，此时21(),1,24ytat单调递增，答案第 16页，共 16页minmax2()()h xh x即22112(1)(2)44aa，解得2a 或2a，2a；综上，,322,a .【点睛】本题综合考查了函数的奇偶性，二次函数闭区间最值的求解，体现了分类讨论思想及转化思想的应用，还考查了一定的逻辑推理的能力，属于中档题.