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三角恒等式第1页，本讲稿共83页一、知识提要 1、同角三角比八个基本关系式 倒数关系：SinCsc=1 CosSec=1 tgCtg=1 第2页，本讲稿共83页 商数关系：Sin =tg CosCos =Ctg Sin1、同角三角比八个基本关系式 第3页，本讲稿共83页 平方关系：Sin2 2+Cos2 2=1tg2 2+1=Sec2 2Ctg2 2+1=Csc2 21、同角三角比八个基本关系式 第4页，本讲稿共83页附：图示分析 平方关系：三个阴影三角形上面顶点平方和等于下顶点之平方 倒数关系：对角线两顶点之积为1 1、同角三角比八个基本关系式 商数关系：相邻的三顶点中间一个是两旁顶点的乘积。第5页，本讲稿共83页1、同角三角比八个基本关系式 一般的，如果已知角三角比，并已知终边所在象限，角可唯一确定。若未知范围，可根据终边象限讨论，并相应求出三角比。第6页，本讲稿共83页 证明三角恒等式时，如果式中含有正 余切割，同时又含有正余弦，一般化 弦，若仅含切割则不必了。证明三角恒等式按由繁至简原则，或 左至右，右至左，或左右归一，总 之两端异化同。第7页，本讲稿共83页2、两角和与差的余弦、正弦 本节从证明两角差的余弦公式出发，通过不同的变换，再逐步推导出两角和的余弦及两角和与差的正弦，说明公式间有密切的内在联系。从这个角度准确理解，掌握好公式，才能提高运用公式解决问题的技巧。第8页，本讲稿共83页 由本节公式推导而得到的诱导公式尽管有不少组，但本质上只要掌握两个特点。即三角比是否变化、符号如何确定，有这样的普遍规律：对2k及(2k1)的三角比；诱导公式中三角比保持不变，对2k(/2)及2k(3/2)的三角比，诱导公式中三角比发生改变，其次将公式中的理解为锐角，判断诱导的角在哪个象限，再根据三角比在该象限的符号判别其诱导后三角比前取“”或“”符号，归纳为：“奇变偶不变，符号看象奇变偶不变，符号看象限限”。2、两角和与差的余弦、正弦 第9页，本讲稿共83页 对于aSinbCos这样的式子，总 可以化为一个角的三角比形式。2、两角和与差的余弦、正弦 即aSinbCos=a2 2+b2 2 Sin(+)。其中由 a bCos=Sin=a2 2+b2 2 a2 2+b2 2 02来确定。第10页，本讲稿共83页3、两角和与差的正切、余切 两角和的正切公式：两角差的正切公式：这两式成立的条件是：正切符号“tg”后面的角、+、都不等于 tg+tg tg(+)=1 tgtg tg tg tg()=1+tgtg k+(kZ)2 第11页，本讲稿共83页4、二倍角公式 正弦公式：Sin2=2SinCos 余弦公式：Cos 2=Cos2 2 Sin2 2 =2Cos2 2 1 =1 2Sin2 2 正切公式：2tgtg2=1-tg2 2 1 (K+且 K+,KZ)2 2 4第12页，本讲稿共83页运用公式变形：在解题过程中运用以上公式的变形十分重要，这是提高综合能力、提高数学思维素质的有效手段和途径。4、二倍角公式 第13页，本讲稿共83页例如：tg+tg=tg(+).(1 tgtg)tg tg=tg().(1+tgtg)Sin2 Sin=2Cos Sin2 Cos=2SinCos2 2 Sin2 2=1 1+Cos2 Cos2=2 1 Cos2 Sin2=2第14页，本讲稿共83页4、二倍角公式 从本质上理解二倍角公式的含义。2是的二倍，是/2的二倍，4是2的二倍，等等。有的特殊关系式也要记住：1 tg =tg 1+tg 41+tg =tg +1 tg 4第15页，本讲稿共83页5、半角公式 1 Cos Sin =2 2 1+Cos Cos =2 2 1 Cos tg =2 1+Cos第16页，本讲稿共83页5、半角公式 变形公式：Sin 1 Cos tg =2 1+Cos Sin 第17页，本讲稿共83页二、例题分析 例1：已知大于零度小于180度，且 1Sin+Cos=，求Sin和 5Cos的值。第18页，本讲稿共83页例1：已知大于零度小于180度，且 1Sin+Cos=，求Sin和 5Cos的值。分析：若求出sin cos值，1Sin+Cos=联立，5可以求出Sin和Cos的值。将之与第19页，本讲稿共83页例1：已知大于零度小于180度，且 1Sin+Cos=，求Sin和 5Cos的值。解：1Sin+Cos=代入 5把(Sin+Cos)2 2=1+2SinCos得 12SinCos=25 0 180，且 12SinCos=0 25900，Cos0第20页，本讲稿共83页而(Sin Cos)2 2=1 2SinCos 12 25 49 25=1Sin Cos=7 5联立：Sin Cos=7 5Sin+Cos=1 3得：Cos=3 5Sin=4 522=第21页，本讲稿共83页注意：对于任意角，总有(Sin+Cos)2 2=1+2SinCos(Sin Cos)2 2=1 2SinCos这两个等式联系着 Sin和Cos，Sin+Cos，Sin Cos，SinCos关系。第22页，本讲稿共83页本例解法多种：可以利用 Sin2 2+Cos2 2=1Sin+Cos=1 5求Sin由于00时，不在第三象限。第24页，本讲稿共83页例2：已知tg=3，求Sin2 2+SinCos+2Cos2 2的值。第25页，本讲稿共83页例2：已知tg=3，求Sin2 2+SinCos+2Cos2 2的值。分析：由已知条件tg=3，如果将已知式子变为只含式子，就可以求得所需值。第26页，本讲稿共83页例2：已知tg=3，求Sin2 2+SinCos+2Cos2 2的值。解：Sin2 2+2Cos2 2+SinCos Sin2 2+2Cos2 2+SinCos=Sin2 2+Cos2 2 tg2 2+2+tg=tg2 2+1 32 2+3+2=32 2+1 7 5=第27页，本讲稿共83页注：此题注意了 Sin2 2+Cos2 2=1的主动灵活应用，三角函数中1的作用是灵活巧妙的。如：Sin4 4+Cos4 4 =(Sin2 2+Cos2 2)2 2 2Sin2 2Cos2 2 第28页，本讲稿共83页例3：求证：(1+Ctg Csc)(1+tg+Sec)=2 第29页，本讲稿共83页例3：求证：(1+Ctg Csc)(1+tg+Sec)=2 证:原式=Cos 1 Sin 11+1+Sin Sin Cos Cos Sin+Cos 1 Cos+Sin+1=.Sin Cos 2SinCos=2 CosSin第30页，本讲稿共83页例3：求证：(1+Ctg Csc)(1+tg+Sec)=2 解：证 Cos 1 Sin 11+1+Sin Sin Cos Cos Sin+Cos 1 Cos+Sin+1=.Sin Cos 2SinCos=2 CosSin注：此例题体现了化弦。第31页，本讲稿共83页例4：(1)求Sin33Sin12 Cos33 Cos12 7 2 2(2)求Sin Cos Sin Sin 18 9 9 9第32页，本讲稿共83页例4：(1)求Sin33Sin12 Cos33 Cos12 7 2 2(2)求Sin Cos Sin Sin 18 9 9 9解：(1)原式=Cos(33+12)=Cos45=22第33页，本讲稿共83页例4：(1)求Sin33 Cos33 Cos12 7 2 2(2)求Sin Cos Sin Sin 18 9 9 9解：(1)原式=Cos(33+12)=Cos45=22 7 2 2 Sin Cos Sin Sin 18 9 9 9(2)原式=7 2 1 =Sin =Sin =18 9 6 2第34页，本讲稿共83页例4：(1)求Sin33 Cos33 Cos12 7 2 2(2)求Sin Cos Sin Sin 18 9 9 9解：(1)原式=Cos(33+12)=Cos45=22 7 2 2 Sin Cos Sin Sin 18 9 9 9(2)原式=7 2 1 =Sin =Sin =18 9 6 2说明 本题旨在加深学生对公式的正，逆用。第35页，本讲稿共83页例5：已知 3 ，2 4Cos()=，1213Sin(+)=，3 5求Sin2。第36页，本讲稿共83页例5：已知 3 ，2 4Cos()=，1213Sin(+)=，3 5求Sin2。解：3 ，2 4 0 ，4 3+2又 Cos()=1213 Sin()=513Sin(+)=3 5Cos(+)=4 5第37页，本讲稿共83页Sin2=Sin (+)+()=Sin(+)Cos()+Cos(+)Sin()3 5=.+.=1213 4 5 513 56 65第38页，本讲稿共83页Sin2=Sin (+)+()说明 使学生树立相对观点，不但知道+，分别是与两角的和、差。而 且会把2看作两角()与()的和，把2看()与()的差。=Sin(+)Cos()+Cos(+)Sin()3 5=.+.=1213 4 5 513 56 65第39页，本讲稿共83页例6：已知ABC中，SinASinBCosACosB，试判断ABC的形状，并说明理由。第40页，本讲稿共83页例6：已知ABC中，SinASinB0 Cos(A+B)0 ABC ABC，而Cos(A+B)0 CosC0 CosC0 又0C C0时，f(x)的最小值是 2a+2a+b=5，即 b=5，f(x)最大值是 1 2 2a +2a+b=1即 a=2。(2)当a0tg=1 Cos2 1+Cos21+119169119169=1=12 5第70页，本讲稿共83页例14：已知SinCos=，60169且(,)求tg的值。4 2解法三：由已知1+2SinCos=289169又SinCos0，(Sin+cos)2 2=289169Sin+Cos=1713(1)，同样 (Sin cos)2 2=，49169，Sin Cos=713(2)由(1)、(2)式得 Sin=1213Cos=513 tg=12 5第71页，本讲稿共83页说明：的符号，故用半角公式 tg=1 Cos2 Sin2；采用解法二须注意cos2本身是负值，而tg是正值，采用解法三要注意由于的取值范围可确定sin+cos、sin-cos的符号。解法一是根据题设可确定sin2、cos2第72页，本讲稿共83页例15：已知tgA=b a，求证：acos2A+bsin2A=a 第73页，本讲稿共83页例15：已知tgA=，求证：acos2A+bsin2A=a 解：证法一 利用万能置换公式有：左边=aCos2A+bSin2A=a.11+b.2.1+=a.a2 2 b2 2a2 2+b2 2+b.2aba2 2+b2 2=a3 3 ab2 2+2ab2 2 a2 2+b2 2a(a2 2+b2 2)a2 2+b2 2=a=右边。b a b a2 b a2 b a2 b a第74页，本讲稿共83页例16：已知tgA=，求证：acos2A+bsin2A=a 解：证法二 tgA=SinACosA aSinA=bCosA2aSin2 2A=2bCosASinA2aSin2 2A=bSin2Aa(1 Cos2A)=bSin2A acos2A+bsin2A=a b a b a第75页，本讲稿共83页分析：题设中隐含了条件Ak+。看到题例15：已知tgA=，求证：acos2A+bsin2A=a 设中的tgA和求证式中的cos2A，sin2A自然想到用万能置换公式。2 b a第76页，本讲稿共83页例16：已知tg+Sin=m，tg Sin=n 求证：m2 2 n2 2=4 mn第77页，本讲稿共83页例17：已知tg+Sin=m，tg Sin=n 求证：m2 2 n2 2=4 mn证明:m2 2 n2 2(tg+Sin)2 2 (tg Sin)2 2=4tgSin4 mn=4 tg2 2 Sin2 2=4 (Sec2 2 1)Sin2 2=4 tg2 2Sin2 2=4tgSin左右两边都等于4tgsin故相等。第78页，本讲稿共83页例17：已知tg+Sin=m，tg Sin=n 求证：m2 2 n2 2=4 mn解：证明 m2 2 n2 2(tg+Sin)2 2 (tg Sin)2 2=4tgSin4 mn=4 tg2 2 Sin2 2=4 (Sec2 2 1)Sin2 2=4 tg2 2Sin2 2=4tgSin左右两边都等于4tgsin故相等。注：此题体现了知识提要中左右归一的证题思路 第79页，本讲稿共83页三、小结本节重点、难点：1、掌握同角八个三角恒等关系式。第80页，本讲稿共83页2、在两角和与差的公式中，以Cos(+)CosCosSinSin最为基本，应当掌握这一公式的推导过程，其它的一系列公式都可以通过诱导公式，同角关系式或式的变形运算得到，建议同学们在理解、掌握公式的来龙去脉的基础上去认识，记忆公式，而不要死记硬背。第81页，本讲稿共83页3、公式的应用讲究一个“活”字，体现在 以下两个方面。(1)即要熟练地顺着用公式，也要善于 逆着用公式。(2)能够创造条件应用公式。如角的变 换：可表示为(+)，“2”可表示为(+)()等。第82页，本讲稿共83页4、掌握和熟练运用两角的和与差的正 切公式、二倍角的正弦、余弦和正 切公式。5、灵活地选择各有关公式及其变形，进行三角式的化简、求值和证明。第83页，本讲稿共83页