2023高考科学复习解决方案-数学(名校内参版) 第七章7.5正弦定理与余弦定理的应用举例（word含答案解析）.DOC

7.5正弦定理与余弦定理的应用举例(教师独具内容)1正弦定理、余弦定理是在学习了平面向量之后要掌握的两个重要定理，运用这两个定理可以初步解决几何及工业测量等实际问题，是解决有关三角形问题的有力工具2重点提升数学抽象、逻辑推理、数学运算和数学建模素养(教师独具内容)1本考点是近年高考的热点，属于中档题目，以选择题、填空题、解答题形式出现，命题的重点是三角形中基本量的求解2主要考查两个方面：一是利用正、余弦定理求解与距离、高度、角度等有关的实际应用问题；二是利用正、余弦定理解决图形问题(教师独具内容)(教师独具内容)1仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在01水平线上方的角叫仰角，在02水平线下方的角叫俯角(如图)2方位角从指北方向线顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为(如图)3方向角：相对于某一正方向的水平角(1)北偏东，即由01指北方向02顺时针旋转到达目标方向(如图)(2)北偏西，即由03指北方向04逆时针旋转到达目标方向(3)南偏西等其他方向角类似注：区分两种角(1)方位角：从指北方向线顺时针转到目标方向线之间的水平夹角(2)方向角：从指定方向线到目标方向线所成的小于 90的水平角4坡角与坡度(1)坡角：01坡面与水平面所成的二面角(如图，角为坡角)(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图，i 为坡度)坡度又称为坡比5利用正、余弦定理解决实际问题的一般步骤(1)分析理解题意，分清已知与未知，画出示意图(2)建模根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在相关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型(3)求解利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形，求得数学模型的解(4)检验检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)从 A 处望 B 处的仰角为，从 B 处望 A 处的俯角为，则，的关系为180.()(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为0，2.()(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系()(4)方位角大小的范围是0,2)，方向角大小的范围一般是0，2.()答案(1)(2)(3)(4)2如图，在 200 m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是 30，60，则塔高为()A.4003mB400 33mC.200 33mD2003m答案A解析如图，设山顶为 A，塔底为 C，塔顶为 D，过点 A 作 CD 的垂线，交CD 的延长线于点 B，则易得 ABBCtan60，BDABtan30BCtan60tan302003332003(m)，所以 CDBCBD20020034003(m)故选 A.3.如图所示，设 A，B 两点在河的两岸，一测量者在 A 所在的同侧河岸边选定一点 C，测出 AC 的距离为 50 m，ACB45，CAB105后，就可以计算出 A，B 两点的距离为()A50 2 mB50 3 mC25 2 mD25 22m答案A解析在ABC 中，ABC30，由正弦定理得ACsin30ABsin45，即5012AB22，所以 AB50 2 m故选 A.4在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向是南偏西 30，风速是 20 km/h，水的流向是正东，流速是 20 km/h，若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的方向为北偏东_，速度大小为_km/h.答案6020 3解析如图，AOB60，由余弦定理知 OC2202202800cos1201200，故 OC20 3，COy303060.1.(2021全国甲卷)2020 年 12 月 8 日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为 8848.86(单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一如图是三角高程测量法的一个示意图，现有 A，B，C 三点，且 A，B，C 在同一水平面上的投影 A，B，C满足ACB45，ABC60.由 C 点测得 B 点的仰角为 15，BB与 CC的差为 100；由 B 点测得 A 点的仰角为 45，则 A，C 两点到水平面 ABC的高度差 AACC约为(31.732)()A346B373C446D473答案B解析过 C 作 BB的垂线交 BB于点 M，过 B 作 AA的垂线交 AA于点N，设 BCCMm，ABBNn，在ABC中，因为ACB45，ABC60，所以CAB75，所以msin75nsin45.在CBM 中，msin75100sin15，所以nsin45100sin15，解得n20031273.所以 A，C 两点到水平面 ABC的高度差 AACC约为273100373.故选 B.2(2021全国乙卷)魏晋时期刘徽撰写的 海岛算经 是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高如图，点 E，H，G 在水平线 AC 上，DE 和 FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG 称为“表距”，GC 和 EH 都称为“表目距”，GC 与 EH 的差称为“表目距的差”，则海岛的高AB()A.表高表距表目距的差表高B.表高表距表目距的差表高C.表高表距表目距的差表距D.表高表距表目距的差表距答案A解析因为 DEAB，所以DEABEHAH.因为 FGAB，所以FGABGCCA.又 DEFG，所以EHAHGCCA，即EHAEEHGCAEEGGC，解得 AEEHEGGCEH.又 AHAEEH，所以 ABDEAHEHDEAEEHEHDEEGGCEHDE.又 DE 为表高，EG 为表距，GCEH 为表目距的差，所以 AB表高表距表目距的差表高故选 A.3.(2020全国卷)如图，在三棱锥 PABC 的平面展开图中，AC1，ABAD 3，ABAC，ABAD，CAE30，则 cosFCB_.答案14解析ABAC，AB 3，AC1，由勾股定理得 BC AB2AC22，同理得 BD 6，BFBD 6.在ACE 中，AC1，AEAD 3，CAE30，由余弦定理得 CE2AC2AE22ACAEcos301321 3321，CFCE1.在BCF 中，BC2，BF 6，CF1，由余弦定理得 cosFCBCF2BC2BF22CFBC14621214.4(2021新高考卷)记ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知b2ac，点 D 在边 AC 上，BDsinABCasinC.(1)证明：BDb；(2)若 AD2DC，求 cosABC.解(1)证明：在ABC 中，由正弦定理，得 BDbac.又 b2ac，所以 BDbb2，即 BDb.(2)因为 AD2DC，所以 AD23b，DC13b.在ABD 中，由余弦定理，得cosADBDA2DB2AB22DADB23b2b2c2223bb；在BCD 中，由余弦定理，得cosBDCDB2DC2BC22DBDCb213b2a22b13b.因为ADBBDC，所以23b2b2c2223bbb213b2a22b13b0，即113b22a2c2.又 b2ac，所以113ac2a2c2，即 6a211ac3c20，即(3ac)(2a3c)0，所以 3ac 或 2a3c.当 3ac 时，由113b22a2c2，得 a213b2，c29a23b2，即 a33b，c 3b，此时 abc，ABC 不存在，故 3ac 时不成立当 2a3c 时，由113b22a2c2，得 a232b2，c223b2，在ABC 中，由余弦定理，得 cosABCa2c2b22ac32b223b2b22b276b22b2712.综上，cosABC712.一、基础知识巩固考点测量距离、高度问题例 1春秋以前中国已有“抱瓮而出灌”的原始提灌方式，使用提水吊杆桔槔，后发展成辘轳.19 世纪末，由于电动机的发明，离心泵得到了广泛应用，为发展机械提水灌溉提供了条件如图为灌溉抽水管道在等高图上的垂直投影，在 A 处测得 B 处的仰角为 37，在 A 处测得 C 处的仰角为 45，在 B 处测得 C 处的仰角为 53，A 点所在等高线值为 20 米，若 BC 管道长为 50 米，则 B 点所在等高线值约为参考数据：sin3735()A30 米B50 米C60 米D70 米答案B解析由题意作出示意图，如图所示由已知得CAE45，BAE37，CBF53.设 BDx 米，则 ADBDtan37BDcos37sin3743x(米)，CFBCsin5350cos37504540(米)，BFBCcos5350sin37503530(米)由 AECE 得43x30 x40，解得 x30.又 A 点所在等高线值为 20米，故 B 点所在等高线值约为 203050(米)故选 B.例 2几千年的沧桑沉淀，凝练了黄山清幽秀丽的自然风光和文化底蕴厚重的旅游环境自明清以来，文人雅士，群贤毕至，旅人游子，纷至沓来，使黄山成为名噪江南的旅游热点如图，游客从黄山风景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径，一种是从 A 沿直线步行到 C，另一种是先从 A 乘景区观光车到 B，然后从 B 沿直线步行到 C.现有甲、乙两位游客从 A 处下山，甲沿 AC 匀速步行，速度为 50 米/分钟，在甲出发 2 分钟后，乙从 A 乘观光车到 B，在 B 处停留 20 分钟后，再从 B 匀速步行到 C.假设观光车匀速直线运行的速度为 250 米/分钟，山路 AC 长为 2340 米，经测量 cosA2425，cosC35.(1)求观光车路线 AB 的长；(2)乙出发多少分钟后，在观光车上与甲的距离最短？解(1)在ABC 中，因为 cosA2425，cosC35，所以 sinA725，sinC45，从而 sinBsin(AC)sin(AC)sinAcosCcosAsinC117125，由正弦定理ABsinCACsinB，得 ABACsinBsinC2340117125452000(米)，所以观光车路线 AB 的长为 2000 米(2)假设乙出发 t 分钟后，甲、乙两游客距离为 d，此时甲行走了(10050t)米，乙距离 A 处 250t 米，由余弦定理得，d2(10050t)2(250t)22250t(10050t)24251000(41t238t10)100041t194124941，因为 t0，2000250，即 t0,8，所以当 t1941时，d 取得最小值，即乙出发1941分钟后，在观光车上与甲的距离最短1.(2022山东济南模拟)济南泉城广场上的泉标是隶书“泉”字，其造型流畅别致，成了济南的标志和象征李明同学想测量泉标的高度，于是他在广场的 A 点测得泉标顶端的仰角为 60，他又沿着泉标底部方向前进 15.2m，到达 B 点，又测得泉标顶部仰角为 80.则李明同学求出泉标的高度为(sin200.3420，sin800.9848，结果精确到 1 m)()A38 mB50 mC66 mD72 m答案A解析如图所示，点 C，D 分别为泉标的底部和顶端依题意，BAD60，CBD80，AB15.2 m，则ABD100，故ADB180(60100)20.在ABD 中，根据正弦定理，BDsin60ABsinADB.BDABsin60sin2015.2sin60sin2038.5(m)在 RtBCD 中，CDBDsin8038.5sin8038(m)，即泉城广场上泉标的高度约为 38 m.2江岸边有一炮台高 30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为 45和 60，而且两条船与炮台底部连线成 30角，则两条船相距_m.答案10 3解析如图，由题意得 OA30 m，AMO45，ANO60，MON30，所以OAM45，NAO30.OMAOtan4530 m，ONAOtan303330 103(m)，在 MON 中，由 余 弦 定 理 得，MN 90030023010 332 30010 3(m)3如图，高山上原有一条笔直的山路 BC，现在又新架设了一条索道 AC，小李在山脚 B 处看索道 AC，测得ABC120；从 B 处攀登 400 米到达 D 处，回头看索道 AC，测得ADC150；从 D 处再攀登 800 米可到达 C 处，则索道AC 的长为_米答案400 13解析在ABD 中，BD400 米，ABD120.因为ADC150，所以ADB30.所以DAB1801203030.由正弦定理，可得BDsinDABADsinABD，所以400sin30ADsin120，得 AD400 3(米)在ADC 中，DC800 米，ADC150，由余弦定理得 AC2AD2 CD22ADCDcos ADC(4003)2800224003800cos150400213，解得 AC400 13(米)故索道 AC 的长为 40013米(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知，则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理(2)实际测量中的常见问题考点测量角度问题例 3如图，一艘海船从 A 出发，沿北偏东 75的方向航行 60 海里后到达海岛 B，然后从 B 出发，沿北偏东 15的方向航行 30 海里后到达海岛 C.下次若直接从 A 出发到达 C.(1)需要航行多少海里？(2)此船应该沿怎样的方向航行(角度精确到 0.1)?参考数据：sin7.2721，sin19.12114，sin40.9217.解(1)在ABC 中，ABC1807515120，根据余弦定理知，AC AB2BC22ABBCcosABC 60230226030cos12030 7(海里)即需要航行 307海里(2)在ABC 中，根据正弦定理知，BCsinCABACsinABC，所以 sinCABBCsinABCAC30sin12030 72114，所以CAB19.1，75CAB55.9，即此船应该沿北偏东 55.9的方向航行4如图，在某港口 A 处获悉，在其正东方向相距 20 海里的 B处有一艘渔船遇险等待营救，此时救援船在港口的南偏西 30距港口 10 海里的 C处，救援船接到救援命令立即从 C 处沿直线前往 B 处营救渔船(1)求接到救援命令时救援船距渔船的距离；(2)试问救援船在 C 处应沿怎样的方向前往 B 处救援？已知 cos49217解(1)连接 BC，由题意可知，在ABC 中，AB20，AC10，CAB120.CB2AB2AC22ABACcosCAB20210222010cos120700，BC10 7，即接到救援命令时救援船距渔船的距离为 107海里(2)在ABC 中，AB20，BC10 7，CAB120，由正弦定理得ABsinACBBCsinCAB，即20sinACB10 7sin120，sinACB217.cos49sin41217，ACB41，故救援船应沿北偏东 71的方向前往 B 处救援(1)测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解(2)方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角考点正、余弦定理在平面几何中的应用例 4如图，在平面四边形 ABCD 中，DAAB，DE1，EC 7，EA2，ADC23，且CBE，BEC，BCE 成等差数列(1)求 sinCED；(2)求 BE 的长解(1)设CED.在CDE 中，由余弦定理得 EC2CD2DE22CDDEcosEDC，即 7CD21CD，即 CD2CD60，解得 CD2(CD3 舍去)在CDE 中，由正弦定理得ECsinEDCCDsin，于是 sinCDsin23EC2327217，即 sinCED217.(2)因为CBE，BEC，BCE 成等差数列，所以 2BECCBEBCE，又CBEBECBCE，所以BEC3.由题设知 00，解得 x 31，因此 cosBDCx 31.5.如图，在四边形 ABCD 中，已知 ABBC，AB5，AD7，BCD34，cosA17，则 BC_.答案4(31)解析在ABD 中，由余弦定理得 BD2AB2AD22ABADcosA64，所以 BD8，所以 cosABDAB2BD2AD22ABBD12，因为ABD0，2，所以ABD3，又 ABBC，所以CBD6，所以 sinBDCsin(BCDCBD)sin346 sin34cos6cos34sin6223222126 24.在BCD 中，由正弦 定 理 得BCsinBDCBDsinBCD822 82，所 以 BC 82sin BDC 8 26 244(31)6.(2022湖南联考)如图，在平面四边形 ABCD 中，0DAB2，AD2，AB3，ABD 的面积为3 32，ABBC.(1)求 sinABD 的值；(2)若BCD23，求 BC 的长解(1)因为ABD 的面积 S12ADABsinDAB1223sinDAB3 32，所以 sinDAB32.又 0DAB2，所以DAB3.在ABD 中，由余弦定理，得BD AD2AB22ADABcosDAB 7，由正弦定理，得 sinABDADsinDABBD217.(2)因为 ABBC，所以ABC2，sinDBCsin2ABDcosABD 1sin2ABD2 77.在BCD 中，由正弦定理CDsinDBCBDsinDCB，可得 CDBDsinDBCsinDCB4 33.由余弦定理 DC2BC22DCBCcosDCBBD2，可得 3BC24 3BC50，解得 BC33或 BC5 33(舍去)故 BC 的长为33.求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系具体解题思路如下：(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果考点解三角形与三角函数的综合问题例 6已知函数 f(x)cos2x 3sin(x)cos(x)12.(1)求函数 f(x)在0，上的单调递减区间；(2)在锐角三角形 ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 f(A)1，a2，bsinCasinA，求ABC 的面积解(1)f(x)cos2x 3sinxcosx121cos2x232sin2x12sin2x6，令 2k22x62k2，kZ，得 k6xk3，kZ，又 x0，函数 f(x)在0，上的单调递减区间为0，3 和56，.(2)由(1)知 f(x)sin2x6，f(A)sin2A6 1，ABC 为锐角三角形，0A2，62A656，2A62，即 A3.又 bsinCasinA，bca24，SABC12bcsinA 3.例 7已知函数 f(x)32sin2xcos2x12.(1)求 f(x)的最小值，并写出取得最小值时的自变量 x 的集合；(2)设ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 c 3，f(C)0，若 sinB2sinA，求 a，b 的值解(1)f(x)32sin2xcos2x1232sin2x1cos2x212sin2x6 1，当 2x62k2(kZ)，即 xk6(kZ)时，f(x)取最小值2，此时自变量 x 的集合为 x|xk6，kZ.(2)f(C)0，sin2C6 10，又 0C，62C6116，2C62，可得 C3.sinB2sinA，由正弦定理可得 b2a，又 c 3，由余弦定理可得(3)2a2b22abcos3，即 a2b2ab3，联立，解得 a1，b2.7.(2021大庆模拟)已知函数 f(x)sin2xcos2x2 3sinxcosx，xR.(1)求 f(x)的单调递增区间；(2)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 f(A)2，c5，cosB17，求边 a 的长解(1)f(x)cos2x 3sin2x2sin2x6，令 2k22x62k2，kZ，得 k6xk3，kZ，故 f(x)的单调递增区间为k6，k3，kZ.(2)由(1)知 f(A)2sin2A6 2，sin2A6 1，A(0，)，2A66，116，2A62，故 A3，又 cosB17，sinB4 37，sinCsin(AB)3217124 375 314.在ABC 中，由正弦定理csinCasinA，得55 314a32，a7.8已知函数 f(x)sinx2cosx2 3cos2x232.(1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且满足 c2b2 3aca2，求 f(B)的取值范围解(1)f(x)sinx2cosx2 3cos2x23212sinx 31cosx23212sinx32cosxsinx3，T2|2.由 2k2x32k2(kZ)2k6x2k56(kZ)，则函数 f(x)的单调递增区间为2k6，2k56(kZ)因此，函数 f(x)的最小正周期为 2，单调递增区间为2k6，2k56(kZ)(2)由(1)知 f(B)sinB3.c2b2 3aca2，c2a2b2 3ac，cosBc2a2b22ac3ac2ac32，又 B(0，)，0B6，3B36，32sinB3 12，即 f(B)的取值范围为32，12.解三角形与三角函数结合问题时，三角函数的自变量往往就是三个内角，此时除了应用三角关系式外，三个内角的范围与相互之间的关系也是解题的重要依据二、核心素养提升例 1某大学的大门蔚为壮观，有个学生想搞清楚门洞拱顶 D 到其正上方 A点的距离，他站在地面 C 处，利用皮尺测得 BC9 m，利用测角仪器测得仰角ACB45，测得仰角BCD 后通过计算得到 sinACD2626，则 AD 的长度为()A2 mB2.5 mC3 mD4 m答案C解析设 ADx m，则 BD(9x)m，CD 929x2m，在ACD 中，由正弦定理，得CDsinDACADsinACD，即929x222x2626，所以 292(9x)226x2，即 2x23x270，解得 x3x92舍去.故选 C.例 2如图，在限速为 90 km/h 的公路 AB 旁有一测速站 P，已知点 P 距测速区起点 A 的距离为 0.08 km，距测速区终点 B 的距离为 0.05 km，且APB60，现测得某辆汽车从 A 点行驶到 B 点所用的时间为 3 s，则此车的速度介于()A6070 km/hB7080 km/hC8090 km/hD90100 km/h答案C解析由余弦定理得 AB 0.0820.05220.080.05cos600.07，则此车的速度为0.073360071284 km/h.故选 C.数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程，主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或数学术语予以表征从实际问题中抽象出距离、高度、角度等数学问题，然后利用正弦定理、余弦定理求解，很好地体现了数学抽象的数学素养课时作业一、单项选择题1已知 A，B 两地间的距离为 10 km，B，C 两地间的距离为 20 km，现测得ABC120，则 A，C 两地间的距离为()A10 kmB10 3 kmC10 5 kmD10 7 km答案D解析由余弦定理可得 AC2AB2CB22ABCBcos1201022022102012 700，所以 AC10 7 km.故选 D.2.如图，两座灯塔 A 和 B 与河岸观察站 C 的距离相等，灯塔 A 在观察站南偏西 40，灯塔 B 在观察站南偏东 60，则灯塔 A 在灯塔 B 的()A北偏东 10B北偏西 10C南偏东 80D南偏西 80答案D解析由条件及题图可知，AB40，又BCD60，所以CBD30，所以DBA10，因此灯塔 A 在灯塔 B 的南偏西 80.故选 D.3如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西匀速行驶，在公路北侧远处一座高 900 米的山顶 D 测得点 A 在东偏南 30方向上，过一分钟后测得点 B 在山顶D 的东偏南 60方向上，俯角为 45，则该车的行驶速度为()A15 米/秒B15 3 米/秒C20 米/秒D20 3 米/秒答案A解析根据题意得 CD900，因为从 D 处测得点 B 的俯角为 45，所以 BC900，因为 A 在 D 东偏南 30方向上，B 在 D 东偏南 60方向上，所以BAC30，ACB603030，所以ABC 为等腰三角形，所以 AB900，由9006015，所以该车的行驶速度为 15 米/秒故选 A.4在ABC 中，已知 AB 2，AC 5，tanBAC3，则 BC 边上的高等于()A1B 2C 3D2答案A解析解法一：因为 tanBAC3，所以 sinBAC310，cosBAC110.由 余 弦 定 理，得 BC2 AC2 AB2 2ACABcos BAC 5 2 2 5 2110 9，所以 BC3，所以 SABC12ABACsinBAC12 2 531032，所以 BC 边上的高 h2SABCBC23231.故选 A.解法二：在ABC 中，因为 tanBAC30，所以BAC 为钝角，因此BC 边上的高小于 2，结合选项可知选 A.5 说起延安革命纪念地景区，可谓是家喻户晓，它由宝塔山、枣园革命旧址、杨家岭革命旧址、中共中央西北局旧址、延安革命纪念馆组成尤其宝塔山，它可是圣地延安的标志，也是中国革命的摇篮，见证了中国革命的进程，在中国老百姓的心中具有重要地位如图，宝塔山的坡度比为 73(坡度比即坡面的垂直高度和水平宽度的比)，在山坡 A 处测得CAD15，从 A 处沿山坡往上前进 66m 到达 B 处，在山坡 B 处测得CBD30，则宝塔 CD 的高为()A44 mB42 mC48 mD46 m答案A解析由题可知CAD15，CBD30，则ACB15，BCAB66，设坡角为，则由题可得 tan73，则可求得 cos34，在BCD 中，BDC90，由正弦定理可得CDsin30BCsin90，即CD1266cos6634，解得 CD44，故宝塔 CD 的高为 44 m故选 A.6岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼、江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一，世称“天下第一楼”其地处岳阳古城西门城墙之上，紧靠洞庭湖畔，下瞰洞庭，前望君山始建于东汉建安二十年(215 年)，历代屡加重修，现存建筑沿袭清光绪六年(1880 年)重建时的形制与格局因北宋滕宗谅重修岳阳楼，邀好友范仲淹作岳阳楼记使得岳阳楼著称于世自古有“洞庭天下水，岳阳天下楼”之美誉小李为测量岳阳楼的高度选取了与底部水平的直线 AC，如图，测得DAC30，DBC45，AB14 米，则岳阳楼的高度 CD 约为(21.414，31.732)()A18 米B19 米C20 米D21 米答案B解析在 RtADC 中，DAC30，则 AC 3CD，在 RtBDC 中，DBC45，则 BCCD，由 ACBCAB 得3CDCD14CD14317(31)19.124，故岳阳楼的高度 CD 约为 19 米故选 B.7甲船在 A 处观察乙船，乙船在它的北偏东 60方向上的一点 B 处，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的 3倍，甲船为了尽快追上乙船，朝北偏东方向前进，则()A15B30C45D60答案B解析如图，设两船在 C 处相遇，则由题意得ABC18060120，且ACBC 3，由正弦定理得ACBCsin120sinBAC 3，所以 sinBAC12.又因为 0BAC2，则 sinAcosBC若 a8，c10，B60，则符合条件的ABC 有两个D若 sin2Asin2BA2B0，sinAsin2BcosB，故 B 正确；对于 C，由余弦定理可得 b82102281012 84，只有一解，故 C 错误；对于 D，若 sin2Asin2Bsin2C，则根据正弦定理得 a2b2c2，cosCa2b2c22ab0)小时，此时甲船位于 C 处，乙船位于 D 处，则 AC206t，AD8t，CAD120，由余弦定理可得，CD2(206t)2(8t)22(206t)8tcos12052t280t40052t10132480013，故当 t1013时，CD 取最小值12如图所示，一艘海轮从 A 处出发，测得灯塔在海轮的北偏东 15方向，与海轮相距 20 n mile 的 B 处，海轮按北偏西 60的方向航行了 30 min 后到达 C处，又测得灯塔在海轮的北偏东 75的方向上，则海轮的速度为_nmile/min.答案63解析由已知得ACB45，B60，由正弦定理得ACsinBABsinACB，所以 ACABsinBsinACB20sin60sin4510 6(n mile)，所以海轮航行的速度为10 63063(nmile/min)13如图，在ABC 中，已知点 D 在 BC 边上，ADAC，sinBAC2 23，AB3 2，AD3，则 BD 的长为_答案3解析因为 sinBAC2 23，且 ADAC，所以 sin2BAD2 23，所以cos BAD 2 23，在 BAD中，由 余 弦 定 理，得BD AB2AD22ABADcosBAD3 223223 232 23 3.14如图，一位同学从 P1处观测塔顶 B 及旗杆顶 A，得仰角分别为和 90.后退 l m 至点 P2处再观测塔顶 B，仰角变为原来的一半，设塔 CB 和旗杆 BA都垂直于地面，且 C，P1，P2三点在同一条水平线上，则塔 BC 的高为_m；旗杆 BA 的高为_m(用含有 l 和的式子表示)答案lsinlcos2sin解析在 RtBCP1中，BP1C，在 RtP2BC 中，P22.BP1CP1BP2P2，P1BP22，即P1BP2为等腰三角形，BP1P1P2l，BClsin.在 RtACP1中，ACCP1AClcostan(90)，AClcos2sin，则 BAACBClcos2sinlsinlcos2sin2sinlcos2sin.四、解答题15在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，(2ac)cosBbcosC0.(1)求角 B 的大小；(2)设函数 f(x)2sinxcosxcosB32cos2x，求函数 f(x)的最大值及当 f(x)取得最大值时 x 的值解(1)因为(2ac)cosBbcosC0，所以 2acosBccosBbcosC0，由正弦定理得2sinAcosBsinCcosBcosCsinB0，即 2sinAcosBsin(CB)0，又因为 CBA，所以 sin(CB)sinA.所以 sinA(2cosB1)0.在ABC 中，sinA0，所以 cosB12，又因为 B(0，)，所以 B3.(2)因为 B3，所以 f(x)12sin2x32cos2xsin2x3，令 2x32k2(kZ)，得 xk512(kZ)，即当 xk512(kZ)时，f(x)取得最大值 1.16(2021菏泽模拟)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 2ab2ccosB，c 3.(1)求角 C；(2)延长线段 AC 到点 D，使 CDCB，求ABD 周长的取值范围解(1)2ab2ccosB，根据余弦定理得 2ab2ca2c2b22ac，整理得 a2b2c2ab，cosCa2b2c22ab12.C(0，)，C23.(2)由题意得BCD 为等边三角形，ABD 的周长为 2ab 3.asinAbsinBcsinC3322，a2sinA，b2sinB，2ab4sinA2sinB4sinA2sin3A2 3sinA6.A0，3，A66，2，sinA6 12，1，2ab(3，2 3)ABD 周长的取值范围是(2 3，3 3)17.如图所示，A，B 两处各有一个垃圾中转站，B 在 A 的正东方向 16 km 处，AB 的南面为居民生活区，为了妥善处理生活垃圾，政府决定在 AB 的北面 P 处建一个发电厂，利用垃圾发电，要求发电厂到两个垃圾中转站的距离(单位：km)与它们每天集中的生活垃圾量(单位：吨)成反比，现估测得 A，B 两处中转站每天集中的生活垃圾量分别约为 30 吨和 50 吨(1)当 AP15 km 时，求APB 的余弦值；(2)发电厂尽量远离居民区，要求PAB 的面积最大，问此时发电厂与两个垃圾中转站的距离各为多少？解(1)根据条件可知 AP30BP50，解得 BP9 km，由余弦定理得 cosAPBAP2BP2AB22APBP152921622159527，所以APB的余弦值为527.(2)以 AB 的中点为坐标原点，AB 的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标系如图所示设 P(x，y)，A(8，0)，B(8,0)，因为 AP30BP50，所以 AP53BP，所以x82y253x82y2，所以 16x2544x102416y20，所以 x234x64y20，所以(x17)2y2225，所以点 P 的轨迹是圆心为(17,0)，半径为 15 的位于 x 轴上方的半圆，所以当PAB 的面积最大时，此时点 P 的坐标为(17,15)，所以 AP 17821525 34，BP 17821523 34.