2022中考数学专题复习：开放探究题（word版 无答案）.docx

20222022 中考数学专题复习：开放探究题中考数学专题复习：开放探究题1类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整原题：如图 1，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G若3AFEF，求CDCG的值（1）尝试探究在图 1 中，过点E作/EHAB交BG于点H，则AB和EH的数量关系是_，CG和EH的数量关系是_，CDCG的值是_（2）类比延伸如图 2，在原题的条件下，若0AFm mEF，则CDCG的值是_（用含有m的代数式表示），试写出解答过程（3）拓展迁移如图 3，梯形ABCD中，/DCAB，点E是BC的延长线上的一点，AE和BD相交于点F 若ABaCD，BCbBE，0,0ab，则AFEF的值是_（用含a、b的代数式表示）2已知ABC 为等边三角形（1）如图 1，点 D 为边 BC 上一点，以 AD 为边作等边三角形 ADE，连接 CE，求证：CEAB（2）如图 2，当点 D 在边 BC 的延长线上时，以 AD 为边作等边三角形 ADE，求证：无论点 D 的位置如何变化，ADE 的内角平分线的交点 P 始终在B 的角平分线上（3）如图 3，以 AC 为腰作等腰直角三角形 ACD，取斜边 CD 的中点 E，连接 AE，交 BD 于点 F 试判断线段 BF，AF，DF 之间存在何种数量关系，并证明你的结论3综合实践数学课上，各小组进行了特殊四边形的探究活动，如图所示，在ABC中，分别以AB，AC，BC为边在BC的同侧作等边三角形ABD，等边三角形ACE，等边三角形BCF（1）奋进小组发现：四边形DAEF是平行四边形，请你完成证明；（2）当四边形DAEF是矩形时，求BAC的度数；（3）当四边形DAEF是菱形时，若120DAE，请直接写出BC与DF之间的数量关系4某学习小组在探究三角形全等时，发现了下列两种基本图形，请给予证明（1）如图 1，AC 与 BD 交于点 O，ABCD，AB=CD，求证：OA=OC（2）如图 2，已知：在ABC 中，BAC90，ABAC，直线l经过点 A，BD直线l，CE直线l，垂足分别为点 D、E求证：BDAE（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们用图 1 或图 2 的基本图形来解决问题：如图 3，把一块含 45的直角三角板 ABC（即ABC是等腰直角三角形，90C，ACBC）绕点A逆时针旋转后成为ADE，已知点 B、C 的对应点分别是点 D、E连结BD，并作射线CE交BD于点F，试探究在旋转过程中，DF 与 BF 的大小关系如何，并证明5某学校活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：操作发现：（1）如图 1，分别以 AB 和 AC 为边向ABC 外侧作等边ABD 和等边ACE，连接 BECD，请你完成作图并证明 BE=CD（要求：尺规作图，不写作法但保留作图痕迹）类比探究：（2）如图 2，分别以 AB 和 AC 为边向ABC 外侧作正方形 ABDE 和正方形 ACFG，连接 CEBG，则线段CEBG 有什么关系？说明理由灵活运用：（3）如图 3，在四边形 ABCD 中，AC、BD 是对角线，AB=BC，ABC=60，ADC=30，AD=3，BD=5，求 CD 的长6综合与探究问题情境：如图，已知OC平分AOB，CDOA于点 D，E 为DC延长线上一点，EFOB于点 F，EG平分DEF交OB于点 G，180DEFAOB问题发现：（1）如图 1，当90AOB时，12 _；（2）如图 2，当AOB为锐角时，1与2有什么数量关系，请说明理由；拓展探究（3）在（2）的条件下，已知直角三角形中两个锐角的和是 90，试探究OC和GE的位置关系，并证明结论；（4）如图 3，当AOB为锐角时，若点 E 为线段DC上一点，EFOB于点 F，EH平分DEF交OA于点H，180DEFAOB请写出一个你发现的正确结论7如图 1，在平面直角坐标系中有长方形 OABC，点(0,4)C，将长方形 OABC 沿 AC 折叠，使得点 B 落在点 D 处，CD 边交 x 轴于点 E，30OAC（1）求点 D 的坐标；（2）如图 2，在直线 AC 以及 y 轴上是否分别存在点 M，N，使得EMN 的周长最小？如果存在，求出EMN周长的最小值；如果不存在，请说明理由；（3）点 P 为 y 轴上一动点，作直线 AP 交直线 CD 于点 Q，是否存在点 P 使得CPQ 为等腰三角形？如果存在，请求出OAP 的度数；如果不存在，请说明理由8【原题初探】（1）小明在数学作业本中看到有这样一道作业题：如图 1，P是正方形ABCD内一点，连结PA，PB，PC现将PAB绕点B顺时针旋转90得到的P CB，连接PP 若2PA，3PB，135APB，求PC的长和正方形ABCD的边长【变式猜想】（2）如图 2，若点P是等边ABC内的一点，且3PA，4PB，5PC，请猜想APB的度数，并说明理由【拓展应用】（3）聪明的小明经过上述两小题的训练后，善于反思的他又提出了如下的问题：如图 3，在四边形ABCD中，3AD，2CD，45ABCACBADC ，请求出BD的长度9问题：如图（1），点 M、N 分别在正方形 ABCD 的边 BC、CD 上，MAN45，试判断 BM、MN、ND 之间的数量关系（1）研究发现如图 1，小聪把ADN 绕点 A 顺时针旋转 90至ABG，从而发现 BM、MN、DN 之间的数量关系为（直接写出结果，不用证明）（2）类比引申如图 2，在（1）的条件下，AM、AN 分别交正方形 ABCD 的对角线 BD 于点 E、F已知 EF5，DF4求BE 的长（3）拓展提升如图 3，在（2）的条件下，AM、AN 分别交正方形 ABCD 的两个外角平分线于 Q、P，连接 PQ请直接写出以 BQ、PQ、DP 为边构成的三角形的面积10如图，四边形ABCD是菱形，点M在CD边上，点N在菱形ABCD外部，且满足/MN AD，CMMN，连接AN，CN，取AN的中点E，连接BE，AC（1）探究BE与AC位置关系（2）若120ABC，探究线段BE、AD与CM的数量关系，并说明理由（3）若60ABC，M在DC的延长线上时，其余条件不变，1CM，3AD，请求出BE的长度11【认识新知】对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形【概念理解】（1）如图 1，在四边形 ABCD 中，ABAD，CBCD，问四边形 ABCD 是垂美四边形吗？请说明理由；【性质探究】（2）如图 2，四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，ACBD若 OA=1，OB=5,，OC=7，OD=2，则22ABCD_；22ADBC_；求证：2222ABCDADBC；【解决问题】（3）如图 3，ACB中，ACB90，ACAG且ACAG4，ABAE且AEAB5，连结 CE、BG、GE.则GE _12已知，在ABC 中，ABC90，AB=BC=2，点 O 是边 AC 的中点，连接 OB，将AOB 绕点 A 顺时针旋转至ANM，连接 CM，点 P 是线段 CM 的中点，连接 PB，PN（1）如图 1，当=180 时，请直接写出线段 PN 和 PB 之间满足的位置和数量关系；（2）如图 2，当 0180 时请探索线段 PN 和 PB 之间满足何位置和数量关系？并证明你的结论；（3）当AOB 旋转至 C，M，N 三点共线时，线段 BP 的长为13已知 A（m，n），且满足2|2|(2)0mn，过 A 作 ABy 轴，垂足为 B（1）求 A 点坐标（2）如图 1，分别以AB，AO为边作等边ABC和AOD，试判定线段AC和DC的数量关系和位置关系，并说明理由；（3）如图 2，过A作AEx轴，垂足为E，点F、G分别为线段OE、AE上的两个动点（不与端点重合），满足45FBG，设OFa，AGb，FGc，试探究cab的值是否为定值？如果是求此定值；如果不是，请说明理由14如图 1，已知直角三角形ABC，90ACB，30BAC，点D是AC边上一点，过D作DEAB于点E，连接BD，点F是BD中点，连接EF，CF（1）发现问题：线段EF，CF之间的数量关系为_；EFC的度数为_；（2）拓展与探究：若将AED绕点A按顺时针方向旋转角030，如图 2 所示，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）拓展与运用：如图 3 所示，若AED绕点A旋转的过程中，当点D落到AB边上时，AB边上另有一点G，ADDGGB，3BC，连接EG，请直接写出EG的长度15在等边ABC的两边 AB、AC 所在直线上分别有两点 M、N，D 为ABC外一点，且60MDN，120BDC，BD=DC探究：当 M、N 分别在直线 AB、AC 上移动时，BM、NC、MN 之间的数量关系及AMN的周长 Q 与等边ABC的周长 L 的关系（1）如图 1，当点 M、N 边 AB、AC 上，且 DM=DN 时，BM、NC、MN 之间的数量关系是_；此时QL_；（2）如图 2，点 M、N 边 AB、AC 上，且当 DMDN 时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（3）如图 3，当 M、N 分别在边 AB、CA 的延长线上时，若 AN=x，则 Q=（用x、L 表示）16问题探究：如图 1，在ABC中，点D是BC的中点，,DEDF DE交AB于点,E DF交AC于,E F，连接EF（1）BECF、与EF之间的关系为：BECF_EF；（填“”、“”或“”)（2）若90A，探索线段BECFEF、之间的等量关系，并加以证明（3）问题解决:如图 2在四边形ABDC中，180,130BCDBDCBDC以D为顶点作65,EDFEDF 的两边分别交ABAC、于EF、两点，连接EF，探索线段BECFEF、之间的数量关系，并加以证明17 如图，在矩形ABCD中，ABa=，BCb，点F在DC的延长线上，点E在AD上，且有12CBEABF（1）如图 1，当ab时，若60CBE，求证：BEBF；（2）如图 2，当32ba时，请直接写出ABE与BFC的数量关系：_；当点E是AD中点时，求证：2CFBFa；在的条件下，请直接写出:BCFABCDSS矩形的值18直线MN与PQ相互垂直，垂足为点O，点A在射线OQ上运动，点B在射线OM上运动，点A、点B均不与点O重合（1）如图 1，AI平分BAO，BI平分ABO，若40BAO，求AIB的度数；（2）如图 2，AI平分BAO，BC平分ABM，BC的反向延长线交AI于点D若40BAO，则ADB _度（直接写出结果，不需说理）；点A、B在运动的过程中，ADB是否发生变化，若不变，试求ADB的度数：若变化，请说明变化规律（3）如图 3，已知点E在BA的延长线上，BAO的角平分线AI、OAE的角平分线AF与BOP的角平分线所在的直线分别相交于的点D、F，在ADF中，如果有一个角的度数是另一个角的 4 倍，请直接写出ABO的度数19如图 l，在正方形 ABCDABCD中，8AB AB=8，点 EE在 ACAC上，且2 2AE，2 2AE 过E点作EFAC于点E，交AB于点F，连接CF，DE【问题发现】（1）线段DE与CF的数量关系是_，直线DE与CF所夹锐角的度数是_；【拓展探究】（2）当AEF绕点A顺时针旋转时，上述结论是否成立？若成立，请写出结论并结合图 2 给出证明；若不成立，请说明理由；【解决问题】（3）在（2）的条件下，当点E到直线AD的距离为 2 时，请直接写出CF的长20已知点 O 是ABC 内任意一点，连接 OA 并延长到点 E，使得 AEOA，以 OB，OC 为邻边作平行四边形 OBFC，连接 OF，与 BC 交于点 H，连接 EF（1）问题发现如图 1，若ABC 为等边三角形，线段 EF 与 BC 的位置关系是_，数量关系为_；（2）拓展探究如图 2，若ABC 为等腰直角三角形（BC 为斜边），（1）中的两个结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出正确的结论再给予证明；（3）解决问题如图 3，若ABC 是等腰三角形，ABAC5，BC6，请你直接写出线段 EF 的长