人教A版（2019）选择性必修第一册1.2 空间向量基本定理 同步课时训练（Word版含解析）.docx
1.2 空间向量基本定理空间向量基本定理一、一、概念练习概念练习1.已知,a b c为空间的一组基底,则下列向量也能作为空间的一组基底的是()A.,ab bc acB.2,ab b acC.2,2,ab bc abcD.,2,2ac ba bc2.如图，在平行六面体1111ABCDA B C D中，1AAa，ABb，ADc，点P在1AC 上，且1:2:3A P PC，则1A P等于（）A.233555abcB.322555abcC.223555abcD.322555abc3.在下列条件中，一定能使空间中的四点 M,A,B,C 共面的是()A.2OMOAOBOCuuuruuruuu ruuu rB.111532OMOAOBOCuuuruuruuu ruuu rC.MAMBMC 0uuu ruuu ruuu rD.OMOAOBOC 0uuuruuruuu ruuu r4.设向量,a b c是空间的一组基底，则一定可以与向量pab，qab构成空间的另一组基底的向量是()A.aB.bC.cD.a 或 b5.已知2,1,3a，1,4,2 b，7,5,c，若,a b c不能构成空间的一个基底，则实数的值为()A.0B.357C.9D.657二、能力提升二、能力提升6.已知三棱柱111ABCA BC的侧棱与底面边长都相等，1A在底面 ABC 上的射影为 BC 的中点，则异面直线 AB 与1CC所成角的余弦值为()A.34B.34C.54D.5167.如图，平行六面体1111ABCDA B C D中，AC 与 BD 的交点为 M，设AB a，AD b，1AA c，则下列向量中与1C M 相等的向量是()A.1122abcB.1122abcC.1122abcD.1122abc（多选）（多选）8.在三棱锥PABC中，三条侧棱 PA，PB，PC 两两垂直，且3PAPBPC，G是PAB的重心，E，F 分别为 BC，PB 上的点，且:1:2BE ECPF FB，则下列说法正确的是()A.EGPGB.EGBCC./FG BCD.FGEF9.下列命题错误的是()A.|abab是向量a,b不共线的充要条件B.在空间四边形 ABCD 中，0AB CDBC ADCA BDuuu r uuu ruuu r uuu ruur uuu rC.在棱长为 1 的正四面体ABCD中，12AB BCuuu r uuu rD.设 A,B,C 三点不共线，O 为平面 ABC 外一点，若1233OPOAOBOCuuu ruuruuu ruuu r，则 P，A，B,C 四点共面10.若a,b,c不共面，则()A.bc,bc,a共面B.bc,bc,2b共面C.bc,a,abc共面D.ac,2ac,c共面11.已知 A，B，C 三点不共线，O 是平面 ABC 外任一点，若由1253OPOAOBOC 确定的一点P 与 A，B，C 三点共面，则_.12.已知123,e e e为空间的一个基底，若123aeee，123beee，123ceee，12323deee，且dabc，则,分别为_.13.在直三棱柱111ABCA BC中，若CA a，CB b，1CC c，则1AB _.（用 a，b，c表示）14.如图所示，在四棱锥EABCD中，底面 ABCD 是菱形，60ADC，AC 与 BD 交于点 O，EC 底面 ABCD，F 为 BE 的中点，ABCE.（1）求证：/DE平面 ACF；（2）求异面直线 EO 与 AF 所成角的余弦值；（3）求 AF 与平面 EBD 所成角的正弦值.15.在所有棱长均为 2 的三棱柱111ABCA BC中，160B BC，求证：（1）1ABBC；（2）1AC 平面11AB C.答案以及解析答案以及解析1.答案：B解析：因为1111,22,222222abbcacabcabbcacbabc,所以选项,A C,D 中的向量共面,不能作为空间的基底;对于选项 B,假设2,ab b ac共面,则存在,R,使2abbac,所 以1,2,0无解,所以2,ab b ac不共面,可以作为空间的一组基底.故选 B2.答案：B解析：因为1:2:3A P PC，所以1125APAC，根据空间向量的运算法则，可得11111232555APAAAPAAACAAAAAC 11132323225555555AAABBCAAABADAAABAD ，又因为1AAa，ABb，ADc，所以322555APabc.故选：B.3.答案：C解析：要使空间中的四点 M,A,B,C共面，只需满足OMxOAyOBzOCuuuruuruuu ruuu r，且1xyz即可.A中，21 10 xyz ，故此时 M,A,B,C 四点不共面；B 中，1113153230 xyz,故此时 M,A,B,C 四点不共面；C 中，MAMBMC 0uuu ruuu ruuu r，即MOOAMOOBMOOC 0uuu ruuruuu ruuu ruuu ruuu r，即111333OMOAOBOCuuuruuruuu ruuu r，1111333xyz，故此时 M,A,B,C 四点共面；D中，OMOAOBOC 0uuuruuruuu ruuu r，则OMOAOBOC uuuruuruuu ruuu r，1 1 13xyz ，故此时M,A,B,C 四点不共面.故选 C.4.答案：C解析：因为,a b c是空间的一组基底，所以向量 a，b，c 不共面，而向量pab，qab与 a或 b 共面.故排除选项 A,B,D.故选 C.5.答案：D解析：,a b cQ不能构成空间的一个基底，,a b c共面，则xycab，其中,x yR，则(7,5,)(2,3)(,4,2)(2,4,32)xxxyyyxyxyxy ，72,54,32,xyxyxy 解得33,717,765.7xy故选 D.6.答案：B解析：设AB a，AC b，1AA c，BC 的中点为 D，则1A D 平面 ABC，1A DAB，设三棱柱的各棱长均为 1，则|1abc，且,60 a b，111()2ADADAAabc，111022AD ABabca ，解得34a c，334cos,|1 14 a ca ca c，异面直线 AB 与1CC所成角的余弦值为34.7.答案：C解析：111111()222C MAMACABADABADAA abc ，故选 C.8.答案：ABD解析：如图，设PA a，PB b，PC c，则,a b c是空间的一个正交基底，则0a ba cb c，取 AB 的中点 H，则22111()33233PGPHabab，11211113333333EGPGPEabbcabc，BC cb，11113333FGPGPFabba，1121133333EFPFPE bcbcb ，0EG PG，A 正确；0EG BC ，B 正确；()FGBCR，C 不正确；0FG EF ，D 正确.故选 ABD.9.答案：ACD解析：当|abab时，向量,a b可能共线，例如共线向量,a b的模分别是 2,3，此时|abab也成立，故 A 中命题错误;在空间四边形 ABCD 中,()AB CDBC ADCA BDACCBCDCB ADAC BDuuu r uuu ruuu r uuu ruur uuu ruuu ruuruuu ruur uuu ruuu r uuu r()()0ACCDBDCBCDADAC CBCB CAuuu ruuu ruuu ruuruuu ruuu ruuu r uuruur uur,故 B 中命题正确;在棱长为 1 的正四面体ABCD中,11 1 cos1202AB BC ouuu r uuu r,故 C 中命题错误;由共面向量定理可知，若 P,A,B,C 四点共面，则需满足OPxOAyOBzOCuuu ruuruuu ruuu r，且1xyz，因为1212133，所以 P,A,B,C 四点不共面，故 D 中命题错误.故选 ACD.10.答案：BCD解析：2()()Qbbcbc，bc，bc，2b共面.()Q abcbca,bc,a,abc共面.(2)3Q acacc，ac，2ac，c共面.故选 BCD.11.答案：215解析：因为点 P与 A，B，C 三点共面，所以12153，解得215.12.答案：52，-1，12解析：由题意得，a、b、c 为三个不共面的向量，由空间向量基本定理可知必然存在唯一的有序实数组(,)，使dabc.123123123deeeeeeeee123()()()eee.又12323deee，5,1,22,1,31.2 13.答案：bac解析：如图，111ABCBCACBCACCbac .14.答案：（1）设1ABCE，CD a，CB b，CE c，则|1abc，,90 a cb c，,120 a b.证明：DE ca，1()2CF bc，CA ab，2DECFCA ，即DE，CF，CA 共面，又DE 平面 ACF，CF，CA 平面 ACF，/DE平面 ACF.（2）1()2EOCOCEabc ，111()()222AFCFCA bcababc ，78EO AF ，5|2EO ，|1AF，77 58cos,20|512EO AFEO AFEOAF ，两异面直线所成角不大于 90，异面直线 EO 与 AF 所成角的余弦值为7 520.（3）易知EB bc，ED ac，过点 A 作AG 平面 EBD，垂足为 G，则AFG即直线 AF 与平面 EBD 所成角.设DGxDEyBE，DE ca，BE cb，()DGxDEyBExyxycab，()(1)AGACCDDGxyxycab，由0AG EB ，0AG ED，得35y ，25x，122555AG cab，5|5AG，又1AF，5sin5AGAFGAF，直线 AF 与平面 EBD 所成角的正弦值为55.15.答案：（1）易知,120AB BC ，11ABABBB ，则111ABBCABBBBCAB BCBBBC 112222022.所以1ABBC.（2）易知四边形11AAC C为菱形，所以11ACAC.因为 1111ABACBBBAACAA 11BBBABCBAAA 11111BBBCBBBABBAABA BCBA BABA AA 111BBBCBBAABA BCBA BA 11224224220，所以11ABAC，又11ACABA，所以1AC 平面11AB C.
