新人教版高中数学必修第二册第六章 6.4.1_6.4.2平面几何中的向量方法 学案.docx
6.4平面向量的应用平面向量的应用6.4.1平面几何中的向量方法平面几何中的向量方法6.4.2向量在物理中的应用举例向量在物理中的应用举例学习目标1.能用向量方法解决简单的几何问题.2.能用向量方法解决简单的力学问题和其他实际问题.3.培养学生运算能力，分析和解决实际问题的能力.知识点一向量方法解决平面几何问题的步骤用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题.(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题.(3)把运算结果“翻译”成几何关系.知识点二向量方法解决物理问题的步骤用向量方法讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤：(1)问题转化，即把物理问题转化为数学问题.(2)建立模型，即建立以向量为载体的数学模型.(3)求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等.(4)回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题.思考物理问题中有哪些量是向量？它们与向量的哪些运算相关？答案物理中的向量：物理中有许多量，比如力、速度、加速度、位移都具有大小和方向，因而它们都是向量.力、速度、加速度、位移的合成就是向量的加法，因而它们也符合向量加法的三角形法则和平行四边形法则；力、速度、加速度、位移的分解也就是向量的分解，运动的叠加也用到了向量的加法.动量mv是数乘向量.力所做的功就是作用力F与物体在力 F 的作用下所产生的位移 s 的数量积.1.若ABC 为直角三角形，则有ABBC0.()2.若向量ABCD，则 ABCD.()3.功是力 F 与位移 s 的数量积.()4.力的合成与分解体现了向量的加减法运算.()一、利用向量证明平面几何问题例 1如图所示，在正方形 ABCD 中，E，F 分别是 AB，BC 的中点，求证：AFDE.证明方法一设ADa，ABb，则|a|b|，ab0.又DEDAAEab2，AFABBFba2，所以AFDEba2 ab2a2234abb2212|a|212|b|20.故AFDE，即 AFDE.方法二如图所示，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为 2，则 A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，则AF(2,1)，DE(1，2).因为AFDE(2,1)(1，2)220，所以AFDE，即 AFDE.反思感悟用向量证明平面几何问题的两种基本思路及步骤(1)利用线性运算证明的四个步骤选取基底.用基底表示相关向量.利用向量的线性运算或数量积找出相应关系.把几何问题向量化.(2)利用坐标运算证明的四个步骤建立适当的平面直角坐标系.把相关向量坐标化.用向量的坐标运算找出相应关系.把几何问题向量化.跟踪训练 1已知 O，A，B 是平面上不共线的三点，直线 AB 上有一点 C，满足 2ACCB0，(1)用OA，OB表示OC；(2)若点 D 是 OB 的中点，证明四边形 OCAD 是梯形.(1)解因为 2ACCB0，所以 2(OCOA)(OBOC)0，2OC2OAOBOC0，所以OC2OAOB.(2)证明如图，DADOOA12OBOA12(2OAOB).故DA12OC.即 DAOC，且 DAOC，故四边形 OCAD 为梯形.二、利用向量解决平面几何求值问题例 2如图，已知|p|2 2，|q|3，p，q 的夹角为4，若AB5p2q，ACp3q，D 为 BC的中点，则|AD|_.答案152解析由题意知 2ADABAC，因为AB5p2q，ACp3q，所以 2ADABAC6pq，所以 2|AD|6pq|362 22122 23cos43215，所以|AD|152.反思感悟(1)用向量法求长度的策略根据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公式|a|2a2求解.建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若 a(x，y)，则|a|x2y2.(2)用向量法解决平面几何问题的两种思想几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质求解.坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算.跟踪训练 2在ABC 中，已知 A(4,1)，B(7,5)，C(4,7)，则 BC 边上的中线 AD 的长是()A.2 5B.5 52C.3 5D.7 52答案B解析BC 的中点为 D32，6，AD52，5，|AD|5 52.三、向量在物理中的应用例 3一艘船以 5 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行方向与水流方向成 30角，则水流速度为_ km/h.答案5 3解析如图所示，船速|v1|5 km/h，水流速度为 v2，实际航行方向 v 与水流方向 v2成 30角，|v2|v1|tan 305 3(km/h).反思感悟用向量解决物理问题的一般步骤(1)问题的转化，即把物理问题转化为数学问题.(2)模型的建立，即建立以向量为主体的数学模型.(3)参数的获得，即求出数学模型的有关解理论参数值.(4)问题的答案，即回到问题的初始状态，解释相关的物理现象.跟踪训练 3一物体在力 F1(3，4)，F2(2，5)，F3(3,1)的共同作用下从点 A(1,1)移动到点 B(0,5).在这个过程中三个力的合力所做的功为_.答案40解析F1(3，4)，F2(2，5)，F3(3,1)，合力 FF1F2F3(8，8).又AB(1,4)，FAB8(1)(8)440，即三个力的合力做的功等于40.1.在ABC 中，若(CACB)(CACB)0，则ABC()A.是正三角形B.是直角三角形C.是等腰三角形D.形状无法确定答案C解析(CACB)(CACB)CA2CB20，即|CA|CB|，CACB，则ABC 是等腰三角形.2.已知 A，B，C，D 四点的坐标分别为(1,0)，(4,3)，(2,4)，(0,2)，则此四边形为()A.梯形B.菱形C.矩形D.正方形答案A解析AB(3,3)，CD(2，2)，AB32CD，AB与CD共线.又|AB|CD|，该四边形为梯形.3.当两人提起重量为|G|的旅行包时，两人用力方向的夹角为，用力大小都为|F|，若|F|G|，则的值为()A.30B.60C.90D.120答案D解析作OAF1，OBF2，OCG(图略)，则OCOAOB，当|F1|F2|G|时，OAC 为正三角形，所以AOC60，从而AOB120.4.在ABC 中，D 为三角形所在平面内一点，且AD13AB12AC，则SABDSABC等于()A.23B.13C.16D.12答案D解析因为AD13AB12AC，所以点 D 在 AB 边的中位线上，从而有 SABD12SABC.5.如图，在平面直角坐标系中，正方形 OABC 的对角线 OB 的两端点分别为 O(0,0)，B(1,1)，则ABAC_.答案1解析由已知得 A(1,0)，C(0,1)，所以AB(0,1)，AC(1,1).所以ABAC1.1.知识清单：(1)平面几何中的向量方法.(2)向量在物理中的应用.2.方法归纳：化归转化、数形结合.3.常见误区：要注意选择恰当的基底.1.已知力 F 的大小|F|10，在 F 的作用下产生的位移 s 的大小|s|14，F 与 s 的夹角为 60，则 F 做的功为()A.7B.10C.14D.70答案D解析F 做的功为 Fs|F|s|cos 6010141270.2.已知点 A(2，3)，B(19,4)，C(1，6)，则ABC 是()A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形答案C解析AB(19,4)(2，3)(21,7)，AC(1，6)(2，3)(1，3)，ABAC21210，ABAC.则A90，又|AB|AC|，ABC 为直角三角形.3.点 O 是ABC 所在平面内的一点，满足OAOBOBOCOCOA，则点 O 是ABC 的()A.三个内角的角平分线的交点B.三条边的垂直平分线的交点C.三条中线的交点D.三条高所在直线的交点答案D解析OAOBOBOC，(OAOC)OB0，OBCA0，OBAC.同理 OABC，OCAB，O 为三条高所在直线的交点.4.在 RtABC 中，斜边 BC 长为 2，O 是平面 ABC 内一点，点 P 满足OPOA12(ABAC)，则|AP|等于()A.2B.1C.12D.4答案B解析OPOA12(ABAC)，OPOA12(ABAC)，AP12(ABAC)，AP 为 RtABC 斜边 BC 的中线.|AP|1.5.在四边形 ABCD 中，若AC(1,2)，BD(4,2)，则该四边形的面积为()A.5B.2 5C.5D.10答案C解析ACBD0，ACBD.四边形 ABCD 的面积S12|AC|BD|12 52 55.6.已知点 A(1,1)，M(x，y)，且 A 与 M 不重合，若向量AM与向量 a(1,2)垂直，则点 M 的坐标 x，y 之间的关系为_.答案x2y30(x1)解析AMa(x1，y1)(1,2)x12y2x2y30.又 A 与 M 不重合，所以 x1.7.一条河宽为 8 000 m，一船从 A 出发垂直航行到达河正对岸的 B 处，船速为 20 km/h，水速为 12 km/h，则船到达 B 处所需时间为_ h.答案0.5解析v实际v船v水v1v2，|v1|20，|v2|12，|v|v1|2|v2|2 20212216(km/h).所需时间 t8160.5(h).该船到达 B 处所需的时间为 0.5 h.8.已知在矩形 ABCD 中，AB2，AD1，E，F 分别为 BC，CD 的中点，则(AEAF)BD_.答案92解析如图，以 A 为坐标原点 O，以 AB 所在直线为 x 轴，以 AD 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系，则 A(0，0)，B(2,0)，D(0,1)，C(2,1).E，F 分别为 BC，CD 的中点，E2，12，F(1,1)，AEAF3，32，BD(2,1)，(AEAF)BD3(2)32192.9.已知 A，B，C 是直线 l 上不同的三个点，点 O 不在直线 l 上，求使等式 x2OAxOBBC0 成立的实数 x 的取值.解BCOCOB，x2OAxOBOCOB0，即OCx2OA(x1)OB，A，B，C 三点共线，x2(x1)1，即 x2x0，解得 x0 或 x1.当 x0 时，x2OAxOBBC0，BC0，此时 B，C 两点重合，不合题意，舍去.故 x1.10.帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动，如果一帆船所受的风力方向为北偏东 30，速度为 20 km/h，此时水的流向是正东，流速为 20 km/h.若不考虑其他因素，求帆船的速度与方向.解建立如图所示的直角坐标系，风的方向为北偏东 30，速度为|v1|20 km/h，水流的方向为正东，速度为|v2|20 km/h，设帆船行驶的速度为 v，则 vv1v2.由题意，可得向量 v1(20cos60，20sin 60)(10,10 3)，向量 v2(20,0)，则 vv1v2(10,10 3)(20,0)(30,10 3)，所以|v|30210 3220 3(km/h).因为 tan 10 33033(为 v 和 v2的夹角，为锐角)，所以30，所以帆船向北偏东 60的方向行驶，速度为 20 3 km/h.11.如图所示，在矩形 ABCD 中，AB4，点 E 为 AB 的中点，且DEAC，则|DE|等于()A.52B.2 3C.3D.2 2答案B解析以 A 为坐标原点，AB 所在直线为 x 轴，AD 所在直线为 y 轴，建立如图所示的直角坐标系.设|AD|a(a0)，则 A(0,0)，C(4，a)，D(0，a)，E(2,0)，所以DE(2，a)，AC(4，a).因为DEAC，所以DEAC0，所以 24(a)a0，即 a28.所以 a2 2，所以DE(2，2 2)，所以|DE|222 222 3.12.若点 M 是ABC 所在平面内的一点，且满足 3AMABAC0，则ABM 与ABC 的面积之比为()A.12B.13C.14D.25答案B解析如图，D 为 BC 边的中点，则AD12(ABAC).因为 3AMABAC0，所以 3AM2AD，所以AM23AD，所以 SABM23SABD13SABC.13.用两条成 120角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具重 10 N，则每根绳子的拉力大小为_ N.答案10解析设重力为 G，每根绳的拉力分别为 F1，F2，则由题意得 F1，F2与G 都成 60角，且|F1|F2|，F1F2G0.|F1|F2|G|10 N，每根绳子的拉力都为 10 N.14.如图，BC，DE 是半径为 1 的圆 O 的两条直径，BF2FO，则FDFE_.答案89解析FDFOOD，FEFOOE，且ODOE，所以FDFE(FOOD)(FOOE)FO2OD219189.15.在平面直角坐标系中，已知三点 A(4,0)，B(t,2)，C(6，t)，tR，O 为坐标原点.(1)若ABC 是直角三角形，求 t 的值；(2)若四边形 ABCD 是平行四边形，求|OD|的最小值.解(1)由题意得，AB(t4,2)，AC(2，t)，BC(6t，t2)，若A90，则ABAC0，即 2(t4)2t0，t2；若B90，则ABBC0，即(t4)(6t)2(t2)0，t62 2；若C90，则ACBC0，即 2(6t)t(t2)0，无解，t 的值为 2 或 62 2.(2)若四边形 ABCD 是平行四边形，则ADBC，设点 D 的坐标为(x，y)，即(x4，y)(6t，t2)，x10t，yt2，即 D(10t，t2)，|OD|10t2t22 2t224t104，当 t6 时，|OD|取得最小值 4 2.16.一艘船从南岸出发，向北岸横渡.根据测量，这一天水流速度为 3 km/h，方向正东，风吹向北偏西 30，受风力影响，静水中船的漂行速度为 3 km/h，若要使该船由南向北沿垂直于河岸的方向以 2 3 km/h 的速度横渡，求船本身的速度大小及方向.解如图，设水的速度为 v1，风的速度为 v2，v1v2a.可求得 a 的方向是北偏东 30，a 的大小是 3 km/h.设船的实际航行速度为 v，方向由南向北，大小为 2 3 km/h.船本身的速度为v3，则 av3v，即 v3va，由数形结合知，v3的方向是北偏西 60，大小是 3 km/h.
