考研高数作业资料(上).doc

, 上 册 目 录 第一讲: 极限与连续2单元一: 未定型极限(1)2单元二: 未定型极限(2)3单元三: 未定型极限(3)4单元四: 未定型极限(4)(含)6单元五: 特殊求极限法.7单元六: 无穷小比较.9单元七: 函数连续性.10单元八: 渐近线讨论.12单元九: 介值定理.13 第二讲: 导数及应用.14单元一: 定义求导.14单元二: 公式与法则.16单元三: 特殊求导法.18单元四: 斜率与切线.20单元五: 单调性与极值.20单元六: 单调性应用.23单元七: 二阶导应用.26单元八: 中值定理.28单元九: 泰勒公式.30 第三讲: 一元积分学32单元一: 原函数与不定积分.32单元二: 定积分性质.35单元三: 定积分计算.36单元四: 定积分几何应用.39单元五: 定积分物理应用.41 第四讲: 微分方程43单元一: 一阶方程.43单元二: 可降阶方程.44单元三: 高阶线性方程.45单元四: 应用方程.46 第一讲: 极限与连续单元一: 未定型极限(1)1. 若 , 则: ; ; 时; 时,2. (1) (2); 3. (1); (2) (3) 4. 设是多项式, 且, 求. 5. ,求与的关系. 6. , 其中: (1); (2); (3) (1); (2); (3)7. ,求:. 8. , 求: 单元二: 未定型极限(2)1. 求极限: (1). (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 2. , 求: 3. 求极限(对比) (1) (2) 4. 求极限 (1); (2) (3) (4) 单元三: 未定型极限(3)1. 2. 求极限: (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) 3. 求极限(洛必达法则): (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) 4. 求极限(对比) (1); (2) 5. 6. 求极限(泰勒公式) (1) (2) (3) (4) 7. 已知: , 求: 单元四: 未定型极限(4)(含)1. 求极限: (1) (2) (3) 2. 设, 求. 3. 在上连续, , 证明: . 4. 设,其中为连续函数,则 ; ; ; 不存在5. 连续, 求. 6. 连续,证明: 单元五: 特殊求极限法1. 求: (1) (2); (3) (4) (5) (6) 2. 设, 求: 3. 非负不增, 发散, 证明: 4. 为单调递增正数列, 证明: . 5. ,且非负,求: 6. 设非负连续函数在上单调递减, , 证明数列的极限存在 ,7. 设, 证明数列极限存在,并求此极限. , 且, 8. 设, 证明: 收敛. 法(1)收敛; 法(2)9. , 求: . 法(1):准则; 法(2):10. 设, 证明: 存在, 并求出其极限. ,11. 设, 证明: 存在, 并求出其极限, 其中: (1)若 (2)若 12. (1) (2) 13. (1) (2) 14. . 单元六: 无穷小比较1. 当 时, 变量 是 的( )无穷小. 高阶; 同阶不等价; 等价; 低价.2. 当时,是的什么无穷小？ 同阶不等价3. 当时, 是的什么无穷小? , 高阶4. 当时, 是的什么无穷小？ ,低价5. 当时, 是的什么无穷小? ,同阶不等价6. 当时, , 求: 7. 当时,比较无穷小:的阶 8. 当时, 是的几阶无穷小? , 9. 当时,是的几阶无穷小? 10. 当时, , 其中: (1) (2) (3)? (4); (5) (6) 11. 有连续导数,且,当时,? ,12. 在 的某邻域内具有一阶连续导数, 且 , 若: 在时是比高阶的无穷小, 求: . 13. 设为无穷小, 且, (1)证明:; (2)问:? , 否单元七: 函数连续性1. 设和在内有定义,为连续函数,且有间断点, 则 必有间断点的函数是: ; ; ; 2. 考察函数连续性: (1); (1)无穷; (2)跳跃 (2) (1)可去; (2)跳跃3. 设. (1)写出连续区间; (2)确定间断点,并判别其类型. (1); (2)可去4. 求在内的间断点, 并判别类型 (1)可去; (2)第二类5. ,确定,使在处连续. 6. 考察在处为何种间断点, 其中: (1) 跳跃 (2) 跳跃 (3) 可去7. 设, 考察的连续性. 连续, 时, 为跳跃间断点8. 求的间断点, 并判别类型. 无穷单元八: 渐近线讨论1. 求曲线的渐近线. 2. 求曲线的渐近线方程. 3. 考察下列函数曲线的渐近线. (1) (2) (3) (4) (5) 4. 已知, 求: . 单元九: 介值定理1. 在上连续, 且, 证明: , 使: . ,(1), (2),2. 在上非负连续,(1)证明:,使在上以为高的矩形面 积等于在上以为曲边的梯形面积 (2)又若在内可导,且, 则证明(1)中的是唯一的 (1), (2)3. 在上连续, 非负, 且, 证明: ,使得: 异号4. 若在上连续, , 证明: , 使得: 第二讲: 导数及应用单元一: 定义求导1. 设, 求: 2. 设可导, , 求: 3. 设, 求: . 4. 设, 求: . 5. 设, 并且可导, 求. 6. 满足:, 求:. 7. 若在处有:, 则在处有: 8. 求,其中分别为: (1),连续; (2),连续,; (3),有界. 9. , 求: . 不存在10. 在上满足: (1) (2), 证明: . 11. 问在处是否连续?可导? (1) (2),其中有界 (3) (4), 且. 12. 奇函数在处可导, 问: 在处是否连续? 可导? 13. 设且在处可导,令,求 14. 设函数在上连续, 又, 证明: 对满 足的一切, . 15. 考察函数在处的连续性,可导性,以及的连续性. 16. 若有连续的导数,且,设,确定常数,使 连续,并问此时是否连续? 单元二: 公式与法则1. 设,且,求:. 2. 在处具有连续导数, 且, 求. 3. 可导,求: 4. 求:(1) (2) (3) (4) 5. 求:(1) (2) (3) (4),求 6. ,求.使存在. 7. 选定参数, 使立方抛物线:,与曲线 光滑连接起来. 8. , 问为何值时,可导, 并求 9. (1),求. (2),求. (3), 求; (4), 求:. 10. (1), 求 (2),求 (3), 求: . 11. 设, 证明: . 单元三: 特殊求导法1. 确定, 证明: 单调,并求 2. 设, 求其反函数的导数 3. 由方程 确定, 求 . 4. ,求:. 5. , 求: . 6. 由方程 确定, 求 7. , :可导, 求. 8. 已知, 而 是由方程 所确定的的函数, 求: . 9. 可导单调,由,求 ,10. 设函数 由等式 所确定, 求: 。 11. 由确定的隐函数为, 求: 。 12. 单调可导,其反函数为,且已知求 13. ,求 14. 求: (1); (2). 15. 设由:确定,考察在相应于处的可微性 单元四: 斜率与切线1. 求对数螺线: 在点处的切线方程. 2. 求与的公切线方程. 3. 问: 曲线与曲线在哪些点相切, 哪些点直交. 相切:; 直交:4. 为周期为 的连续函数, 它在 的某个邻域内满足: 其中是当时比高阶的无穷小量, 且在处可导, 求曲线 在点处的切线方程. , 单元五: 单调性与极值1. 设 试考察:(1)定义域内连续性; (2)单调性; (3) ,连续; (2)递减; (3)2. 设为已知的连续函数,令,其中, 则的值: 依赖于,不依赖于; 依赖于和; 依赖于和,不依赖于; 依赖于和. 3. 函数的单调减少区间为? 连续!, 递减4. 由:所确定, 求的单调区间. 5. 上二阶可导,且,证明在内递增. 6. 设在内连续,且, 求证:当时单调增加. 7. 三数: 中哪个最大? 8. 设, 判断: 与 的大小. 9. 设可导函数,大于零, , 且, 则: ; ; 10. 考察的单调性. 11. 讨论函数 在区间 内的单调性与极值. 12. 设三次函数有两个极值点及其对应的两个极值均为相反数,则函 数图形关于什么对称? 奇函数13. 满足: , 求的极值 14. 求的极值 15. 在上连续,求驻点和极值点. 驻点: 极小值点:; 极大值点:16. 在处连续, , 问:是什么点? 极大值点17. 已知在点的某邻域内连续,且,则处必: 不可导; 可导,但; 取到极小值; 取到极大值18. 求,使仅有两个相异负值驻点,且有唯一极值点 19. 求的极值点. 极小值点；极大值点 单元六: 单调性应用1. 设, (为自然数), (1)求; (2)证明: . ;(2)2. 在上正值连续,求的最小值. 最小值:3. 求的最大值. 4. 设连续, 且, 令, (1)证明:递增; (2)求的最小值; (3)若的最小值为:,求 , 5. 设, 又设是它的最大实根, 则满足: ; ; ; 6. , 设, 证明: 7. (1)证明方程在内有且仅有两个不同实根. (2)考察在内根的个数. 偶, 单调异号, :二根 (3)考察方程: 根的个数. (一个根) (4)考察方程根的个数. :二根 (5)证明: 恰有两个根. 为唯一驻点, (6)对的不同取值, 确定方程在内根的个数, 并加以证明 (1):无根; (2):一根; (3):二根8. (1)直线经过,且使的值最小,求之值. (2)在和之间求值,使得所围的面积最小. (3)过点引直线, 若它在两个坐标轴上截矩为正, 求使截矩之和最小的直线. 设:9. (1)是上定点, 是该曲线另一分支上的动点,求线段长度最短 的点的坐标. (2)设曲线与直线相交于两点, 又为曲线弧上任一点, 求面积的最大值. (3)求点到曲线上的最近距离. 10. 证明不等式: (1); (2); (3). (4) (5),. (6). 11. 证明: 当时, (1). , (2). ,12. 在上可导, 且, 证明: . 13. 设在上连续, 内可导, , 证明: 14. 确定函数的单调区间,并证明:,有. 15. 可导, 恒正, , 且, 则: ; ; ; 16. 设, 证明: (1); (2) (1) (2)17. 证明: 当时, . 单元七: 二阶导应用1. 若,问是什么点? 极小2. 为满足的通解, 问为何种点? ,极大3. 任意阶可导, 且, 则 是什么点? ,极小4. 在上满足:, 比较:的大小顺序. 5. 二阶可导,若的一个拐点是,求. 6. 问在内极值与拐点个数. 连续, :极大; :极小 , :拐点. 共计:2个极值,3个拐点7. 证明:由所确定的隐函数在的某邻域内是递增 的.并说明点是否为曲线的拐点? , 为拐点8. 设函数由确定, 求曲线的凸区间. 9. 作图: (1). 图略 (2) 10. 求:的 (1)单调性; (2)凹凸性; (3)曲率 (1); (2): 凹; (3)11. 设 在 内满足: , 且, 证明: . 单元八: 中值定理1. :上可导,且,证明,使 2. 在上连续,内可导, 且, 证明:,在内至少存 在一点, 使得 . ,罗尔定理3. 可导, 则任意两个零点之间, 必有 的零点 ,令,罗尔定理4. 设, 证明:在内至少有一个零点. ,罗尔定理5. 设在上二阶可导,证明:,使得: 6. 上连续,证明:,使:. , 罗尔定理7. ,上二阶可导,证: ;罗尔定理8. 设函数在上具有二阶导数, 且, 证明: , 使得: 和 使得9. 设在上可导, 证明: , 使得: 左式=10. 设函数在上可导,证明:,使得: 11. 设在上连续,在内三阶可导,且, 证明: 存在, 使得. , 12. 设, 证明: 中值或不等式 (1); (2)13. 在上连续,内有二阶导数,且曲线与直线 在内有交点, 证明在内至少有一点, 使 14. 设在内取得最大值, 在上具有二阶导数,