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,三、计算题1、已知,求的Z变换及收敛域。（10分）解： 2、设 求。（10分）解：， ， ， 其z反变换为3、写出图中流图的系统函数。(10分)解：、利用共轭对称性，可以用一次DFT运算来计算两个实数序列的DFT，因而可以减少计算量。设都是N点实数序列，试用一次DFT来计算它们各自的DFT： （10分）。解:先利用这两个序列构成一个复序列，即 即 又得 同样 所以用DFT求出后，再按以上公式即可求得与。5、已知滤波器的单位脉冲响应为求出系统函数，并画出其直接型结构。（10分）解：（）（）、略。、设模拟滤波器的系统函数为 试利用冲激响应不变法，设计IIR数字滤波器。（10分）解 设T=1，则有 三、（12分）序列为1、 画出序列的图形；2、计算线性卷积 ；3、计算5点圆周卷积。4、为了使点的与圆周卷积可以表示其线性卷积，最小的值为多少？解：1、序列的图形如下：（2分）2、 =1，4，4，2，4，0，1 （4分）3、 =1，5，4，2，4 （4分）4、为了使点的与圆周卷积可以表示其线性卷积，最小的值为4+4-1=7 （2分）四、（16分）已知一个线性时不变因果系统，用下列差分方程描述： 求该系统的系统函数H(z)，画出其极、零点图，并指出其收敛域。2、画出其直接型和型的实现结构。3、求该系统的单位脉冲响应，并判断该系统是FIR系统还是IIR系统？解:1、 (3分)极点: , 零点: , (2分) 收敛域 (因系统是因果系统) (1分) 2、直接型实现结构 (2.5分) 直接型实现结构 (2.5分)3、 = , 系统的单位脉冲响应为: (3分) 该系统是IIR系统. (2分)五、（15分）已知系统的单位取样响应1、 求该系统的频率响应即振幅、相位。并指出该系统属于哪一种类型的线性相位FIR滤波器？2、 求该系统的系统函数H(z)，画出H(z)的极点和零点，指出其收敛域。3、 试判断该系统是否是稳定系统？4、画出其横截型实现结构。解 1、系统的频率响应为 ，为整数。 （3分）因系统单位脉冲响应的长度为8，且具有偶对称特性，因此该系统属于第二种类型的线性相位FIR滤波器。 （2分）2、系统函数H(z)为 （2分） H(z)的极点为（7阶），零点为 ， （2分） H(z)的收敛域为 （1分） 3、系统函数H(z)的收敛域包括单位圆，所以系统是稳定的 （2分）4、该系统的横截型（即直接型或卷积型）结构如下图所示 （3分）六、（10分）设，试用双线性变换法和脉冲响应不变法，将以上模拟系统函数转变为数字系统函数，采样周期。解：双线性变换法：（5分） 脉冲响应不变法：（5分） 当采样周期 七、(12分)有一连续信号，式中，1、求出的周期；2、用采样间隔对进行采样，写出采样信号的表达式；3、写出对应的时域离散信号（序列），并求出的周期。4、若频谱分析时计算了100个采样的DFT，试求频谱采样之间的频率间隔。解：1、的周期是s (2分)2、 = (3分) 3、 因, 则 (2分)的数字频率为， 周期 (3分) 4、频谱采样之间的频率间隔 (2分)八、（10分）1、图1 所示为时间抽取法蝶形运算流图，试写出和与和的关系。2、若，请给出时间抽取法FFT总的复数乘法次数和复数加法次数。3、时，DIT-FFT共需多少级分解？每级运算要计算的蝶形运算有多少个？ 图1 时间抽取法蝶形运算流图符号解：1、 （2分） （2分） 2、总的复数乘法次数 （1.5分） 总的复数加法次数 （1.5分） 3、DIT-FFT共需M级分解，每级运算要计算的蝶形运算有个. （3分）四、简答题 （每题5分，共20分）1用DFT对连续信号进行谱分析的误差问题有哪些？2画出模拟信号数字化处理框图，并简要说明框图中每一部分的功能作用。3简述用双线性法设计IIR数字低通滤波器设计的步骤。48点序列的按时间抽取的（DIT）基-2 FFT如何表示？五、计算题 （共40分）1已知，求x(n)。（6分）2写出差分方程表示系统的直接型和级联型结构。（8分）3计算下面序列的N点DFT。（1）（4分）（2） （4分）4设序列x(n)=1，3，2，1；n=0,1,2,3 ，另一序列h(n) =1，2，1，2；n=0,1,2,3，（1）求两序列的线性卷积 yL(n)； （4分）（2）求两序列的6点循环卷积yC(n)。 （4分）（3）说明循环卷积能代替线性卷积的条件。（2分）5设系统由下面差分方程描述：（1）求系统函数H（z）；（2分）（2）限定系统稳定，写出H（z）的收敛域，并求出其单位脉冲响应h(n)。（6分）四、简答题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）答案：1.答：混叠失真；截断效应（频谱泄漏）；栅栏效应2.答：第1部分：滤除模拟信号高频部分；第2部分：模拟信号经抽样变为离散信号；第3部分：按照预制要求对数字信号处理加工；第4部分：数字信号变为模拟信号；第5部分：滤除高频部分，平滑模拟信号。3.答：确定数字滤波器的技术指标；将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标；按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器；将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器。4答：五、计算题 （本题共5个小题，共40分）本题主要考查学生的分析计算能力。评分标准：1.所答步骤完整，答案正确，给满分；全错或不答给0分。2.部分步骤正确、答案错误或步骤不清、答案正确，可根据对错程度，依据答案评分点给分。3.采用不同方法的，根据具体答题情况和答案的正确给分。答案：1解：由题部分分式展开 求系数得 A=1/3 ， B=2/3 所以 （3分）收敛域z>2，故上式第一项为因果序列象函数，第二项为反因果序列象函数， 则 （3分）2解：(8分)3解：（1） （4分） （2） （4分）4解：（1） yL(n)=1，5，9，10，10，5，2；n=0,1,26 （4分）（2） yC(n)= 3，5，9，10，10，5；n=0,1,2,4,5 （4分）（3）cL1+L2-1 （2分）5解：（1） （2分） （2） （2分）； （4分）简答题：1 在A/D变换之前和D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，它们分别起什么作用？答：在A/D变化之前让信号通过一个低通滤波器，是为了限制信号的最高频率，使其满足当采样频率一定时，采样频率应大于等于信号最高频率2倍的条件。此滤波器亦称位“抗折叠”滤波器。在D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，是为了滤除高频延拓谱，以便把抽样保持的阶梯形输出波平滑化，故友称之为“平滑”滤波器。2何谓最小相位系统？最小相位系统的系统函数有何特点？解：一个稳定的因果线性移不变系统，其系统函数可表示成有理方程式 ，他的所有极点都应在单位圆内，即。但零点可以位于Z平面的任何地方。有些应用中，需要约束一个系统，使它的逆系统也是稳定因果的。这就需要的零点也位于单位圆内，即。一个稳定因果的滤波器，如果它的逆系统也是稳定因果的，则称这个系统是最小相位。等价的，我们有如下定义。【定义】一个有理系统函数，如果它的零点和极点都位于单位圆内，则有最小相位。 一个最小相位系统可由它的傅里叶变换的幅值唯一确定。从求的过程如下：给定，先求，它是的函数。然后，用替代，我们得到。最后，最小相位系统由单位圆内的的极、零点形成。一个稳定因果系统总可以分解成一个最小相位系统和一个全通系统的乘积，即完成这个因式分解的过程如下：首先，把的所有单位圆外的零点映射到它在单位圆内的共轭倒数点，这样形成的系统函数是最小相位的。然后，选择全通滤波器，把与之对应的中的零点映射回单位圆外。3何谓全通系统？全通系统的系统函数有何特点？解：一个稳定的因果全通系统，其系统函数对应的傅里叶变换幅值，该单位幅值的约束条件要求一个有理系统函数方程式的零极点必须呈共轭倒数对出现，即。因而，如果在处有一个极点，则在其共轭倒数点处必须有一个零点。4有一线性时不变系统，如下图所示，试写出该系统的频率响应、系统（转移）函数、差分方程和卷积关系表达式。解：频率响应： 系统函数： 差分方程： 卷积关系：二、离散时间信号与系统频域分析计算题：1设序列的傅氏变换为，试求下列序列的傅里叶变换。（1） （2）（共轭）解：（1）由序列傅氏变换公式 DTFT可以得到DTFT （2）（共轭）解：DTFT2计算下列各信号的傅里叶变换。 （a） （b）（c） （d）解：（a） （b） （c）（d）利用频率微分特性，可得3序列的傅里叶变换为，求下列各序列的傅里叶变换。 （1） （2） (3) 解： （1） （2） （3）4序列的傅里叶变换为，求下列各序列的傅里叶变换。 （1） （2） (3) 解：（1） （2） （3）5令和表示一个序列及其傅立叶变换，利用表示下面各序列的傅立叶变换。（1）（2） 解：（1） （2）6设序列傅立叶变换为，求下列序列的傅立叶变换。（1） 为任意实整数（2）（3）解：（1） （2） n为偶数 0 n为奇数 （3）7计算下列各信号的傅立叶变换。（1）（2）（3）【解】（1） （2）假定和的变换分别为和，则所以 （3） 8求下列序列的时域离散傅里叶变换 ， ， 解： 、离散傅立叶级数计算题：1如果是一个周期为N的周期序列，那么它也是周期为2N的周期序列。把看作周期为N的周期序列有（周期为N）；把看作周期为2N的周期序列有（周期为2N）；试用表示。解： 对后一项令，则 所以 计算题8令表示N点的序列的N点离散傅里叶变换，本身也是一个N点的序列。如果计算的离散傅里叶变换得到一序列，试用求。解：因为 所以9序列，其4点DFT如下图所示。现将按下列（1），（2），（3）的方法扩展成8点，求它们8点的DFT？（尽量利用DFT的特性）（1） （2） （3） 解：（1）（2）（3）10设是一个2N点的序列，具有如下性质： 另设，它的N点DFT为，求的2N点DFT和的关系。解： 推导过程略11试求以下有限长序列的N点DFT（闭合形式表达式）（1） （2）解：（1）因为，所以（2）由，得所以12计算下列序列的N点DFT： （1） （2），解：（1）， （2） , k=m或k=-m= 0, 其它13已知一个有限长序列 （1） 求它的10点离散傅里叶变换（2） 已知序列的10点离散傅立叶变换为，求序列（3） 已知序列的10点离散傅立叶变换为，求序列解；（1）=1+2=1+2=1+2，（2）由可以知道，是向右循环移位2的结果，即（3）由可以知道，一种方法是先计算 =然后由下式得到10点循环卷积 另一种方法是先计算的10点离散傅立叶变换再计算乘积 由上式得到 14（1）已知序列：，求的N点DFT。（2）已知序列：，则的9点DFT是 正确否？用演算来证明你的结论。解：（1） = 0， 其它（2） 可见，题给答案是正确的。15一个8点序列的8点离散傅里叶变换如图5.29所示。在的每两个取样值之间插入一个零值，得到一个16点序列，即 ，为偶数0 ，为奇数（1）求的16点离散傅里叶变换，并画出的图形。（2）设的长度N为偶数，且有，求。解：（1）因n为奇数时，故 ， 另一方面 因此 所以 按照上式可画出的图形，如图5.34所示。16计算下列有限长序列的DFT，假设长度为N。 （1） （2）解：（1） (2) 17长度为8的有限长序列的8点DFT为，长度为16的一个新序列定义为 0 试用来表示。解： 而 因此，当时，；当时，令，得到：即 于是有 18试计算的离散傅里叶变换的值。【解】 所以 证明题：19设表示长度为N的有限长序列的DFT。（1） 证明如果满足关系式则（2） 证明当N为偶数时，如果 则解 （1）令显然可得 （2） （将n分为奇数和偶数两部分表示） 显然可得 简答题：21在离散傅里叶变换中引起混迭效应的原因是什么？怎样才能减小这种效应？解：因为为采样时没有满足采样定理减小这种效应的方法：采样时满足采样定理，采样前进行滤波，滤去高于折叠频率的频率成分。22试说明离散傅里叶变换与Z变换之间的关系。解：离散傅立叶变换是Z变换在单位圆上的等间隔采样。证明题：4试证N点序列的离散傅立叶变换满足Parseval恒等式 证： 5是一个离散傅里叶变换对，试证明离散傅里叶变换的对称性： 证明略。6长为N的有限长序列，分别为的圆周共轭偶部及奇部，也即证明：证 7若证： （1） （2）由（2），将互换，则有 （这应该是反变换公式） （用，且求和取主值区） 与（1）比较 所以8若，求证。证： 而 （为整数） 0 所以 于是 9令表示N点序列的N点DFT，试证明：（a） 如果满足关系式，则。（b） 当N为偶数时，如果，则。证： （a）N为偶数： N为奇数：而中间的一项应当满足： 因此必然有 这就是说，当N为奇数时，也有。（b）当N为偶数： 当N为偶数时，为奇数，故；又由于故有10设，求证。【解】因为 根据题意 因为 所以 11证明：若为实偶对称，即，则也为实偶对称。【解】 根据题意 下面我们令进行变量代换，则 又因为为实偶对称,所以，所以 可将上式写为 所以 即证。注意：若为奇对称，即，则为纯虚数并且奇对称，证明方法同上。计算题：12已知，用圆周卷积法求和的线性卷积。解： ， 因为的长度为,的长度为所以的长度为,故应求周期的圆周卷积的值，即所以13序列，序列。（1）求线性卷积（2）若用基2 FFT的循环卷积法（快速卷积）来得到两个序列的线性卷积运算结果，FFT至少应取多少点？ 解：（1）所以，（2）若用基2FFT的循环卷积法（快速卷积）来完成两序列的线性卷积运算，因为的长度为；所以得长度为。故FFT至少应取点。14有限长为N=100的两序列 做出示意图，并求圆周卷积及做图。解 示意图略，圆周卷积15已知是长度为N的有限长序列，现将的每两点之间补进个零值，得到一个长为的有限长序列 求：DFT与的关系。 解：因为 令 16已知是N点有限长序列，。现将长度变成点的有限长序列 试求点DFT与的关系。解：由可得 所以在一个周期内，的抽样点数是倍，相当于在的每两个值之间插入个其他的数值（不一定为零），而当的整数倍时，相等。17已知是N点有限长序列，。现将的每两点之间补进个零值点，得到一个点的有限长序列 试求点DFT与的关系。解：由可得而 所以是将（周期为N）延拓次形成的，即周期为。18已知序列和它的6点离散傅立叶变换。（1）若有限长序列的6点离散傅立叶变换为，求。（2）若有限长序列的6点离散傅立叶变换为的实部，即，求。（3）若有限长序列的3点离散傅立叶变换 ，求。解：（1）由知，是向右循环移位4的结果，即 （2） 由上式得到 （3） 由于 所以 即 或 19令表示N点的序列的N点离散傅里叶变换，本身也是一个N点的序列。如果计算的离散傅里叶变换得到一序列，试用求。解 因为 所以20为了说明循环卷积计算（用DFT算法），分别计算两矩形序列的卷积，如果，求 （1）两个长度为6点的6点循环卷积。 （2）两个长度为6点的12点循环卷积。【解】这是循环卷积的另一个例子。令 图3-6中，N定义为DFT长度。若，则N点DFT为 如果我们将和直接相乘，得 由此可得 这个结果绘在图3-6中。显然，由于序列是对于旋转，则乘积的和始终等于N。当然也可以把和看作是2L点循环卷积，只要给他们增补L个零即可。若我们计算增长序列的2L点循环卷积，就得到图3-7所示序列。可以看出它等于有限长序列和的线性卷积。注意如图3-7所，时 所以图3-7（e）中矩形序列的DFT为（） 循环卷积的性质可以表示为 考虑到DFT关系的对偶性，自然两个N点序列乘积的DFT等于他们对英的离散傅里叶变换的循环卷积。具体地说，若，则 或 21设是一个2N点序列，具有如下性质 另设，它的N点DFT为。求得2N点DFT和的关系。【答案】22已知某信号序列，试计算（1）和的循环卷积和；（2）和的线性卷积和；（3）写出利用循环卷积计算线性卷积的步骤。【答案】（1） （2） （3）略23如图表示一个5点序列。（1）试画出（2）试画出解：简答题：24试述用DFT计算离散线性卷积的方法。解：计算长度为M,N两序列的线性卷积，可将两序列补零至长度为M+N-1,而后求补零后两序列的DFT，并求其乘积，最后求乘积后序列的IDFT，可得原两序列的线性卷积。25已知是两个N点实序列的DFT值，今需要从求的值，为了提高运算效率，试用一个N点IFFT运算一次完成。解：依据题意 取序列 对作N点IFFT可得序列。又根据DFT性质 由原题可知，都是实序列。再根据，可得 四、频域取样填空题：1从满足采样定理的样值信号中可以不失真地恢复出原模拟信号。采用的方法，从时域角度看是（ ）；从频域角度看是（ ）。解：采样值对相应的内插函数的加权求和加低通，频域截断2由频域采样恢复时可利用内插公式，它是用（ ）值对（ ）函数加权后求和。解： 内插3频域N点采样造成时域的周期延拓，其周期是（ ）。解：（频域采样点数时域采样周期）简答题：4 已知有限长序列的变换为，若对在单位圆上等间隔抽样点，且，试分析此个样点序列对应的IDFT与序列的关系。解：如果 即是在单位圆上点等间隔抽样，根据频域抽样定理，则存在 上式表明，将序列以为周期进行周期延拓，取其主值区间上的值，即得序列。由于，故在对以为周期进行周期延拓时，必然存在重叠。5FFT算法的基本思想是什么？解：答案略。6简述时域取样定理和频域取样定理的基本内容。解：答案略。计算题：7设是长度为M的有限长序列，其Z变换为今欲求在单位圆上N个等距离点上的采样值，其中解答下列问题（用一个N点的FFT来算出全部的值）（1）当时，写出用一个N点FFT分别算出的过程； (2) 若求的IDFT，说明哪一个结果和等效，为什么?解：（1），对序列末尾补零至N个点得序列，计算的N点FFT即可得到。时，对序列以N为周期进行周期延拓得到一个新的序列，求序列的前M点的FFT即可得。（2）时得到的结果与等效，因为其满足频域取样定理。8已知，今对其z变换在单位圆上等分采样，采样值为，求有限长序列IDFT解 方法一 IDFT方法二交换求和次序 （因为 ，）所以 9研究一个长度为M点的有限长序列。 我们希望计算求z变换在单位圆上N个等间隔点上的抽样，即在上的抽样。当时，试找出只用一个N点DFT就能计算的N个抽样的方法，并证明之。解：若，可将补零到N点，即 则 10对有限长序列的Z变换在单位圆上进行5等份取样，得到取样值，即求的逆傅里叶变换。解： 11设如图所示的序列的Z变换为，对在单位圆上等间隔的4点上取样得到，即试求的4点离散傅里叶逆变换，并画出的图形。解：因为对在单位圆上等间隔的4点上取样，将使以4为周期进行周期延拓，所以，根据上式可画出的图形，如下图所示。四、用离散傅立叶变换对连续时间信号逼近问题简答题：1理解DFT分析信号频谱中出现的现象以及改善这些现象的方法?解：答案略2补零和增加信号长度对谱分析有何影响？是否都可以提高频谱分辨率?解：时域补零和增加信号长度，可以使频谱谱线加密，但不能提高频谱分辨率。3试说明连续傅里叶变换采样点的幅值和离散傅里叶变换幅值存在什么关系？解：两个幅值一样。4解释DFT中频谱混迭和频谱泄漏产生的原因，如何克服或减弱？解：如果采样频率过低，再DFT计算中再频域出现混迭线性，形成频谱失真；需提高采样频率来克服或减弱这种失真。泄漏是由于加有限窗引起，克服方法是尽量用旁瓣小主瓣窄的窗函数。计算题：5用某台FFT仪做谱分析。使用该仪器时，选用的抽样点数N必须是2的整数次幂。已知待分析的信号中，上限频率kHz。要求谱分辨率Hz。试确定下列参数：1.一个记录中的最少抽样点数；2.相邻样点间的最大时间间隔；3.信号的最小记录时间。解：因为待分析的信号中上限频率所以抽样频率应满足：因为要求谱分辨率，所以因为选用的抽样点数N必须是2的整数次幂，所以一个记录中的最少抽样点数相邻样点间的最大时间间隔信号的最小记录时间6（1）模拟数据以10.24千赫速率取样，且计算了1024个取样的离散傅里叶变换。求频谱取样之间的频率间隔。 （2）以上数字数据经处理以后又进行了离散傅里叶反变换，求离散傅里叶反变换后抽样点的间隔为多少？整个1024点的时宽为多少？解：（1）频率间隔（赫）（2）抽样点的间隔 整个1024点的时宽T=97.661024=100ms7频谱分析的模拟信号以8kHz被抽样，计算了512个抽样的DFT，试确定频谱抽样之间的频率间隔，并证明你的回答。证明：由 得 其中是以角频率为变量的频谱的周期，是频谱抽样之间的频谱间隔。又 则 对于本题有 所以 8设有一谱分析用的信号处理器，抽样点数必须为2的整数幂，假定没有采用任何特殊数据处理措施，要求频率分辨力，如果采用的抽样时间间隔为0.1ms，试确定：（1）最小记录长度；（2）所允许处理的信号的最高频率；（3）在一个记录中的最少点数。解：（1） 因为，所以 即最小记录长度为0.1s （2） 因为，而 所以 即允许处理的信号最高频率为5kHz。（3），又因N 必须为2的整数幂，所以一个记录中的最少点数为。简答题：4FFT主要利用了DFT定义中的正交完备基函数的周期性和对称性，通过将大点数的DFT运算转换为多个小数点的DFT运算，实现计算量的降低。请写出的周期性和对称性表达式。答：周期性：对称性：5基2FFT快速计算的原理是什么？它所需的复乘、复加次数各是多少？解：原理：利用的特性，将N点序列分解为较短的序列，计算短序列的DFT，最后再组合起来。复乘次数：，复加次数：一、 按时间抽取FFT算法4对于长度为8点的实序列，试问如何利用长度为4点的FFT计算的8点DFT？写出其表达式，并画出简略流程图。解： 按照式和式可画出如下图所示的流程图。按频率抽取FFT算法计算题：1是N点序列的DFT，N为偶数。两个点序列定义为 和分别表示序列和的点DFT，试由和确定的点DFT。解： DFT （为偶数） DFT（为奇数） 解上述方程可得简答题：2 简略推导按频率抽取基2-FFT算法的蝶形公式，并画出时算法的流图，说明该算法的同址运算特点。【答案】其同址运算特点为输入按自然顺序存放，输出序列按码位颠倒顺序存放。四、 其它FFT算法简答题：1已知两个N点实序列和得DFT分别为和，现在需要求出序列和，试用一次N点IFFT运算来实现。解：依据题意 取序列 对作N点IFFT可得序列。又根据DFT性质 由原题可知，都是实序列。再根据，可得 2已知长度为2N的实序列的DFT的各个数值，现在需要由计算，为了提高效率，请设计用一次N点IFFT来完成。解：如果将按奇偶分为两组，即令 那么就有 其中、分别是实序列、的N点DFT，、可以由上式解出： 由于是已知的，因此可以将前后分半按上式那样组合起来，于是就得到了和。到此，就可以像4.9题那样来处理了，也即令根据、，做一次N点IFFT运算，就可以同时得到和，它们分别是的偶数点和奇数点序列，于是序列也就求出了。五、 快速傅立叶变换应用简答题：1 采用FFT算法，可用快速卷积完成线性卷积。现预计算线性卷积，试写采用快速卷积的计算步骤（注意说明点数）。答：如果，的长度分别为,那么用长度的圆周卷积可计算线性卷积。用FFT运算来求值（快速卷积）的步骤如下：（1） 对序列，补零至长为N，使，并且(M为整数)，即（2） 用FFT计算，的离散傅立叶变换 （N点） （N点）（3） 计算（4） 用IFFT计算的离散傅立叶变换得： （N点）计算题：2设某FIR数字滤波器的冲激响应，其他值时。试求的幅频响应和相频响应的表示式，并画出该滤波器流图的线性相位结构形式。解： 所以的幅频响应为的相频响应为作图题：3有人设计了一只数字滤波器，得到其系统函数为： 请采用并联型结构实现该系统。解：答案略4用级联型结