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数学模型讲义第1页，共99页，编辑于2022年，星期六*产生新的科研手段：基于数学基础的仿真技术产生新的科研手段：基于数学基础的仿真技术.数学科学的重要性数学科学的重要性*科学技术是第一生产力；科学技术是第一生产力；*信息时代高科技的竞争本质上是数学的竞争；信息时代高科技的竞争本质上是数学的竞争；*“高技术高技术”本质上是一种数学技术；本质上是一种数学技术；*数学科学是一种关键的、普遍的、能够实行数学科学是一种关键的、普遍的、能够实行的技术；的技术；*计算机的飞速发展促使数学得以广泛应用；计算机的飞速发展促使数学得以广泛应用；第2页，共99页，编辑于2022年，星期六*在经济竞争中数学科学是必不可少的在经济竞争中数学科学是必不可少的;现代数学：现代数学：在理论上更抽象；在理论上更抽象；在方法上更加综合；在方法上更加综合；在应用上更为广泛。在应用上更为广泛。*数学很重要的一方面在于数学知识与数学方法数学很重要的一方面在于数学知识与数学方法的应用的应用.*更重要的方面是数学的更重要的方面是数学的思维方式思维方式的确立的确立.第3页，共99页，编辑于2022年，星期六21世纪科技人才应具备的数学素质与能力世纪科技人才应具备的数学素质与能力 数数学学运运算算能能力力 逻逻辑辑推推理理能能力力数数学学建建模模能能力力数数据据处处理理能能力力空空间间想想象象能能力力抽抽象象思思维维能能力力更更新新数数学学知知识识能能力力使使用用数数学学软软件件能能力力第4页，共99页，编辑于2022年，星期六第一讲第一讲 数学模型的基本概念数学模型的基本概念1.1数学模型的基本概念数学模型的基本概念1.2建立数学模型的重要意义建立数学模型的重要意义1.3数学建模示例数学建模示例1.4数学建模的方法和步骤数学建模的方法和步骤1.5数学模型的特点和分类数学模型的特点和分类第5页，共99页，编辑于2022年，星期六玩具、照片、飞机、火箭模型玩具、照片、飞机、火箭模型实物模型实物模型水箱中的舰艇、风洞中的飞机水箱中的舰艇、风洞中的飞机物理模型物理模型地图、电路图、分子结构图地图、电路图、分子结构图符号模型符号模型模型模型是为了一定目的，对客观事物的一部分是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的进行简缩、抽象、提炼出来的原型原型的替代物的替代物模型模型集中反映了集中反映了原型原型中人们需要的那一部分特征中人们需要的那一部分特征1.1 数学模型的基本概念数学模型的基本概念我们常见的模型我们常见的模型第6页，共99页，编辑于2022年，星期六这里特别强调这里特别强调构造模型的目的性构造模型的目的性-模型不是原型原封不动的复模型不是原型原封不动的复制品，原型有各个方面和各种层次的特征，而模型只要求反映与某种制品，原型有各个方面和各种层次的特征，而模型只要求反映与某种目的有关的那些方面和层次一个原型，为了不同的目的可以有许多目的有关的那些方面和层次一个原型，为了不同的目的可以有许多不同的模型如放在展厅里的飞机模型应该在外形上逼真但是不一不同的模型如放在展厅里的飞机模型应该在外形上逼真但是不一定会飞而参加航模竞赛的模型飞机要具有良好的飞行性能，在外观定会飞而参加航模竞赛的模型飞机要具有良好的飞行性能，在外观上不必苛求至于在飞机设计、试制过程中用到的数学模型和计算机上不必苛求至于在飞机设计、试制过程中用到的数学模型和计算机模拟，则只要求在数量规律上真实反映飞机的飞行动态特性毫不涉模拟，则只要求在数量规律上真实反映飞机的飞行动态特性毫不涉及飞机的实体所以模型的基本特征是由构造模型的目的决定的及飞机的实体所以模型的基本特征是由构造模型的目的决定的第7页，共99页，编辑于2022年，星期六我们已经看到模型有各种形式用模型替代原型的方式来我们已经看到模型有各种形式用模型替代原型的方式来分类，模型可以分为物质模型分类，模型可以分为物质模型(形象模型形象模型)和理想模型和理想模型(抽象模型抽象模型)前者包括前者包括直观模型物理模型直观模型物理模型等，后者包括等，后者包括思维模型，符号模型、思维模型，符号模型、数学模型数学模型等等直观模型直观模型指那些供展览用的实物模型，以及玩具、照片指那些供展览用的实物模型，以及玩具、照片等，通常是把原型的尺寸按比例缩小或放大主要追求外观等，通常是把原型的尺寸按比例缩小或放大主要追求外观上的逼真上的逼真这类模型的效果是一目了然的这类模型的效果是一目了然的第8页，共99页，编辑于2022年，星期六物理模型物理模型主要指科技工作者为一定目的根据相似原理构造的模主要指科技工作者为一定目的根据相似原理构造的模型，它不仅可以显示原型的外形或某些特征，而且可以用来进行模型，它不仅可以显示原型的外形或某些特征，而且可以用来进行模拟实验间接地研究原型的某些规律，如波浪水箱中的舰艇模型用拟实验间接地研究原型的某些规律，如波浪水箱中的舰艇模型用来模拟波浪冲击下舰艇的航行性能等风洞中的飞机模型用来试验飞来模拟波浪冲击下舰艇的航行性能等风洞中的飞机模型用来试验飞机在气流中的空气动力学特性有些现象直接用原型研究非常困难，机在气流中的空气动力学特性有些现象直接用原型研究非常困难，更可借助于这类模型，如地震模拟装置，核爆炸反应模拟设备等更可借助于这类模型，如地震模拟装置，核爆炸反应模拟设备等应注意验证原型与模型间的相似关系，以确定模拟实验结果的可靠应注意验证原型与模型间的相似关系，以确定模拟实验结果的可靠性物理模型常可得到实用上很有价值的结果，但也存在成本高、性物理模型常可得到实用上很有价值的结果，但也存在成本高、时间长、不灵活等缺点时间长、不灵活等缺点第9页，共99页，编辑于2022年，星期六思维模型思维模型指通过人们对原型的反复认识，将获取的知识以经验指通过人们对原型的反复认识，将获取的知识以经验形式储存于脑中，从而可以根据思维或直觉作出相应的决策。形式储存于脑中，从而可以根据思维或直觉作出相应的决策。例如例如：司机对方向盘的操纵、一些技艺性较强的工种：司机对方向盘的操纵、一些技艺性较强的工种(如钳工如钳工)的操作，的操作，大体上是靠这类模型进行的通常说的某些领导者凭经验作决大体上是靠这类模型进行的通常说的某些领导者凭经验作决策也是如此，思维模型便于接受，也可以在一定条件下获得满策也是如此，思维模型便于接受，也可以在一定条件下获得满意的结果，但是它往往带有模糊性、片面性、主观性、偶然性意的结果，但是它往往带有模糊性、片面性、主观性、偶然性等缺点，难以对它的假设条件进行检验，并且不便于人们的相等缺点，难以对它的假设条件进行检验，并且不便于人们的相互沟通。互沟通。第10页，共99页，编辑于2022年，星期六符号模型符号模型是在一些约定或假设下借助于专门的符号、线条是在一些约定或假设下借助于专门的符号、线条等按一定形式组合起来描述原型如地图、电路图、化学结等按一定形式组合起来描述原型如地图、电路图、化学结构式等，具有简明，方便、目的性强及非量化等特点构式等，具有简明，方便、目的性强及非量化等特点本书要专门讨论的数学模型则是由本书要专门讨论的数学模型则是由数字、字母或其它数学符数字、字母或其它数学符号组成的，描述现实对象数量规律的数学公式、图形或算法号组成的，描述现实对象数量规律的数学公式、图形或算法什么是数学模型什么是数学模型其实你早在学习初等代数的时候就已经碰到其实你早在学习初等代数的时候就已经碰到过数学模型了当然其中许多问题是老师为了教会学生知识而人过数学模型了当然其中许多问题是老师为了教会学生知识而人为设置的，譬如你一定解过这样的所谓为设置的，譬如你一定解过这样的所谓“航行问题航行问题”：第11页，共99页，编辑于2022年，星期六你碰到过的数学模型你碰到过的数学模型“航行问题航行问题”用用 x 表示船速，表示船速，y 表示水速，列出方程：表示水速，列出方程：答：船速每小时答：船速每小时20千米千米/小时小时.甲乙两地相距甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需千米，船从甲到乙顺水航行需30小时，小时，从乙到甲逆水航行需从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少小时，问船的速度是多少?x=20y=5求解求解第12页，共99页，编辑于2022年，星期六当然，真正实际问题的数学模型通常要复杂得多，但是建立数学模型当然，真正实际问题的数学模型通常要复杂得多，但是建立数学模型的基本内容已经包含在解这个代数应用题的过程中了那就是：根据建立的基本内容已经包含在解这个代数应用题的过程中了那就是：根据建立数学模型的目的和问题的背景作出必要的简化假设数学模型的目的和问题的背景作出必要的简化假设(航行中设船速和水速航行中设船速和水速为常数为常数)；用字母表示待求的未知量；用字母表示待求的未知量(x，y代表船速和水速代表船速和水速)；利用相应；利用相应的物理或其它规律的物理或其它规律(匀速运动的距离等于速度乘以时间匀速运动的距离等于速度乘以时间)，列出数学，列出数学式子式子(二元一次方程二元一次方程)；求出数学上的解答；求出数学上的解答(x=20，y=5)；用这个答案解；用这个答案解释原问题释原问题(船速和水速分别为船速和水速分别为20kmh和和5kmh)；最后还要用实际现；最后还要用实际现象来验证上述结果象来验证上述结果一般地说，数学模型可以描述为，对于现实世界的一个特定对象，一般地说，数学模型可以描述为，对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。第13页，共99页，编辑于2022年，星期六航行问题航行问题建立数学模型的基本步骤建立数学模型的基本步骤作出简化假设（船速、水速为常数）；作出简化假设（船速、水速为常数）；用符号表示有关量（用符号表示有关量（x,y表示船速和水速）；表示船速和水速）；用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以时间）列出数学式子（二元一次方程）；时间）列出数学式子（二元一次方程）；求解得到数学解答（求解得到数学解答（x=20,y=5）；）；回答原问题（船速每小时回答原问题（船速每小时20千米千米/小时）。小时）。第14页，共99页，编辑于2022年，星期六数学模型数学模型(MathematicalModel)和和数学建模（数学建模（MathematicalModeling)对于一个对于一个现实对象现实对象，为了一个，为了一个特定目的特定目的，根据其根据其内在规律内在规律，作出必要的，作出必要的简化假设简化假设，运用适当的运用适当的数学工具数学工具，得到的一个，得到的一个数学结构数学结构。建立数学模型的全过程建立数学模型的全过程（包括表述、求解、解释、检验等）（包括表述、求解、解释、检验等）数学模型数学模型数学数学建模建模第15页，共99页，编辑于2022年，星期六1.2 数学建模的重要意义数学建模的重要意义电子计算机的出现及飞速发展；电子计算机的出现及飞速发展；数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，越来越受到人们的重视。越来越受到人们的重视。在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地；在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地；在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具；在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具；数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地。数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地。第16页，共99页，编辑于2022年，星期六在高新技术领域，数学建模几乎是必不可少的工具在高新技术领域，数学建模几乎是必不可少的工具无论是发展通讯，航天、微电子，自动化等高新技术本身还无论是发展通讯，航天、微电子，自动化等高新技术本身还是将高新技术用于传统工业去创造新工艺、开发新产品，计算机是将高新技术用于传统工业去创造新工艺、开发新产品，计算机技术支持下的建模和模拟都是经常使用的有效手段数学建模，技术支持下的建模和模拟都是经常使用的有效手段数学建模，数值计算和计算机图形学等相结合形成的计算机软件，已经被固数值计算和计算机图形学等相结合形成的计算机软件，已经被固化于产品中，在许多高新技术领域起着核心作用，被认为是高新化于产品中，在许多高新技术领域起着核心作用，被认为是高新技术的特征之一在这个意义上，数学不再仅仅作为一门科学，技术的特征之一在这个意义上，数学不再仅仅作为一门科学，是许多技术的基础，而且直接走向了技术的前台国际上一位学是许多技术的基础，而且直接走向了技术的前台国际上一位学者就提出了者就提出了“高技术本质上是一种数学技术高技术本质上是一种数学技术”的观点的观点第17页，共99页，编辑于2022年，星期六数学迅速进入一些新领域，为数学建模开拓了许多新的处女地数学迅速进入一些新领域，为数学建模开拓了许多新的处女地随着数学向诸如经济人口，生态地质等所谓非物理领域的渗透，随着数学向诸如经济人口，生态地质等所谓非物理领域的渗透，一些交叉学科如一些交叉学科如计量经济学、人口控制论、数学生态学、数学地质学计量经济学、人口控制论、数学生态学、数学地质学等等应运而生这里一般地说不存在作为支配关系的物理定律，当用数学应运而生这里一般地说不存在作为支配关系的物理定律，当用数学方法研究这些领域中的定量关系时，数学建模就成为首要的、关键的方法研究这些领域中的定量关系时，数学建模就成为首要的、关键的步骤和这些学科发展与应用的基础在这些领域里建立不同类型，不步骤和这些学科发展与应用的基础在这些领域里建立不同类型，不同方法、不同深浅程度的模型的余地相当大，为数学建模提供了广阔同方法、不同深浅程度的模型的余地相当大，为数学建模提供了广阔的新天地马克思说过：的新天地马克思说过：“一门科学只有成功地运用数学时，才算一门科学只有成功地运用数学时，才算达到了完善的地步达到了完善的地步”展望展望2l世纪，数学必将大踏步地进入所有学世纪，数学必将大踏步地进入所有学科，数学建模将迎来蓬勃发展的新时期科，数学建模将迎来蓬勃发展的新时期第18页，共99页，编辑于2022年，星期六今天，在国民经济和社会活动的以下诸多方面，数学建模都有着非今天，在国民经济和社会活动的以下诸多方面，数学建模都有着非常具体的应用常具体的应用分析与设计分析与设计例如描述药物浓度在人体内的变化规律以分析药物的疗效；例如描述药物浓度在人体内的变化规律以分析药物的疗效；建立跨音速流和激波的数学模型，用数值模拟设计新的飞机翼型建立跨音速流和激波的数学模型，用数值模拟设计新的飞机翼型预报与决策预报与决策生产过程中产品质量指标的预报气象预报、人口生产过程中产品质量指标的预报气象预报、人口预报，经济增长预报等等，都要有预报模型；使经济效益最大的预报，经济增长预报等等，都要有预报模型；使经济效益最大的价格策略、使费用最少的设备维修方案是决策模型的例子价格策略、使费用最少的设备维修方案是决策模型的例子第19页，共99页，编辑于2022年，星期六控制与优化控制与优化电力、化工生产过程的最优控制，零件设计中的电力、化工生产过程的最优控制，零件设计中的参数优化，要以数学模型为前提建立大系统控制与优化的数参数优化，要以数学模型为前提建立大系统控制与优化的数学模型，是迫切需要和十分棘手的课题学模型，是迫切需要和十分棘手的课题规划与管理规划与管理生产计划资源配置、运输网络规划、水库优化调生产计划资源配置、运输网络规划、水库优化调度，以及排队策略、物资管理等都可以用数学规划模型解决度，以及排队策略、物资管理等都可以用数学规划模型解决数学建模与计算机技术的关系密不可分一方面，像新型飞机数学建模与计算机技术的关系密不可分一方面，像新型飞机设计、石油勘探数据处埋中数学模型的求解当然离不开巨型计算设计、石油勘探数据处埋中数学模型的求解当然离不开巨型计算机而微型电脑的普及更使数学建模逐步进入人们的日常活动机而微型电脑的普及更使数学建模逐步进入人们的日常活动第20页，共99页，编辑于2022年，星期六数学建模的具体应用数学建模的具体应用分析与设计分析与设计预报与决策预报与决策控制与优化控制与优化规划与管理规划与管理数学建模计算机技术知识经济知识经济如虎添翼如虎添翼第21页，共99页，编辑于2022年，星期六通常，通常，1公斤面，公斤面，1公斤馅，包公斤馅，包100个汤圆（饺子）个汤圆（饺子）今天，今天，1公斤面不变，馅比公斤面不变，馅比1公斤多了，问应多包几个公斤多了，问应多包几个（小一些），还是少包几个（大一些）？（小一些），还是少包几个（大一些）？多包：皮小一些；少包：皮大一些。多包：皮小一些；少包：皮大一些。例例1.3.1从包汤圆（饺子）说起从包汤圆（饺子）说起面积、体积面积、体积1.3 数学建模示例数学建模示例第22页，共99页，编辑于2022年，星期六通常，通常，1公斤面，公斤面，1公斤馅，包公斤馅，包100个饺子个饺子今天，今天，1公斤面不变，馅比公斤面不变，馅比1公斤多了，问应多包几个（小一公斤多了，问应多包几个（小一些），还是少包几个（大一些）？些），还是少包几个（大一些）？问题问题圆面积为圆面积为S的一个皮，包成体积为的一个皮，包成体积为V的汤圆。若分成的汤圆。若分成n个皮，每个圆面积为个皮，每个圆面积为s，包成体积为，包成体积为v。V和和nv 哪个大哪个大?SsssVvvv(共共n个个)从包汤圆（饺子）说起从包汤圆（饺子）说起定性分析定性分析V比比nv大或小多少大或小多少?定量分析定量分析第23页，共99页，编辑于2022年，星期六从包汤圆（饺子）说起从包汤圆（饺子）说起假设假设1.皮的厚度一样皮的厚度一样2.汤圆汤圆(饺子饺子)的形状一样的形状一样模型模型应用应用若若100100个汤圆（饺子）包个汤圆（饺子）包1 1公斤馅公斤馅,则则5050个汤圆个汤圆(饺子饺子)可以包可以包 公斤馅公斤馅R大皮大皮的半径；的半径；r小皮的半径小皮的半径V是 nv的 倍1.41.4第24页，共99页，编辑于2022年，星期六买日用品的诀窍买日用品的诀窍 市场上牙膏、香皂和洗发精等日用品，同一种市场上牙膏、香皂和洗发精等日用品，同一种品牌一般有规格大小不同的包装，你是选择购买大品牌一般有规格大小不同的包装，你是选择购买大包装还是购买小包装呢？包装还是购买小包装呢？第25页，共99页，编辑于2022年，星期六例例1.3.2 椅子能在不平的地面上放稳吗椅子能在不平的地面上放稳吗问题分析问题分析模模型型假假设设通常通常三只脚着地三只脚着地放稳放稳四只脚着地四只脚着地四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形呈正方形;地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面;地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。只脚同时着地。第26页，共99页，编辑于2022年，星期六模型构成模型构成用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来椅子位置椅子位置利用正方形利用正方形(椅脚连线椅脚连线)的对称性的对称性xBADCODCBA用用(对角线与对角线与x轴的夹角轴的夹角)表示椅子位置表示椅子位置四只脚着地四只脚着地距离是距离是 的函数的函数四个距离四个距离(四只脚四只脚)A,C两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和f()B,D两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和g()两个距离两个距离 椅脚与地面距离为零椅脚与地面距离为零正方形正方形ABCD绕绕O点旋转点旋转正方形正方形对称性对称性第27页，共99页，编辑于2022年，星期六用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来f(),g()是是连续函数连续函数对任意对任意,f(),g()至至少一个为少一个为0数学数学问题问题已知：已知：f(),g()是是连续函数连续函数;对任意对任意，f()g()=0;且且g(0)=0，f(0)0.证明：存在证明：存在 0，使，使f(0)=g(0)=0.模型构成模型构成地面为连续曲面地面为连续曲面椅子在任意位置至椅子在任意位置至少三只脚着地少三只脚着地第28页，共99页，编辑于2022年，星期六模型求解模型求解给出一种简单、粗糙的证明方法给出一种简单、粗糙的证明方法将椅子旋转将椅子旋转900，对角线，对角线AC和和BD互换。互换。由由g(0)=0，f(0)0，知，知f(/2)=0,g(/2)0.令令h()=f()g(),则则h(0)0和和h(/2)0.由由f,g的连续性知的连续性知h为连续函数为连续函数,据连续函数的基本性质据连续函数的基本性质,必存在必存在 0,使使h(0)=0,即即f(0)=g(0).因为因为f()g()=0,所以所以f(0)=g(0)=0.评注和思考评注和思考建模的关键建模的关键假设条件的本质与非本质假设条件的本质与非本质考察四脚呈长方形的椅子考察四脚呈长方形的椅子 和和f(),g()的确定的确定第29页，共99页，编辑于2022年，星期六例例1.3.3 商人们怎样安全过河商人们怎样安全过河问题问题(智力游戏智力游戏)3名商人名商人 3名随从名随从随从们密约随从们密约,在河的任一岸在河的任一岸,一旦随从的人数比商人多一旦随从的人数比商人多,就杀人越货就杀人越货.但是乘船渡河的方案由商人决定但是乘船渡河的方案由商人决定.商人们怎样才能安全过河商人们怎样才能安全过河?问题分析问题分析多步决策过程多步决策过程决策决策每一步每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员船上的人员要求要求在安全的前提下在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多两岸的随从数不比商人多),),经有限步使经有限步使全体人员过河全体人员过河.河河小船小船(至多至多2人人)第30页，共99页，编辑于2022年，星期六模型构成模型构成xk第第k次渡河前此岸的商人数次渡河前此岸的商人数yk第第k次渡河前此岸的随从数次渡河前此岸的随从数xk,yk=0,1,2,3;k=1,2,sk=(xk,yk)过程的状态过程的状态S=(x,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2S允许状态集合允许状态集合uk第第k次渡船上的商人数次渡船上的商人数vk第第k次渡船上的随从数次渡船上的随从数dk=(uk,vk)决策决策D=(u,v)u+v=1,2允许决策集合允许决策集合uk,vk=0,1,2;k=1,2,sk+1=sk dk+(-1)k状态转移律状态转移律求求dk D(k=1,2,n),使使sk S,并按并按转移转移律律由由s1=(3,3)到达到达sn+1=(0,0).多步决策问多步决策问题题第31页，共99页，编辑于2022年，星期六模型求解模型求解xy3322110穷举法穷举法编程上机编程上机图解法图解法状态状态s=(x,y)16个格点个格点10个个点点允许决策允许决策移动移动1或或2格格;k奇奇,左下移左下移;k偶偶,右上移右上移.s1sn+1d1,，d11给出安全渡河方案给出安全渡河方案评注和思考评注和思考规格化方法规格化方法,易于推广易于推广考虑考虑4名商人各带一随从的情况名商人各带一随从的情况d1d11允许状态允许状态S=(x,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2第32页，共99页，编辑于2022年，星期六例例1.3.4一场笔墨官司一场笔墨官司（放射性废物的处理问题）（放射性废物的处理问题）美国原子能委员会（现为核管理委员会）美国原子能委员会（现为核管理委员会）处理浓缩放射性废物，是将废物放入密封性能处理浓缩放射性废物，是将废物放入密封性能很好的圆桶中，然后扔到水深很好的圆桶中，然后扔到水深300英尺的海里英尺的海里.他们这种做法他们这种做法安全安全吗？吗？分析：分析：可从各个角度去分析造成危险的因素，可从各个角度去分析造成危险的因素，这里仅考虑圆桶泄露的可能这里仅考虑圆桶泄露的可能.联想联想：安全：安全 、危险、危险问题的关键问题的关键第33页，共99页，编辑于2022年，星期六*圆桶至多能承受多大的圆桶至多能承受多大的冲撞速度冲撞速度？(40英尺英尺/秒秒)*圆桶和海底碰撞时的速度有多大？圆桶和海底碰撞时的速度有多大？问题：问题：求这一种桶沉入求这一种桶沉入300300英尺的海底时的末速度英尺的海底时的末速度.（原问题是什么（原问题是什么?）可利用的数据条件可利用的数据条件：圆桶的总重量圆桶的总重量 W=527.327（磅）（磅）圆桶受到的浮力圆桶受到的浮力 B=470.327（磅）（磅）圆桶下沉时受到的海水阻力圆桶下沉时受到的海水阻力 D=Cv，C=0.08=0.08 可利用牛顿第二定律，建立圆桶下沉位移可利用牛顿第二定律，建立圆桶下沉位移满足的微分方程：满足的微分方程：第34页，共99页，编辑于2022年，星期六方程的解为方程的解为第35页，共99页，编辑于2022年，星期六计算碰撞速度，需确定圆桶和海底的碰撞时间计算碰撞速度，需确定圆桶和海底的碰撞时间t t0 0 分析分析：考虑圆桶的极限速度：考虑圆桶的极限速度713.86713.86（英尺（英尺/秒）秒）4040（英尺（英尺/秒）秒）实际极限速度实际极限速度与圆桶的与圆桶的承受速度承受速度相差巨大！相差巨大！结论结论：解决问题的方向是正确的：解决问题的方向是正确的.解决思路：解决思路：避开求避开求t0的难点的难点 第36页，共99页，编辑于2022年，星期六令令v(t)=v(y(t),其中其中 y=y(t)是圆桶下沉深度是圆桶下沉深度 代入（代入（1 1）得）得第37页，共99页，编辑于2022年，星期六两边积分得函数方程：两边积分得函数方程：若能求出函数若能求出函数v=v(y),就可求出碰撞速度就可求出碰撞速度v(300).(试一试试一试)*用用数值方法数值方法求出求出v(300)的近似值为的近似值为v(300)45.41（英尺（英尺/秒）秒）40（英尺（英尺/秒）秒）*分析分析 v=v(y)是一个单调上升函数，而是一个单调上升函数，而v 增大增大,y也增大也增大,可求出函数可求出函数y=y(v)第38页，共99页，编辑于2022年，星期六令令 v=40(英尺英尺/秒秒)，g=32.2（英尺（英尺/秒），算出秒），算出y=238.4(英尺英尺)300（英尺）（英尺）问题的实际解答：问题的实际解答：美国原子能委员会处理美国原子能委员会处理放射性废物的做法是极其危险的，放射性废物的做法是极其危险的，必须改变必须改变。第39页，共99页，编辑于2022年，星期六例例1.3.5 渡口模型渡口模型一个渡口的渡船营运者拥有一只甲板长一个渡口的渡船营运者拥有一只甲板长32米，米，可以并排停放两列车辆的渡船可以并排停放两列车辆的渡船.他在考虑怎样在甲他在考虑怎样在甲板上安排过河车辆的位置板上安排过河车辆的位置,才能才能安全安全地运过地运过最多最多数量的车辆数量的车辆.分析分析：怎样安排过河车辆，关心一次可以运：怎样安排过河车辆，关心一次可以运多少辆各类车多少辆各类车.第40页，共99页，编辑于2022年，星期六准备工作准备工作：观察数日，发现每次情况不尽观察数日，发现每次情况不尽相同，得到下列数据和情况：相同，得到下列数据和情况：(1)车辆随机到达，形成一个等待上船的车列；车辆随机到达，形成一个等待上船的车列；这是一个机理较复杂的随机问题，是遵循这是一个机理较复杂的随机问题，是遵循“先先到先服务到先服务”的随机排队问题。的随机排队问题。解决方法解决方法采用模拟模型方法采用模拟模型方法.分析分析需考虑以下问题：需考虑以下问题：(2)来到车辆中来到车辆中,轿车约占轿车约占40，卡车约占，卡车约占55,摩托车约占摩托车约占5；(3)轿车车身长为轿车车身长为3.55.5米米,卡车车身长为卡车车身长为810米米.第41页，共99页，编辑于2022年，星期六(1)应该怎样安排摩托车？应该怎样安排摩托车？(2)下一辆到达的车是什么类型？下一辆到达的车是什么类型？(3)怎样描述一辆车的车身长度？怎样描述一辆车的车身长度？(4)如何安排到达车辆加入甲板上两列车队如何安排到达车辆加入甲板上两列车队中的哪一列中去？中的哪一列中去？问题的解决：问题的解决：(1)认为摩托车不会占有实际空间认为摩托车不会占有实际空间.(2)确定即将到达车辆类型，利用随机模拟方法确定即将到达车辆类型，利用随机模拟方法00.550.95 1卡车卡车轿车轿车自行车自行车第42页，共99页，编辑于2022年，星期六汽车类型及车身长模拟原理分析(2)确定随机到达车辆的身长车。确定随机到达车辆的身长车。(3)关于车辆的排放关于车辆的排放.甲板可停放两列汽车，可供停车的总长为甲板可停放两列汽车，可供停车的总长为322=64米米 排放原则排放原则：两列尽可能均衡。（怎样实现？）：两列尽可能均衡。（怎样实现？）结果分析结果分析：由一组特定随机数确定车型和车身：由一组特定随机数确定车型和车身长度，仅得到一个解答长度，仅得到一个解答.将将一组随机数模拟确定的结果，看成对一次一组随机数模拟确定的结果，看成对一次实际运载情况的实际运载情况的“观察观察”，少数几次观察是无意义，少数几次观察是无意义的的.需多次重复模拟需多次重复模拟,再进行统计分析再进行统计分析第43页，共99页，编辑于2022年，星期六人口增长模型人口增长模型据人口学家们预测，到据人口学家们预测，到2033年年,世界人口将突破世界人口将突破100亿亿,每年增加近每年增加近1 1亿人口亿人口,以后还会迅猛增长以后还会迅猛增长.人们开始考虑人们开始考虑,我们赖以生存的地球究竟是否能我们赖以生存的地球究竟是否能承受如此的增长承受如此的增长.现建立数学模型现建立数学模型来来预测人口的增长预测人口的增长.分析分析 设任意时刻的人口总数为设任意时刻的人口总数为X(t)，影响一个地影响一个地区总人口数的最显著的因素应包括哪些？区总人口数的最显著的因素应包括哪些？例例1.3.6如何预报人口的增长如何预报人口的增长第44页，共99页，编辑于2022年，星期六影响因素影响因素个个体体的的出出生生、死死亡亡 迁迁入入、迁迁出出 年年龄龄结结构构 性性别别 比比例例第45页，共99页，编辑于2022年，星期六背景背景年年1625183019301960197419871999人口人口(亿亿)5102030405060世界人口增长概况世界人口增长概况中国人口增长概况中国人口增长概况年年19081933195319641982199019952000人口人口(亿亿)3.04.76.07.210.311.312.013.0研究人口变化规律研究人口变化规律控制人口过快增长控制人口过快增长例例1.3.6如何预报人口的增长如何预报人口的增长第46页，共99页，编辑于2022年，星期六指数增长模型指数增长模型马尔萨斯提出马尔萨斯提出 (1798)常用的计算公式常用的计算公式x(t)时刻时刻t的人口的人口基本假设基本假设:人口人口(相对相对)增长率增长率r是常数是常数今年人口今年人口x0,年增长率年增长率rk年后人口年后人口随着时间增加，人口按指数规律无限增长随着时间增加，人口按指数规律无限增长第47页，共99页，编辑于2022年，星期六指数增长模型的应用及局限性指数增长模型的应用及局限性与与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合适用于适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代可用于短期人口增长预测可用于短期人口增长预测不符合不符合19世纪后多数地区人口增长规律世纪后多数地区人口增长规律不能预测较长期的人口增长过程不能预测较长期的人口增长过程1919世纪后人口数据世纪后人口数据人口增长率人口增长率r r不是常数不是常数(逐渐下降逐渐下降)第48页，共99页，编辑于2022年，星期六阻滞增长模型阻滞增长模型(Logistic模型模型)人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用且阻滞作用随人口数量增加而变大且阻滞作用随人口数量增加而变大假设假设r固有增长率固有增长率(x很小时很小时)xm人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）r是是x的减函数的减函数第49页，共99页，编辑于2022年，星期六dx/dtx0 xmxm/2xmtx0 x(t)S形曲线形曲线,x增加先快后慢增加先快后慢x0 xm/2阻滞增长模型阻滞增长模型(Logistic模型模型)第50页，共99页，编辑于2022年，星期六参数估计参数估计用指数增长模型或阻滞增长模型作人口用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报，必须先估计模型参数预报，必须先估计模型参数r 或或r,xm 利用统计数据用最小二乘法作拟合利用统计数据用最小二乘法作拟合例：美国人口数据（单位例：美国人口数据（单位百万）百万）1860 1870 1880 1960 1970 1980 1990 31.4 38.6 50.2 179.3 204.0 226.5 251.4专家估计专家估计阻滞增长模型阻滞增长模型(Logistic模型模型)r=0.2557,xm=392.1第51页，共99页，编辑于2022年，星期六模型检验模型检验用模型计算用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较年美国人口，与实际数据比较实际为实际为281.4(百万百万)模型应用模型应用预报美国预报美国2010年的人口年的人口加入加入2000年人口数据后重新估计模型参数年人口数据后重新估计模型参数Logistic模型在经济领域中的应用模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量如耐用消费品的售量)阻滞增长模型阻滞增长模型(Logistic模型模型)r=0.2490,xm=434.0 x(2010)=306.0第52页，共99页，编辑于2022年，星期六数学建模面临的实际问题是多种多样的，建模的目数学建模面临的实际问题是多种多样的，建模的目的不同，分析的方法不同、采用的数学工具不同，所得的不同，分析的方法不同、采用的数学工具不同，所得模型的类型也不同，我们不能指望归纳出若干条准则模型的类型也不同，我们不能指望归纳出若干条准则适用于一切实际问题的数学建模方法下面所谓基本方适用于一切实际问题的数学建模方法下面所谓基本方法不是针对具体问题而是从方法论的意义上讲的法不是针对具体问题而是从方法论的意义上讲的1.4 数学建模的方法和步骤数学建模的方法和步骤第53页，共99页，编辑于2022年，星期六数学模型是现实世界与数学世界的理想桥梁，数学模型是现实世界与数学世界的理想桥梁，*数学建模没有普遍适用的方法与技巧数学建模没有普遍适用的方法与技巧.*数学建模工作与数学建模工作与问题的性质问题的性质、建模的目的建模的目的以及建模工作者自身的数学基础知识和专长有关以及建模工作者自身的数学基础知识和专长有关.*有一些普遍适用的思想方法与思维方式有一些普遍适用的思想方法与思维方式.怎样构架这座桥梁？怎样构架这座桥梁？第54页，共99页，编辑于2022年，星期六1.4.1数学建模的基本方法数学建模的基本方法一般说来建模方法大体上可分为一般说来建模方法大体上可分为机理分析机理分析和和测试分析测试分析两种。两种。机理分析机理分析是根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理是根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律，建立的模型常有明确的物理或现实意义前面几的数量规律，建立的模型常有明确的物理或现实意义前面几个示例都是用的机理分析个示例都是用的机理分析测试分析测试分析将研究对象看作一个将研究对象看作一个“黑箱黑箱”，系统，系统(意思是它的内意思是它的内部机理看不清楚部机理看不清楚)，通过对系统输入，输出