数学技能的习得幻灯片.ppt

数学技能的习得第1页，共22页，编辑于2022年，星期六o数学技能的基本特征数学技能的基本特征o中小学课程中的数学技能中小学课程中的数学技能o数学技能的形成与教学数学技能的形成与教学第2页，共22页，编辑于2022年，星期六数学技能的基本特征数学技能的基本特征o技能技能，一般指顺利完成某种任务的动作方式或心智活动，一般指顺利完成某种任务的动作方式或心智活动方式，是个体运用已有的知识经验，通过练习而形成的方式，是个体运用已有的知识经验，通过练习而形成的智力动作或肢体动作的复杂系统，通常表现为一系列固智力动作或肢体动作的复杂系统，通常表现为一系列固定下来的自动化活动方式，无论是头脑中的思维操作还定下来的自动化活动方式，无论是头脑中的思维操作还是外部的行为动作，都属于技能的范畴，前者是内部心是外部的行为动作，都属于技能的范畴，前者是内部心智技能，后者是外部操作技能。智技能，后者是外部操作技能。o数学技能：在学习数学的过程中通过训练得以顺利完成数数学技能：在学习数学的过程中通过训练得以顺利完成数学学习任务的一种行动方式或心智活动方式，也可以说是学学习任务的一种行动方式或心智活动方式，也可以说是通过数学练习在个体上固定下来的自动化的活动方式。通过数学练习在个体上固定下来的自动化的活动方式。o分类：数学操作技能和数学心智技能分类：数学操作技能和数学心智技能第3页，共22页，编辑于2022年，星期六数学操作技能的特征：数学操作技能的特征：o数学操作技能：是指数学活动中由一系列实际动作以合数学操作技能：是指数学活动中由一系列实际动作以合理、完善的程序构成的操作活动方式。（用工具绘图、理、完善的程序构成的操作活动方式。（用工具绘图、用计算工具进行计算、用数学语言表达推理过程等）用计算工具进行计算、用数学语言表达推理过程等）o特征：特征：外显性（是一种外显的活动方式）外显性（是一种外显的活动方式）客观性（操作的对象是物质性的客体或可见的数学图形与文客观性（操作的对象是物质性的客体或可见的数学图形与文字符号）字符号）非简约性（操作的每个动作都必须实施，不能省略和合并，非简约性（操作的每个动作都必须实施，不能省略和合并，是一种展开性的活动程序）是一种展开性的活动程序）第4页，共22页，编辑于2022年，星期六数学心智技能的特征数学心智技能的特征o数学心智技能（认知性数学技能）：是指借助内部言语在头脑中按一定的、合理的、数学心智技能（认知性数学技能）：是指借助内部言语在头脑中按一定的、合理的、完善的方式自动地进行数学认知活动的方式。（数的计算技能、式的恒等变换技能、完善的方式自动地进行数学认知活动的方式。（数的计算技能、式的恒等变换技能、解一元二次方程、几何推理论证技能等）解一元二次方程、几何推理论证技能等）o特点：特点：（1）数学心智技能的直接对象是抽象的数学概念、命题与表象，而不是具有物质形态）数学心智技能的直接对象是抽象的数学概念、命题与表象，而不是具有物质形态的客观对象；的客观对象；（2）其动作是借助内容言语完成的，其动作的执行是在头脑内容进行的，主体的变体）其动作是借助内容言语完成的，其动作的执行是在头脑内容进行的，主体的变体具有很强的内隐性，很难从外部直接观测到；具有很强的内隐性，很难从外部直接观测到；（3）简缩性：其活动过程是一种高度压缩和简化的自动化过程，其动作成分可以）简缩性：其活动过程是一种高度压缩和简化的自动化过程，其动作成分可以合并、省略和简化；合并、省略和简化；（4）在涉及到比较复杂的推理过程或运算程序时，需要借助于外部的表征；）在涉及到比较复杂的推理过程或运算程序时，需要借助于外部的表征；（5）通常依附于一定的数学概念、原理与法则；）通常依附于一定的数学概念、原理与法则；（6）在某些高层次的数学技能中，已不再像低层次的技能那样需要一定的程序和规则，从而）在某些高层次的数学技能中，已不再像低层次的技能那样需要一定的程序和规则，从而极大地提高了技能实施的速度与效率。极大地提高了技能实施的速度与效率。第5页，共22页，编辑于2022年，星期六中小学课程中的数学技能中小学课程中的数学技能o国外数学课程中的数学技能国外数学课程中的数学技能o我国作为我国作为“双基双基”之一的数学技能之一的数学技能第6页，共22页，编辑于2022年，星期六国外数学课程中的数学技能国外数学课程中的数学技能o美国加州的数学课程美国加州的数学课程“有效教学的原则与要素有效教学的原则与要素”中强调：当学生从小学、经过初中、到高中时，必须熟中强调：当学生从小学、经过初中、到高中时，必须熟练各种数学技能，包括：练各种数学技能，包括：能正确算出加法、减法、乘法和除法的答案；能正确算出加法、减法、乘法和除法的答案；能正确打出等值的分数、小数和百分比；能正确打出等值的分数、小数和百分比；能运算分数、小数和百分比；能运算分数、小数和百分比；能测量；能测量；能计算出简单图形的周长和面积；能计算出简单图形的周长和面积；能解释日常生活中所遇到的图表；能解释日常生活中所遇到的图表；能从日常生活中的一组数据指出中位数和平均数；能从日常生活中的一组数据指出中位数和平均数；能运用科学记号表示非常大或非常小的数；能运用科学记号表示非常大或非常小的数；能运用基本几何性质，包括毕达哥拦斯定律；能运用基本几何性质，包括毕达哥拦斯定律；能根据已知两点，找出通过这两个点的线性方程式；能根据已知两点，找出通过这两个点的线性方程式；能解出线性方程式和线性方程组的解；等等能解出线性方程式和线性方程组的解；等等第7页，共22页，编辑于2022年，星期六o英国国家数学课程英国国家数学课程o交流技能，能够精确地、为含糊地表达思想；交流技能，能够精确地、为含糊地表达思想；o应用技能，通过对数学的理解能够使用和应用数学知识、技能；应用技能，通过对数学的理解能够使用和应用数学知识、技能；oITIT技能，通过发展逻辑推理，能够运用图像软件和工作单支解决技能，通过发展逻辑推理，能够运用图像软件和工作单支解决有关数、代数和图形方面的问题，能够运用动态几何软件去操作有关数、代数和图形方面的问题，能够运用动态几何软件去操作几何图形，并运用数据库进行相关的数据分析；几何图形，并运用数据库进行相关的数据分析；o合作技能，通过小组活动交流和讨论数学思想；合作技能，通过小组活动交流和讨论数学思想；o自我改进技能，能够自觉地发展逻辑思想，集中注意国，提高分自我改进技能，能够自觉地发展逻辑思想，集中注意国，提高分析技能，反思问题解决的过程；析技能，反思问题解决的过程；o问题解决的技能，能够选择和运用各种解题技能和方法，问题解决的技能，能够选择和运用各种解题技能和方法，发展各种解题策略，并能够评估解题过程是否恰当。发展各种解题策略，并能够评估解题过程是否恰当。第8页，共22页，编辑于2022年，星期六监控个监控个人的自人的自身思维身思维欣赏欣赏兴趣兴趣信心信心信念信念意志意志估计近似估计近似心算交流心算交流数学工具数学工具代数运算代数运算处理数据处理数据测量测量推理推理演绎推理演绎推理归纳推理归纳推理直觉方法直觉方法 数的概念数的概念几何概念几何概念代数概念代数概念统计概念统计概念 数学数学问题问题解决解决 态态 度度元认知元认知技技 能能概概 念念 方方 法法新加坡课程目标结构新加坡课程目标结构第9页，共22页，编辑于2022年，星期六我国作为我国作为“双基双基”之一的数学技能之一的数学技能数值运算技能数值运算技能o内容内容o数的表示（十进制、二进制、科学记数法等）数的表示（十进制、二进制、科学记数法等）o数的分类（包括剩余类）数的分类（包括剩余类）o数的运算（四则运算、乘方、开方、估算）以及运算技巧和策略数的运算（四则运算、乘方、开方、估算）以及运算技巧和策略o体现体现o在不同的问题情境下，能够根据实际的需要合理选择适当的计算工具、方法；在不同的问题情境下，能够根据实际的需要合理选择适当的计算工具、方法；o能决定什么时候需要精确答案，什么时候更宜于估算，知道在某一特定条件下能决定什么时候需要精确答案，什么时候更宜于估算，知道在某一特定条件下适合使用哪种数学运算；适合使用哪种数学运算；o能够正确、自信和恰当地使用计算器；能够正确、自信和恰当地使用计算器；o会估计数量级以确认心算和计算器计算的结果；会估计数量级以确认心算和计算器计算的结果；o懂得心算、笔算、计算器和计算机的优势与缺点，并能利用各种策略缩减计算懂得心算、笔算、计算器和计算机的优势与缺点，并能利用各种策略缩减计算过程、优化计算方法、检验计算步骤、估算计算结果。过程、优化计算方法、检验计算步骤、估算计算结果。第10页，共22页，编辑于2022年，星期六o符号操作技能符号操作技能o学会用字母代替数字，用变元代替未知量；学会用字母代替数字，用变元代替未知量；o能够熟练地进行字母式的演算和变形；能够熟练地进行字母式的演算和变形；o学会把其他问题转化为代数问题，并利用代学会把其他问题转化为代数问题，并利用代数的方法进行解决；数的方法进行解决；o能够用常规的方法解方程和处理函数的有关能够用常规的方法解方程和处理函数的有关问题；问题；o能够画出一些简单基本初等函数的图像，并能够画出一些简单基本初等函数的图像，并根据图像分析函数的有关性质。根据图像分析函数的有关性质。第11页，共22页，编辑于2022年，星期六o图形处理技能图形处理技能（识图技能和作图技能）（识图技能和作图技能）o识图技能：要求学生能够识别平面几何图形和立体几识图技能：要求学生能够识别平面几何图形和立体几何图形中各图形要素特征及其之间关系，识别重要的何图形中各图形要素特征及其之间关系，识别重要的函数图像，识别有助于解释或证明某些数学事实与关函数图像，识别有助于解释或证明某些数学事实与关系的图形系的图形（如韦恩图、数学问题情境模拟图、数据表格或框图（如韦恩图、数学问题情境模拟图、数据表格或框图等）等）o作图技能：使用无刻度直尺与圆规的论证性作图，也包括作图技能：使用无刻度直尺与圆规的论证性作图，也包括用圆规、刻度尺、三角板、量角器等工具的一般性画图。用圆规、刻度尺、三角板、量角器等工具的一般性画图。第12页，共22页，编辑于2022年，星期六o尺规作图尺规作图完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段，作一完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，个角等于已知角，作角的平分线作角的平分线，作线段的垂直平分线作线段的垂直平分线。利用基本作图利用基本作图作三角形作三角形：已知三边作三角形；已知两边及：已知三边作三角形；已知两边及其夹角作三角形；已知两角及其夹边作三角形；已知底边及底边其夹角作三角形；已知两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形。上的高作等腰三角形。探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆作圆。了解尺规作图的步骤，对于尺规作图题，会写已知、求作了解尺规作图的步骤，对于尺规作图题，会写已知、求作和作法（不要求证明）。和作法（不要求证明）。第13页，共22页，编辑于2022年，星期六o数据分析技能数据分析技能o理解并会运用理解并会运用“比例比例”概念与方法于简单的情景；概念与方法于简单的情景；o会算百分比和比率；会算百分比和比率；o理解数量级的思想，并会运用这种思想和使用计算机去检查工作；理解数量级的思想，并会运用这种思想和使用计算机去检查工作；o知道机遇可以量化，会区别决定性和随机性；知道机遇可以量化，会区别决定性和随机性；o掌握一种了解变异性的实验手段；掌握一种了解变异性的实验手段；o会使用表、图、电子数据表和统计技术去组织、解释和表示数值信息；会使用表、图、电子数据表和统计技术去组织、解释和表示数值信息；o能判别别人提供的数据的可靠性；能判别别人提供的数据的可靠性；o懂得什么是简单统计，什么是抽样检查；懂得什么是简单统计，什么是抽样检查；o能够将统计的方法应用于日常生活的决策过程等等。能够将统计的方法应用于日常生活的决策过程等等。第14页，共22页，编辑于2022年，星期六o推理论证技能推理论证技能NCTM：认识到推理和证明是数学的一个必需的、有效认识到推理和证明是数学的一个必需的、有效的成份；的成份；作出和研究数学猜想；作出和研究数学猜想；建立和评价数学论断与证明；建立和评价数学论断与证明；选择和运用各种恰当的推理和论证方法选择和运用各种恰当的推理和论证方法。第15页，共22页，编辑于2022年，星期六o数学交流技能数学交流技能 数学作为一种科学语言目前已被用于人类社会的几乎所在领域。数学作为一种科学语言目前已被用于人类社会的几乎所在领域。因此，数学交流也就成为现代公民的一种基本技能（因此，数学交流也就成为现代公民的一种基本技能（NCTMNCTM，19891989，20002000）。）。o能掌握数学语言及符号的意义与书写形式和格式；能掌握数学语言及符号的意义与书写形式和格式；o能熟练进行数学语言与自然语言（母语）之间的翻译转换；能熟练进行数学语言与自然语言（母语）之间的翻译转换；o能够用多种方式表述数学知识、问题和想法；能够用多种方式表述数学知识、问题和想法；o能运用数学语言正确、迅速、规范地将解（证）题过程表能运用数学语言正确、迅速、规范地将解（证）题过程表述出来；述出来；o能用数学概念原理及思想方法去解释一些自然和社会现象，能用数学概念原理及思想方法去解释一些自然和社会现象，等等。等等。第16页，共22页，编辑于2022年，星期六数学技能的形成与教学数学技能的形成与教学o理论基础两大阵营：一种把技能看作是基于理论基础两大阵营：一种把技能看作是基于规则的知识，学习者首先必须掌握一般的规规则的知识，学习者首先必须掌握一般的规则，然后按部就班地把一般规则应用于特殊则，然后按部就班地把一般规则应用于特殊的事例的事例（规则学习理论）（规则学习理论）；另一种则认为技；另一种则认为技能是一种基于范例的知识，学习的目的就是能是一种基于范例的知识，学习的目的就是不断积累范例，然后将范例用于相同的或类不断积累范例，然后将范例用于相同的或类似的情境似的情境（样例学习理论）（样例学习理论）。第17页，共22页，编辑于2022年，星期六操作性数学技能的形成过程操作性数学技能的形成过程o动作的定向阶段：动作的定向阶段：主要通过视觉形成为达到某一操作活动主要通过视觉形成为达到某一操作活动的表象与概念。（掌握操作的结构系统和每一步的操作要的表象与概念。（掌握操作的结构系统和每一步的操作要领）领）o动作的分解阶段：动作的分解阶段：把某项数学技能的全套动作分解成若干个把某项数学技能的全套动作分解成若干个单项动作，在老师的示范下学生依次模仿练习，从而掌握局单项动作，在老师的示范下学生依次模仿练习，从而掌握局部动作的活动方式。（对操作系列进行分解，并逐一模仿练部动作的活动方式。（对操作系列进行分解，并逐一模仿练习）习）o动作的整合阶段：动作的整合阶段：把前面所掌握的各个局部动作按照一定的顺把前面所掌握的各个局部动作按照一定的顺序联结起来，使其形成一个连贯而协调的操作程序，并固定下序联结起来，使其形成一个连贯而协调的操作程序，并固定下来。（在动作之间建立联系，使活动协调一体化）来。（在动作之间建立联系，使活动协调一体化）o动作的熟练阶段：动作的熟练阶段：通过练习而形成的数学活动方式能适应各种变通过练习而形成的数学活动方式能适应各种变化情况，其操作表现出高度完善化的特点。（使整个操作过程高化情况，其操作表现出高度完善化的特点。（使整个操作过程高度完善化和自动化）度完善化和自动化）第18页，共22页，编辑于2022年，星期六认知性数学技能的形成过程认知性数学技能的形成过程o认知定向：认知定向：让学生了解并记住与活动任务有关的知识，明让学生了解并记住与活动任务有关的知识，明确活动的过程和结果，在头脑中形成活动本身及其结果的确活动的过程和结果，在头脑中形成活动本身及其结果的表象；表象；o具体化模仿：具体化模仿：学生把头脑里已初步建立起来的活动程学生把头脑里已初步建立起来的活动程序谋划以外显的操作方式付诸执行。序谋划以外显的操作方式付诸执行。o言语化模仿：言语化模仿：运用自己的口头言语进行模仿训练；运用自己的口头言语进行模仿训练；o内化：内化：学生的智力活动过程有了高度的压缩和简化，学生的智力活动过程有了高度的压缩和简化，整个活动过程达到了完全自动化的水平，无需去注意整个活动过程达到了完全自动化的水平，无需去注意活动的操作规则就能比较流畅地完成其操作程序。如：活动的操作规则就能比较流畅地完成其操作程序。如：计算计算45+9999+5445+9999+54第19页，共22页，编辑于2022年，星期六数学技能的自动化数学技能的自动化o技能自动化是技能形成和发展的目标，也是学习心理技能自动化是技能形成和发展的目标，也是学习心理学的一个重要研究课题。学的一个重要研究课题。o自动化技能的几个显著自动化技能的几个显著特点特点：o快速快速o不费力不费力o自主自主o刻板刻板o无意识无意识o自动化技能获得的途径：重复练习自动化技能获得的途径：重复练习第20页，共22页，编辑于2022年，星期六促进数学技能形成的重要条件与措施促进数学技能形成的重要条件与措施o条件：条件：o内部条件：学习某一技能之前的已有的知识和能力，包括对目前的学习内部条件：学习某一技能之前的已有的知识和能力，包括对目前的学习有利的和不利的因素，这对即将进行的学习起重要作用；有利的和不利的因素，这对即将进行的学习起重要作用；o外部条件：独立于学生之外存在的，即指学习的环境。外部条件：独立于学生之外存在的，即指学习的环境。o措施：措施：o技能训练的时间分配要适当；技能训练的时间分配要适当；（分散练习：将练习的时间分为若干段，一步步进行；集中练习：将所（分散练习：将练习的时间分为若干段，一步步进行；集中练习：将所学技能包含的各动作在一次时间内完成，中间没有休息）学技能包含的各动作在一次时间内完成，中间没有休息）o练习的形式要多样化；练习的形式要多样化；o充分利用练习中的及时反馈的强化与矫正功能。（学生获得反馈充分利用练习中的及时反馈的强化与矫正功能。（学生获得反馈信息的渠道有：练习活动本身所显示的结果，这一结果往往易为信息的渠道有：练习活动本身所显示的结果，这一结果往往易为学生所知晓和察觉；教师把结果告诉学生，这主要是在练习那些学生所知晓和察觉；教师把结果告诉学生，这主要是在练习那些从表面上不易觉察正误的技能项目时所采用的方法。）从表面上不易觉察正误的技能项目时所采用的方法。）第21页，共22页，编辑于2022年，星期六第22页，共22页，编辑于2022年，星期六