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数学物理方法分离变量法第1页，共82页，编辑于2022年，星期六本章基本要求本章基本要求掌握有界弦的自由振动解及其物理意义掌握有界弦的自由振动解及其物理意义着重掌握分离变量法的解题思路、着重掌握分离变量法的解题思路、解题步骤及其核心问题解题步骤及其核心问题-本征值问题本征值问题2第2页，共82页，编辑于2022年，星期六分离变量法核心：分离变量法核心：本章考虑问题本章考虑问题（1 1）混合问题（混合问题（2 2）边值问题）边值问题本章层次：本章层次：3偏微分方程偏微分方程常微分方程常微分方程齐次方程齐次方程+齐次边界条件齐次边界条件非齐次方程非齐次方程+齐次边界条件齐次边界条件非齐次方程非齐次方程+非齐次边界条件非齐次边界条件第3页，共82页，编辑于2022年，星期六分离变量法思路起源分离变量法思路起源物理上由乐器发出的声音可以分解为各种不同频率的单物理上由乐器发出的声音可以分解为各种不同频率的单音，每种单音振动时形成正弦曲线，可以表示成音，每种单音振动时形成正弦曲线，可以表示成42.1 2.1 齐次方程问题齐次方程问题特点：含两个变量的函数可以表示为两个分别只含一个变量的特点：含两个变量的函数可以表示为两个分别只含一个变量的函数之积。函数之积。第4页，共82页，编辑于2022年，星期六这个定解问题的这个定解问题的特点特点是：偏微分方程是是：偏微分方程是线性奇次线性奇次的，边界的，边界条件也是条件也是奇次奇次的。的。研究两端固定的弦的自由振动研究两端固定的弦的自由振动定解问题定解问题解：解：这是解的分离变量这是解的分离变量泛定方程：泛定方程：边界条件：边界条件：初始条件：初始条件：5研究两端固定的弦的自由振动研究两端固定的弦的自由振动定解问题定解问题（第一类齐次边界条件）（第一类齐次边界条件）由前面思路，设由前面思路，设第5页，共82页，编辑于2022年，星期六 x,t 是相互独立的变量是相互独立的变量（求非零解）（求非零解）1 1 1 1、分离变量分离变量代入方程中，代入方程中，分离过程：分离过程：得出两个常微分方程：得出两个常微分方程：代入边界条件：代入边界条件：6第6页，共82页，编辑于2022年，星期六高数中结论：高数中结论：2 2 2 2、求解本征值问题求解本征值问题求解本征值问题求解本征值问题7若有二阶常系数线性齐次方程若有二阶常系数线性齐次方程其中其中p p、q q为常数，则特征方程为为常数，则特征方程为第7页，共82页，编辑于2022年，星期六 本方程特征方程本方程特征方程本方程特征方程本方程特征方程r r r r2 2 2 2+=0+=0+=0+=0，由上面结论知，方程的解与，由上面结论知，方程的解与，由上面结论知，方程的解与，由上面结论知，方程的解与的不的不的不的不同取值有关，分情况讨论：同取值有关，分情况讨论：同取值有关，分情况讨论：同取值有关，分情况讨论：8(1)(2)此时此时此时此时X X X X（x x x x）=0=0=0=0，只有零解，不合题意；，只有零解，不合题意；，只有零解，不合题意；，只有零解，不合题意；同样只有零解，不合题意；同样只有零解，不合题意；同样只有零解，不合题意；同样只有零解，不合题意；第8页，共82页，编辑于2022年，星期六C2是是积分常数积分常数9非零解非零解(3)则则则则X X X X（x x x x）的一族非零解为）的一族非零解为）的一族非零解为）的一族非零解为 上解称为满足边界条件的固有解（特征解），上解称为满足边界条件的固有解（特征解），上解称为满足边界条件的固有解（特征解），上解称为满足边界条件的固有解（特征解），称为固有称为固有称为固有称为固有值（特征值），值（特征值），值（特征值），值（特征值），sinsinsinsin函数称为固有函数（特征函数）。函数称为固有函数（特征函数）。函数称为固有函数（特征函数）。函数称为固有函数（特征函数）。第9页，共82页，编辑于2022年，星期六固得到下面一族解：固得到下面一族解：A、B 是积分常数是积分常数3 3 3 3、解出时间函数，得到一族解解出时间函数，得到一族解解出时间函数，得到一族解解出时间函数，得到一族解时间函数解时间函数解10解方程解方程 n=1,2,31,2,3 第10页，共82页，编辑于2022年，星期六代入初始条件，有代入初始条件，有 一般情况下满足不了，怎么办？！一般情况下满足不了，怎么办？！利用叠加原理！利用叠加原理！114 4 4 4、通过初始条件，求出通解通过初始条件，求出通解通过初始条件，求出通解通过初始条件，求出通解第11页，共82页，编辑于2022年，星期六此时要满足初始条件，则此时要满足初始条件，则 12第12页，共82页，编辑于2022年，星期六则定解问题的最终解为则定解问题的最终解为13第13页，共82页，编辑于2022年，星期六5 5、物理意义：、物理意义：、物理意义：、物理意义：是驻波，（固有振动模式）是驻波，（固有振动模式）相邻节点之间距离等于半波长相邻节点之间距离等于半波长 波长波长=节点数节点数 n+1 n+1,位置位置 lnlnnlnlx,)1(,2,0-=14第14页，共82页，编辑于2022年，星期六15本征频率本征频率lnavlannn22,=p pw wp pw w n=1n=1 时时,1lap pw w=基频基频基波基波（决定了音调）（决定了音调）n n 1 1 时时lannp pw w=谐谐频频谐波（决定了音色）谐波（决定了音色）波腹波腹波节波节第15页，共82页，编辑于2022年，星期六（4 4）确定级数解中的待定常数（利用初始条件）确定级数解中的待定常数（利用初始条件）6 6、分离变量法概要：分离变量法概要：（1 1）将偏微分方程化简为常微分方程（）将偏微分方程化简为常微分方程（U=XT)U=XT)（2 2）确定固有值和固有函数（利用边界条件）确定固有值和固有函数（利用边界条件）（3 3）确定形式解（级数形式解）确定形式解（级数形式解）16第16页，共82页，编辑于2022年，星期六17例：求解例：求解（第二类齐次边界条件）（第二类齐次边界条件）解：解：设设第17页，共82页，编辑于2022年，星期六18此时边界条件为：此时边界条件为：相应的相应的特征值特征值问题问题为：为：此时此时此时此时X X X X（x x x x）=0=0=0=0，只有零解，不合题意；，只有零解，不合题意；，只有零解，不合题意；，只有零解，不合题意；(1)第18页，共82页，编辑于2022年，星期六19 同样只有零解，不合题意；同样只有零解，不合题意；同样只有零解，不合题意；同样只有零解，不合题意；(2)非零解非零解(3)第19页，共82页，编辑于2022年，星期六20则特征解为则特征解为则特征解为则特征解为将特征值代入将特征值代入将特征值代入将特征值代入T T T T（t t t t）的方程，解出）的方程，解出）的方程，解出）的方程，解出则则则则u u u u（x x x x，t t t t）的特解族为）的特解族为）的特解族为）的特解族为第20页，共82页，编辑于2022年，星期六同样很难满足初始条件，由叠加原理得同样很难满足初始条件，由叠加原理得 21此时要满足初始条件，有此时要满足初始条件，有 第21页，共82页，编辑于2022年，星期六22故定解问题的最终解为故定解问题的最终解为第22页，共82页，编辑于2022年，星期六2.2 有限长杆上的热传导23第23页，共82页，编辑于2022年，星期六24第24页，共82页，编辑于2022年，星期六25此特解仍然很难满足初始条件，由叠加原理得级数解为此特解仍然很难满足初始条件，由叠加原理得级数解为第25页，共82页，编辑于2022年，星期六26由初始条件有由初始条件有 第26页，共82页，编辑于2022年，星期六2.3 二维拉普拉斯方程的定解问题 （1）圆域）圆域 因为边界形状是个圆周，圆域边界条件中因为边界形状是个圆周，圆域边界条件中x、y是不可直是不可直接分离的，故化为极坐标求解。接分离的，故化为极坐标求解。27第27页，共82页，编辑于2022年，星期六28第28页，共82页，编辑于2022年，星期六第一步：求满足齐次方程、周期边值条件和原点约第一步：求满足齐次方程、周期边值条件和原点约束条件的变量分离形式的解束条件的变量分离形式的解29第29页，共82页，编辑于2022年，星期六30周期本征值问题周期本征值问题欧拉方程欧拉方程第30页，共82页，编辑于2022年，星期六第二步：求解周期本征值问题和欧拉方程第二步：求解周期本征值问题和欧拉方程31第31页，共82页，编辑于2022年，星期六根据叠加原理，得到级数解根据叠加原理，得到级数解32第32页，共82页，编辑于2022年，星期六第三步：利用边界条件第三步：利用边界条件利用傅立叶级数系数的求解公式利用傅立叶级数系数的求解公式33第33页，共82页，编辑于2022年，星期六欧拉方程欧拉方程 常系数线性微分方程附录：欧拉方程34第34页，共82页，编辑于2022年，星期六欧拉方程的算子解法欧拉方程的算子解法:35第35页，共82页，编辑于2022年，星期六则由上述计算可知:用归纳法可证 于是欧拉方程 转化为常系数线性方程:36第36页，共82页，编辑于2022年，星期六 （2）矩形域）矩形域37第37页，共82页，编辑于2022年，星期六38第38页，共82页，编辑于2022年，星期六39叠加后的级数解为叠加后的级数解为第39页，共82页，编辑于2022年，星期六40第40页，共82页，编辑于2022年，星期六泛定方程边界条件本征值问题本征值本征函数 k=1,2,3k=1,2,3 k=0,1,2,3 41k=0,1,2,3 k=0,1,2,3 第41页，共82页，编辑于2022年，星期六422.4 非奇次方程的解法 研究一根弦在两端固定的情况下，受强迫力作研究一根弦在两端固定的情况下，受强迫力作用所产生的振动现象。用所产生的振动现象。即考虑下列定解问题：即考虑下列定解问题：第42页，共82页，编辑于2022年，星期六43 怎么办？！怎么办？！很明显现在不能直接用前面的变量分离起手式进很明显现在不能直接用前面的变量分离起手式进行分解，因为等式右边的非齐次尾巴没办法处理！行分解，因为等式右边的非齐次尾巴没办法处理！现在的情况下，弦的振动和现在的情况下，弦的振动和两个原因两个原因有关，一是有关，一是外力外力，二是，二是初始状态初始状态。有否经历过类似情景？是否有可借鉴的类似情况有否经历过类似情景？是否有可借鉴的类似情况？第43页，共82页，编辑于2022年，星期六44 借用结论：借用结论：这里我们用一招移花接木！这里我们用一招移花接木！全响应全响应=零输入响应零输入响应+零状态响应零状态响应 零输入零输入=初始状态引起振动，与外力无关；初始状态引起振动，与外力无关；零状态零状态=外力引起振动，与初始状态无关外力引起振动，与初始状态无关第44页，共82页，编辑于2022年，星期六45 设解为：设解为：初始状态原因初始状态原因（零输入）（零输入）外力原因外力原因（零状态）（零状态）第45页，共82页，编辑于2022年，星期六46 （零输入响应）（零输入响应）（零状态响应）零状态响应）第46页，共82页，编辑于2022年，星期六47 对对V（x，t），可直接用前面的变量分类法求出：），可直接用前面的变量分类法求出：第47页，共82页，编辑于2022年，星期六48 对对W（x，t），如何求？），如何求？第48页，共82页，编辑于2022年，星期六49第49页，共82页，编辑于2022年，星期六50第50页，共82页，编辑于2022年，星期六51第51页，共82页，编辑于2022年，星期六52 设设解法二解法二第52页，共82页，编辑于2022年，星期六53第53页，共82页，编辑于2022年，星期六54第54页，共82页，编辑于2022年，星期六55 原方程的解为：原方程的解为：第55页，共82页，编辑于2022年，星期六56 例例 在环形域在环形域 内求解下列定解问题内求解下列定解问题解解由于求解区域是环形区域，所以改选用平面由于求解区域是环形区域，所以改选用平面极坐标系，利用直角坐标与极坐标系之间的极坐标系，利用直角坐标与极坐标系之间的关系关系第56页，共82页，编辑于2022年，星期六57将上述定解问题用极坐标表示出来：将上述定解问题用极坐标表示出来：利用上节求出的圆域拉普拉斯方程的本征函数，利用上节求出的圆域拉普拉斯方程的本征函数，设解为设解为第57页，共82页，编辑于2022年，星期六58 代入方程并整理得到：代入方程并整理得到：比较两端的系数可得比较两端的系数可得第58页，共82页，编辑于2022年，星期六59再由边界条件得再由边界条件得通解为：通解为：求解得求解得第59页，共82页，编辑于2022年，星期六60特解有特解有所以有所以有代入边界条件有代入边界条件有原定解问题的解为原定解问题的解为第60页，共82页，编辑于2022年，星期六612.5 2.5 非齐次边界条件的处理非齐次边界条件的处理设有定解问题设有定解问题 边界条件非齐次，若用前面方法分离变量，由边界条件边界条件非齐次，若用前面方法分离变量，由边界条件没有办法得到只与某个常微分方程有关的具体边界函数值。没有办法得到只与某个常微分方程有关的具体边界函数值。怎么办？！怎么办？！第61页，共82页，编辑于2022年，星期六62想办法把边界条件化为齐次！想办法把边界条件化为齐次！设法作一代换将边界条件化为齐次的，令设法作一代换将边界条件化为齐次的，令所以要求所以要求选取选取W(x,t)使使V(x,t)的边界条件化为齐次的，即的边界条件化为齐次的，即第62页，共82页，编辑于2022年，星期六63 一般这样的函数是很容易找到的，最简单的如选取关一般这样的函数是很容易找到的，最简单的如选取关于于x x的线性函数：的线性函数：代入代入w w（x x，t t）要满足的边界条件，可求出：）要满足的边界条件，可求出：第63页，共82页，编辑于2022年，星期六64此时关于此时关于V的定解问题为的定解问题为因此只要做如下代换，因此只要做如下代换，V将满足齐次边界条件。将满足齐次边界条件。第64页，共82页，编辑于2022年，星期六65其中其中关于关于V V（x x，t t）的问题即前述非齐次方程、齐次边界条件问题。）的问题即前述非齐次方程、齐次边界条件问题。第65页，共82页，编辑于2022年，星期六66 当边界条件不同时，方法一致（关键在与当边界条件不同时，方法一致（关键在与w w（x x，t t）的选取），）的选取），W W（x x，t t）的形式不同。）的形式不同。常用的最简单的常用的最简单的w w（x x，t t）形式）形式第66页，共82页，编辑于2022年，星期六67通过上式可以求出通过上式可以求出W W（x x）的形式。）的形式。注：若注：若f f，u u1 1，u u2 2都与都与t t无关，则可选取无关，则可选取W W（x x）（与）（与t t无关），无关），使使V V（x x，t t）同时满足齐次方程和齐次边界条件，此时）同时满足齐次方程和齐次边界条件，此时 W W（x x）需满足：）需满足：第67页，共82页，编辑于2022年，星期六68此时此时u u（x x，t t）=V=V（x x，t t）+W+W（x x），则），则V V（x x，t t）满足）满足第68页，共82页，编辑于2022年，星期六69例1：求的形式解，其中A,B均为常数。解：令代入方程有第69页，共82页，编辑于2022年，星期六70通过二次积分即边界条件求得：则V的方程为：第70页，共82页，编辑于2022年，星期六71利用分离变量法，带齐次边界的方程的解为利用第二个初始条件代入第一个初始条件有即第71页，共82页，编辑于2022年，星期六72由傅里叶系数公式可得因此，原定解问题的解为：第72页，共82页，编辑于2022年，星期六73例2 求定解问题其中b,u1均为常数。解：令代入方程有第73页，共82页，编辑于2022年，星期六74分解为两个方程（零输入响应）（零状态响应）第74页，共82页，编辑于2022年，星期六75对于问题（I），可以直接采用分离变量法求解。代入有由边界条件有由此得到下面两个常微分方程第75页，共82页，编辑于2022年，星期六76易求得特征值和特征函数为：代入含T的方程有第76页，共82页，编辑于2022年，星期六77它的通解为从而问题（I）的解可表示为其中Cn由初始条件确定为第77页，共82页，编辑于2022年，星期六78故所求的解V（1）(x,t）为对于问题（II），可以用特征函数法求解，将方程的自由项及解都按特征函数系来展开。第78页，共82页，编辑于2022年，星期六79其中vn(t)满足由此可解得第79页，共82页，编辑于2022年，星期六80从而问题（II）的解为原方程的解为第80页，共82页，编辑于2022年，星期六本章小结分离变量法核心：偏微分方程常微分方程（1）基础齐次方程+齐次边界条件（直接变量分离法求解）（2）复杂化非齐次方程+齐次边界条件分解为齐次方程+齐次边界条件+非零初始条件（零输入）（直接变量分离法求解）非齐次方程+齐次边界条件+零初始条件（零状态）（固有函数法求解，设出级数解形式，求时间函数）81第81页，共82页，编辑于2022年，星期六（3）近一步复杂化非齐次方程+非齐次边界条件1）做代换使边界条件齐次；2）同（2）综上（1）为（2）的基础，（2）为（3）的基础！82第82页，共82页，编辑于2022年，星期六