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第8章扭转本讲稿第一页，共九十六页我们在第六章讲扭矩与扭矩图的时候，涉及到这样的问我们在第六章讲扭矩与扭矩图的时候，涉及到这样的问题：题：mmMTTxxMTTABABabT|m|m lTbO本讲稿第二页，共九十六页杆件在横向平面内的外力偶的作用下，要发生扭转变杆件在横向平面内的外力偶的作用下，要发生扭转变形，产生相对扭转角形，产生相对扭转角 bOb(B截面相对于截面相对于A截面），受截面），受扭杆之内力如上。用分离体分析扭矩扭杆之内力如上。用分离体分析扭矩MT。本章主要研究以下内容：本章主要研究以下内容：(1)薄壁圆筒扭转时的应力和应变；薄壁圆筒扭转时的应力和应变；(2)圆截面等直杆受扭时的应力和变形；（等直圆杆受圆截面等直杆受扭时的应力和变形；（等直圆杆受扭时其横截面仍为平面，求解较简单。）扭时其横截面仍为平面，求解较简单。）(3)简要介绍非圆截面杆受扭时的一些弹性力学中简要介绍非圆截面杆受扭时的一些弹性力学中的分析结果。（非圆截面杆受扭时，横截面不的分析结果。（非圆截面杆受扭时，横截面不再保持平面，要发生扭曲求解复杂。）再保持平面，要发生扭曲求解复杂。）本讲稿第三页，共九十六页 受扭杆件横截面上与扭矩对应的应力是正应力还受扭杆件横截面上与扭矩对应的应力是正应力还是切应力？为什么？是切应力？为什么？思考题思考题 8-1 答：切应力，因为与正应力相应的分布内力之答：切应力，因为与正应力相应的分布内力之合力不可能是个作用在横截面上的力偶。合力不可能是个作用在横截面上的力偶。本讲稿第四页，共九十六页受扭后，圆周线与纵向直线之间原来的直角改变了一数受扭后，圆周线与纵向直线之间原来的直角改变了一数量。物体受力变形时，直角的这种改变量（以弧度计）量。物体受力变形时，直角的这种改变量（以弧度计）称之为称之为切应变切应变。8-1 薄壁圆筒扭转时的应力与应变薄壁圆筒扭转时的应力与应变TT(rad)l平均半径为平均半径为 r。厚度为且。厚度为且 r。本讲稿第五页，共九十六页 根据圆筒横截面本身以及施加的力偶的极对称性根据圆筒横截面本身以及施加的力偶的极对称性容易判明，圆筒表面同一圆周线上各处的切应变均相容易判明，圆筒表面同一圆周线上各处的切应变均相同。因此，在材料为均匀连续这个假设条件下，圆筒同。因此，在材料为均匀连续这个假设条件下，圆筒横截面上与此切应变相应的切应力其大小在外圆周上横截面上与此切应变相应的切应力其大小在外圆周上各点处必相等；至于此切应力的方向，从相应的切应各点处必相等；至于此切应力的方向，从相应的切应变发生在圆筒的切向平面可知，系变发生在圆筒的切向平面可知，系TT(rad)l本讲稿第六页，共九十六页沿外圆周的切向，如下图所示。沿外圆周的切向，如下图所示。TMT（MT=T）上述内容主要说明：上述内容主要说明：(1)薄壁圆筒圆周上各点处的切应变相同；薄壁圆筒圆周上各点处的切应变相同；(2)薄壁圆筒圆周上各点处的切应力相等；薄壁圆筒圆周上各点处的切应力相等；本讲稿第七页，共九十六页(3)薄壁圆筒圆周上各点处剪应力的方向沿外周线的切线。薄壁圆筒圆周上各点处剪应力的方向沿外周线的切线。对于薄壁圆筒（对于薄壁圆筒（d 很小），横截面上其它各点处的切很小），横截面上其它各点处的切应力可以认为与外圆周处相同，即不沿径向变化。于是可以应力可以认为与外圆周处相同，即不沿径向变化。于是可以认为薄壁圆筒受扭时，横截面上的切应力大小处处相等，方认为薄壁圆筒受扭时，横截面上的切应力大小处处相等，方向则垂直于相应的半径。向则垂直于相应的半径。即如图中所示。即如图中所示。TMT（MT=T）本讲稿第八页，共九十六页 这样，知道了切应力这样，知道了切应力t t 的分布规律后的分布规律后，便可以利用静力，便可以利用静力学关系学关系r 用平均半径用平均半径r0代替代替 上述薄壁圆筒横截面上扭转切应力的这一计算公上述薄壁圆筒横截面上扭转切应力的这一计算公式是在假设它们的大小沿径向（壁厚）不变的情况下式是在假设它们的大小沿径向（壁厚）不变的情况下导出的。导出的。则则从而有从而有(8-1)本讲稿第九页，共九十六页 通过对薄壁圆筒所作的扭转实验可以发现，当外加通过对薄壁圆筒所作的扭转实验可以发现，当外加力偶矩在某一范围内时，扭转角力偶矩在某一范围内时，扭转角f f 与外力偶矩与外力偶矩T之间成正之间成正比。比。TO剪切比例剪切比例极限极限O本讲稿第十页，共九十六页剪切比例剪切比例极限极限O图中的线性关系为图中的线性关系为 t t=Gg g 上式称之为材料的剪切胡克定律。上式称之为材料的剪切胡克定律。(拉压胡克定律拉压胡克定律 s s=Ee e)式中式中 G材料切变模量，量纲为材料切变模量，量纲为MPa。如各种钢的切变模如各种钢的切变模量均约为量均约为8.0104 MPa，至于剪切比例极限，则随钢种而，至于剪切比例极限，则随钢种而异；异；Q235钢，钢，t tp=120 MPa。本讲稿第十一页，共九十六页 理论分析和实验都表明，对于各向同性材料，剪切弹理论分析和实验都表明，对于各向同性材料，剪切弹性模量与其它两弹性参数性模量与其它两弹性参数E和和n n 之间存在下列关系：之间存在下列关系：泊松比泊松比本讲稿第十二页，共九十六页 实心圆截面杆和非薄壁空心圆截面受扭时，我实心圆截面杆和非薄壁空心圆截面受扭时，我们没有理由认为它们横截面上的切应力如同在受扭们没有理由认为它们横截面上的切应力如同在受扭的薄壁圆筒中那样是均匀的分布的。的薄壁圆筒中那样是均匀的分布的。8-2 圆杆扭转时的应力与变形圆杆扭转时的应力与变形8.2.1 横截面上的切应力横截面上的切应力 现在的关键在于：现在的关键在于：确定切应力在横截面上的变化规律，即横截面上确定切应力在横截面上的变化规律，即横截面上距圆心为任意半径距圆心为任意半径r r 的一点处切应力的一点处切应力t tr r与与r r的关的关系。系。本讲稿第十三页，共九十六页首先观察受扭时，表面的变首先观察受扭时，表面的变形情况，据此作出涉及杆件形情况，据此作出涉及杆件内部变形情况的假设，最后内部变形情况的假设，最后还要利用应力和应变之间的还要利用应力和应变之间的物理关系。物理关系。(1)几何关系几何关系 (2)物理关系物理关系 (3)静力学关系静力学关系 本讲稿第十四页，共九十六页1.几何关系：几何关系：(1)等直圆杆受扭时，画在表面上的圆周线只是绕杆的轴等直圆杆受扭时，画在表面上的圆周线只是绕杆的轴线转动，其大小和形状都不改变；且在变形较小的情况时，线转动，其大小和形状都不改变；且在变形较小的情况时，圆周线的相对纵向距离也不变。圆周线的相对纵向距离也不变。如下图，实验表明：如下图，实验表明：ABabObTT本讲稿第十五页，共九十六页(2)平截面假设平截面假设 等直杆受扭时，它的横截面如同刚性的圆盘那样绕杆等直杆受扭时，它的横截面如同刚性的圆盘那样绕杆的轴线转动。同样，等直圆杆受扭时，其横截面上任一根半的轴线转动。同样，等直圆杆受扭时，其横截面上任一根半径其直线形状仍然保持为直线，只是绕圆心旋转了一个角度。径其直线形状仍然保持为直线，只是绕圆心旋转了一个角度。ABabObTT本讲稿第十六页，共九十六页取微段取微段dx分析：得半径为分析：得半径为r r的任意圆杆面上的切应变。的任意圆杆面上的切应变。(a)rd x式中：式中：d f f/dx 是长度方向的变化率，按平面假设是常量。是长度方向的变化率，按平面假设是常量。这样，等直圆杆受扭时，这样，等直圆杆受扭时，r r与与g gr r 成线性关系。成线性关系。(1)本讲稿第十七页，共九十六页2.物理关系：物理关系：由剪切胡克定律：由剪切胡克定律：t tr r=Gg gr r，在，在 t tt tp 时，可把时，可把(1)式代式代入，得：入，得：上式表明：受扭的等直杆在线上式表明：受扭的等直杆在线性弹性范围内工作时，横截面上的性弹性范围内工作时，横截面上的切应力在同一半径切应力在同一半径r的圆周上各点的圆周上各点处大小相同，但它们随处大小相同，但它们随r r 作线性变作线性变化，同一横截面上的最大切应力在化，同一横截面上的最大切应力在圆周边缘上（图圆周边缘上（图(b)，方向垂直于方向垂直于各自的半径。各自的半径。(b)(2)本讲稿第十八页，共九十六页上式与上式与MT没有联系起来。没有联系起来。若等截面圆杆在若等截面圆杆在MT 作用下，则作用下，则t t 如何？如何？3.静力学关系：静力学关系：(2)本讲稿第十九页，共九十六页当当d d/r0=10，其误差为，其误差为4.5。TT(rad)l由上图得由上图得 式中式中 r为圆筒外半径。为圆筒外半径。则则本讲稿第二十页，共九十六页 整个横截面面积整个横截面面积A范围内每个微面积范围内每个微面积dA乘以它到圆心乘以它到圆心的距离平方之总和，因此它是一个几何性质，称之为横截的距离平方之总和，因此它是一个几何性质，称之为横截面的极惯性矩，常用面的极惯性矩，常用Ip来表示，即：来表示，即：(2)（单位：（单位：mm4或或m4）本讲稿第二十一页，共九十六页本讲稿第二十二页，共九十六页等直圆杆受扭时横截面上任一点处切应力的计算公式。等直圆杆受扭时横截面上任一点处切应力的计算公式。若求若求t tmax，则令，则令r r=r，有，有又又故故本讲稿第二十三页，共九十六页上述公式只适用于实心或空心圆截面等直杆在线性弹上述公式只适用于实心或空心圆截面等直杆在线性弹性范围内受扭情况。性范围内受扭情况。改写成改写成其中抗扭截面模量其中抗扭截面模量 ，常用单位：常用单位：mm3或或m3。本讲稿第二十四页，共九十六页.OABMT思考题思考题8-2 下图所示为一由均质材料制成的空心圆轴之横下图所示为一由均质材料制成的空心圆轴之横截面，该截面上的扭矩截面，该截面上的扭矩MT 亦如图所示，试绘出水平亦如图所示，试绘出水平直经直经AB上各点处切应力的变化图。上各点处切应力的变化图。本讲稿第二十五页，共九十六页MTABO思考题思考题8-2参考答案参考答案:本讲稿第二十六页，共九十六页 一受扭圆轴一受扭圆轴,由实心杆由实心杆1和空心杆和空心杆2紧配合而成。整紧配合而成。整个杆受扭时两部分无相对滑动个杆受扭时两部分无相对滑动,试绘出切应力沿水平直试绘出切应力沿水平直经的变化图，若经的变化图，若(1)两杆材料相同，即两杆材料相同，即G1=G2=G；(2)两两材料不同，材料不同，G1=2G2。MT12思考题思考题8-3本讲稿第二十七页，共九十六页思考题思考题8-3(1)答案：答案：MTG1=G2=G21本讲稿第二十八页，共九十六页思考题思考题8-3(2)答案：答案：MTG1=2G221本讲稿第二十九页，共九十六页主要计算实心圆截面和空心圆截面。主要计算实心圆截面和空心圆截面。如图有如图有o8.2.2 极惯性矩和抗扭截面模量极惯性矩和抗扭截面模量Ip和和Wp 对于实心圆截面对于实心圆截面 本讲稿第三十页，共九十六页o对于空心圆截面（外径对于空心圆截面（外径D，内径内径d）式中：式中：a a=d/D本讲稿第三十一页，共九十六页千万不要出错！千万不要出错！应当注意：应当注意：本讲稿第三十二页，共九十六页8.2.3 扭转角扭转角本讲稿第三十三页，共九十六页若若 l 范围内，范围内，T是常量，是常量，GIp也为常量，则上式也为常量，则上式GIp越大，扭转角越小，故称为抗扭刚度。越大，扭转角越小，故称为抗扭刚度。lTT比较：比较：本讲稿第三十四页，共九十六页 一水轮机的功率为一水轮机的功率为Nk=7350 kW，其竖，其竖轴是直径为轴是直径为d=650 mm，而长度为而长度为l=6000 mm的等截面实的等截面实心钢轴，材料的剪切弹性模量为心钢轴，材料的剪切弹性模量为G=0.8105 MPa。求当水。求当水轮机以转速轮机以转速n=57.7 r/min匀速旋转时，轴内的最大切应匀速旋转时，轴内的最大切应力及轴的两个端面间的相对扭转角力及轴的两个端面间的相对扭转角f f。OTa例题例题 8-2本讲稿第三十五页，共九十六页OTa解：轴传递功率解：轴传递功率Nk(kW)，相当于每分钟传递功相当于每分钟传递功 W=1000Nk60(Nm)(1)令令(1)、(2)相等，得相等，得外力偶作功外力偶作功 (2)即即例题例题 8-2本讲稿第三十六页，共九十六页因此作用在轴上的外力偶矩因此作用在轴上的外力偶矩T为为OTa极惯性矩极惯性矩例题例题 8-2本讲稿第三十七页，共九十六页 图示传动轴系钢制实心圆截面轴。已知：图示传动轴系钢制实心圆截面轴。已知：T1=1592Nm，T2=955Nm，T3=637Nm截面截面A与截面与截面B、C之间的距离分别为之间的距离分别为lAB=300mm 和和lAC=500mm。轴的直径。轴的直径d=70mm,钢的剪切弹性模量钢的剪切弹性模量G=8104 MPa。试求截面试求截面C对对B的扭转角的扭转角 dABC例题例题 8-3本讲稿第三十八页，共九十六页 dABC解：由截面法得解：由截面法得，两段内扭矩分别为两段内扭矩分别为M T=955 Nm,M T=637 Nm。先分计算。先分计算B，C截面对截面对A之扭之扭转角转角f fAB，f fAC,则可以假想此时则可以假想此时A不动。不动。例题例题 8-3本讲稿第三十九页，共九十六页 dABC由于假想截面由于假想截面A固定不动，故截固定不动，故截面面B、C相对于截面相对于截面A的相对转动应的相对转动应分别与扭转力偶矩分别与扭转力偶矩T2、T3的转向相的转向相同，从而同，从而f fAB和和f fAC的转向相同。由的转向相同。由此可见，截面此可见，截面C对对B的扭转角的扭转角f fBC应应是：是：上两式中的上两式中的Ip可以利用可以利用例题例题 8-3本讲稿第四十页，共九十六页其转向与扭转力偶矩其转向与扭转力偶矩T3相同。相同。dABC例题例题 8-3本讲稿第四十一页，共九十六页 直径直径50mm的钢圆轴，其横截面上的扭矩的钢圆轴，其横截面上的扭矩MT=1.5 kNm，求横截面上的最大切应力。求横截面上的最大切应力。思考题思考题8-4T=1.5 kN mTlT本讲稿第四十二页，共九十六页思考题思考题 8-5 空心圆轴的直径空心圆轴的直径d=100 mm，长长l=1m，作用在两，作用在两个端面上的外力偶之矩均为个端面上的外力偶之矩均为T=14 kNm，但转向相反。但转向相反。材料的切变模量材料的切变模量G=8104 MPa。求：求：(1)横截面上的切应力，以及两个端面的相对扭转横截面上的切应力，以及两个端面的相对扭转角。角。(2)图示横截面上图示横截面上ABC三点处切应力的大小及方向。三点处切应力的大小及方向。ABCO25TlT本讲稿第四十三页，共九十六页(1)t tmax=71.3 MPa f f=0.01784 rad(2)t tA=t tB=t tmax=71.3 MPa t tC=35.7 MPa思考题思考题8-5答案：答案：ABCO25本讲稿第四十四页，共九十六页 下图下图(a)所示的扭转超静定问题，若假想地解除所示的扭转超静定问题，若假想地解除B端的约束，而利用端的约束，而利用B截面的扭转角为零作为位移条件求截面的扭转角为零作为位移条件求解解(图图(b)，试列出其求解过程。试列出其求解过程。AablCBT思考题思考题8-6本讲稿第四十五页，共九十六页ATBTB思考题思考题8-6答答案：案：先考虑先考虑 T 作用，则作用，则只考虑只考虑TB的作用，则的作用，则本讲稿第四十六页，共九十六页ATBTB相容条件：相容条件：则则TA=T b/l上述结果可与书例题上述结果可与书例题8-3进行比较。进行比较。得得本讲稿第四十七页，共九十六页8.2.4 斜截面上的应力斜截面上的应力通过扭转实验发现：通过扭转实验发现：(1)低碳钢试件系横截面剪断；低碳钢试件系横截面剪断；(2)铸铁试件则沿着与轴线成铸铁试件则沿着与轴线成45的螺旋线剪断；的螺旋线剪断；(3)木材试件沿与轴线平行的方向劈裂。木材试件沿与轴线平行的方向劈裂。研究类似铸铁试件破坏原因研究类似铸铁试件破坏原因考虑斜截面上的应力。考虑斜截面上的应力。本讲稿第四十八页，共九十六页方法：扭杆假想切开斜截面方法：扭杆假想切开斜截面扭杆，应力分布不均匀，不能切开斜截面扭杆，应力分布不均匀，不能切开斜截面xTA(a)点上切一个单元体点上切一个单元体本讲稿第四十九页，共九十六页(1)左、右横截面左、右横截面(2)顶、底面，径向截面顶、底面，径向截面(3)前、后面，切向截面前、后面，切向截面xx(b)adcd本讲稿第五十页，共九十六页思考题思考题 8-7 如图所示为从受扭实心圆截面杆中，以径向截面如图所示为从受扭实心圆截面杆中，以径向截面ABEF取出的分离体（半个圆柱体）。试绘出取出的分离体（半个圆柱体）。试绘出（1）横截面）横截面AGB上应力沿直径上应力沿直径AB的分布；的分布；（2）径截面）径截面ABEF上应力分别沿直径上应力分别沿直径AB、CD、EF的分布。的分布。ECFDBAG本讲稿第五十一页，共九十六页思考题思考题8-7答答案案:ECFDBAG本讲稿第五十二页，共九十六页 现从受扭圆杆件的表面现从受扭圆杆件的表面A取出一单元体（图取出一单元体（图(b)）,图图(b)处于纯剪切状态处于纯剪切状态,现改其为平面图表示：现改其为平面图表示：xTA(a)xx(b)adcbyabcdenx(a)detnxc(b)本讲稿第五十三页，共九十六页yabcdenx(a)研究垂直于前后两个面的任意斜截面研究垂直于前后两个面的任意斜截面de上的应上的应力力,如图如图(a)、(b)。de 斜面作着未知的正应力斜面作着未知的正应力s sa a和和切应力切应力t ta a。detnxc(b)设设de的面积为的面积为dA，则则本讲稿第五十四页，共九十六页detnxc(b)简化后：简化后：同理同理得：得：本讲稿第五十五页，共九十六页detnxc(b)当当a a0o与与a a90o时：时：t ta a有最大值，即为有最大值，即为t ta a=45o的情况下：的情况下：s sa a有极值，即为有极值，即为t t。a a=145o，s sa a=s smin=-t ta a=-45o，s sa a=s smax=+t t本讲稿第五十六页，共九十六页由此看来，铸铁圆柱的所谓扭转破坏，其实质上是沿由此看来，铸铁圆柱的所谓扭转破坏，其实质上是沿45方向拉伸引起的断裂。方向拉伸引起的断裂。也因此，在纯剪切应力状态下直接引起断裂的最也因此，在纯剪切应力状态下直接引起断裂的最大拉应力大拉应力s smax总是等于横截面上相应的应力，所以在总是等于横截面上相应的应力，所以在铸铁圆杆的抗扭强度的计算中也就以横截面上的铸铁圆杆的抗扭强度的计算中也就以横截面上的t t 作作为依据。如下图所示。为依据。如下图所示。TT断裂线断裂线min本讲稿第五十七页，共九十六页1.薄壁圆筒扭转时的应力和变形。薄壁圆筒扭转时的应力和变形。小结：小结：2.圆杆扭转时的应力和变形。圆杆扭转时的应力和变形。(1)横截面上的应力横截面上的应力材料的剪切胡克定律材料的剪切胡克定律、n n三者之间的关系三者之间的关系本讲稿第五十八页，共九十六页(a)几何关系几何关系 (b)物理关系物理关系(c)静力学关系静力学关系本讲稿第五十九页，共九十六页(d)极惯性矩和抗扭截面模量极惯性矩和抗扭截面模量实心圆截面实心圆截面代入代入Ip得得本讲稿第六十页，共九十六页空心圆截面空心圆截面扭转角扭转角斜截面上的应力斜截面上的应力本讲稿第六十一页，共九十六页思考题思考题 8-8 直径直径d=25 mm的钢圆杆，受轴向拉力的钢圆杆，受轴向拉力60 kN作作用时，在标距为用时，在标距为200 mm的长度内伸长了的长度内伸长了 0.113 mm；当它受一对矩为；当它受一对矩为0.2 kNm的外力偶作用而扭转时，的外力偶作用而扭转时，相距相距200 mm的两个横截面相对转动了的两个横截面相对转动了0.732的角度。的角度。试求此圆杆所用钢材的弹性常数试求此圆杆所用钢材的弹性常数E、G和和n。本讲稿第六十二页，共九十六页思考题思考题8-8答案答案本讲稿第六十三页，共九十六页 实心或空心圆截面杆受扭时实心或空心圆截面杆受扭时,杆内所有的点均处于纯杆内所有的点均处于纯剪切应力状态剪切应力状态,而整个杆的危险点在横截面的边缘处。而整个杆的危险点在横截面的边缘处。8-3 强度条件及刚度条件强度条件及刚度条件1.强度条件强度条件受扭圆杆的强度条件：受扭圆杆的强度条件：对于等截面杆：危险点必在对于等截面杆：危险点必在MTmax 所在截面所在截面边缘处边缘处,即即由以上两式得到由以上两式得到本讲稿第六十四页，共九十六页 根据上述公式，可对空心或实心圆截面受扭杆件进行根据上述公式，可对空心或实心圆截面受扭杆件进行 (1)校核强度校核强度(2)选择截面尺寸选择截面尺寸(3)计算容许荷载计算容许荷载2.刚度条件刚度条件 满足了强度条件，但若变形过大，必将对正常工满足了强度条件，但若变形过大，必将对正常工作产生影响。刚度条件通常是以扭转角沿杆长的变化作产生影响。刚度条件通常是以扭转角沿杆长的变化率率q q(=df f/dx),其最大值其最大值q qmax不超过某一规定的容许不超过某一规定的容许值值q q 来表达，即来表达，即本讲稿第六十五页，共九十六页式中式中q q 为单位长度杆的容许扭转角，单位为单位长度杆的容许扭转角，单位/m来计算。化为角度每米则为来计算。化为角度每米则为对于等直的圆杆，其对于等直的圆杆，其q qmax按式：按式：(8-17)式中，式中，MTmax Nm，G Pa，Ip m4本讲稿第六十六页，共九十六页 容许扭转角容许扭转角q q，对于精密仪器的轴，对于精密仪器的轴，常常取，常常取 0.150.30/m。至于一般的轴则取至于一般的轴则取 2/m。书例书例8-4校核强度和刚度校核强度和刚度书例书例8-5选择截面尺寸选择截面尺寸 书例书例8-6 建立强度条件建立强度条件本讲稿第六十七页，共九十六页 阶梯形圆柱直径分别为阶梯形圆柱直径分别为d1=4 cm,d2=7 cm,轴上装有轴上装有3个皮带轮如图所示。已知由轮个皮带轮如图所示。已知由轮3输入的功率输入的功率为为T3=30 kW轮轮1输出的功率为输出的功率为 T1=13 kW,轴作匀速转轴作匀速转动动,转速转速n=200转转/分分,材料的剪切许用应力材料的剪切许用应力t t=60 MPa,G=80 GPa,许用扭转角许用扭转角q q=2/m。试校核轴的强试校核轴的强度和刚度。度和刚度。0.5 m0.3 m1 mACDB123d1d2第八章第八章 扭扭 转转例题例题 8-7本讲稿第六十八页，共九十六页解解:计算扭矩：计算扭矩：0.5 m0.3 m1 mACDB123d1d2强度校核：强度校核：例题例题 8-7本讲稿第六十九页，共九十六页故强度满足。故强度满足。刚度校核：刚度校核：AC段：段：0.5 m0.3 m1 mACDB123d1d2例题例题 8-7本讲稿第七十页，共九十六页0.5 m0.3 m1 mACDB123d1d2故刚度满足。故刚度满足。DB段：段：例题例题 8-7本讲稿第七十一页，共九十六页实心轴和空心轴通过牙嵌式离合器连接在一起。已知轴实心轴和空心轴通过牙嵌式离合器连接在一起。已知轴的转速的转速n=100 转转/分，传输功率分，传输功率N=7.5 kW,材料的容许切应材料的容许切应力力t t=40MPa试选择实心轴直径试选择实心轴直径d1和内外径比值为和内外径比值为0.5的的空心轴的外径空心轴的外径D。例题例题 8-8本讲稿第七十二页，共九十六页解解:扭矩计算：扭矩计算：计算实心轴直径计算实心轴直径,由强度条件由强度条件例题例题 8-8本讲稿第七十三页，共九十六页计算空心轴直径计算空心轴直径,由强度条件由强度条件:例题例题 8-8本讲稿第七十四页，共九十六页 如同拉伸和压缩时一样，杆件在受扭时杆内也积蓄有应如同拉伸和压缩时一样，杆件在受扭时杆内也积蓄有应变能。杆在弹性范围内工作，变能。杆在弹性范围内工作，f f 与与Me成线性关系。成线性关系。8-4 等直圆杆在扭转时的应变能等直圆杆在扭转时的应变能MeMe本讲稿第七十五页，共九十六页MeMe又又 则则或或本讲稿第七十六页，共九十六页对于杆的各横截面上扭矩不相等的情况，取微段分析入对于杆的各横截面上扭矩不相等的情况，取微段分析入手。手。例如：例如：从而知：左段杆内的应变能：从而知：左段杆内的应变能：本讲稿第七十七页，共九十六页整个杆内积蓄的应变能为：整个杆内积蓄的应变能为：右段杆内：右段杆内：本讲稿第七十八页，共九十六页思考题思考题 8-9(1)求图示同一杆件在三种受力情况下的应变能。此求图示同一杆件在三种受力情况下的应变能。此杆在线弹性范围内工作，且变形微小。杆在线弹性范围内工作，且变形微小。l=1 md=80 mmMe1=4 kNm(a)0.6 m0.4 mMe2=10 kNm(b)0.6 m0.4 mMe2=10 kNmMe1=4 kNm(c)本讲稿第七十九页，共九十六页(2)杆在第三种受力情况下的应力和变形是否分别等于杆在第三种受力情况下的应力和变形是否分别等于前两种情况下的叠加？应变能呢？前两种情况下的叠加？应变能呢？l=1 md=80 mmMe1=4 kNm(a)0.6 m0.4 mMe2=10 kNm(b)0.6 m0.4 mMe2=10 kNmMe1=4 kNm(c)本讲稿第八十页，共九十六页思考题思考题8-9答案：答案：(1)本讲稿第八十一页，共九十六页(2)本讲稿第八十二页，共九十六页思考题思考题8-10求下列各图杆的应变能。求下列各图杆的应变能。Fp=F/ll(a)(b)ABABAAlT(c)dABlt(d)dAB本讲稿第八十三页，共九十六页思考题思考题8-10答案：答案：Fl(a)ABAp=F/llABAxdxFN(x)px(b)(b)取微段分析取微段分析(a)本讲稿第八十四页，共九十六页思考题思考题8-10答案：答案：lT(c)dABltdABdxtxT(x)(d)(c)其中其中(d)取微段分析取微段分析本讲稿第八十五页，共九十六页ltdABdxtxT(x)(d)思考题思考题8-10答案：答案：本讲稿第八十六页，共九十六页8-5 矩形截面的扭转矩形截面的扭转1.几个概念几个概念 非圆截面杆受扭时非圆截面杆受扭时,横截面会发生扭曲。因此其变横截面会发生扭曲。因此其变形、应力不能用由平面假设所得的圆杆扭转时的应力变形、应力不能用由平面假设所得的圆杆扭转时的应力变形的计算公式。形的计算公式。(1)约束扭转约束扭转 非圆截面杆受扭时非圆截面杆受扭时,既然横截面要发生翘曲既然横截面要发生翘曲,因此，因此，如果翘曲受到牵制如果翘曲受到牵制,例如杆件是变截面的，或者外力例如杆件是变截面的，或者外力偶不是加在杆的两端，或者杆的端面受到外部约束而偶不是加在杆的两端，或者杆的端面受到外部约束而不能自由翘曲，那么杆的横截面上除了有切应力，还不能自由翘曲，那么杆的横截面上除了有切应力，还有正应力。这种扭转称为约束扭转。有正应力。这种扭转称为约束扭转。本讲稿第八十七页，共九十六页(2)自由扭转自由扭转横截面翘曲不受牵制的扭转称为自由扭转。横截面翘曲不受牵制的扭转称为自由扭转。要使非圆截面杆受扭时横截面上只有切应力而无要使非圆截面杆受扭时横截面上只有切应力而无正应力，那么杆件必须是等截面的，而且只在两端受正应力，那么杆件必须是等截面的，而且只在两端受外力偶作用，同时端面还能自由翘曲。外力偶作用，同时端面还能自由翘曲。本节主要介绍矩形截面杆自由扭转的情况。本节主要介绍矩形截面杆自由扭转的情况。本讲稿第八十八页，共九十六页2.矩形截面杆的扭转矩形截面杆的扭转 主要对矩形截面杆进行强度和刚度计算。主要对矩形截面杆进行强度和刚度计算。根据弹性力学的分析结果，矩形截面杆受扭时横截面根据弹性力学的分析结果，矩形截面杆受扭时横截面上最大的剪应力在长边的中点，其计式为上最大的剪应力在长边的中点，其计式为单位长度杆的扭转角：单位长度杆的扭转角：其中：其中：Wt 抗扭截面模量抗扭截面模量It 相当极惯性矩相当极惯性矩本讲稿第八十九页，共九十六页GIt 杆的抗扭刚度杆的抗扭刚度It 和和 Wt 除了在量纲上与圆截面的除了在量纲上与圆截面的Ip 和和 Wp 相同外，在几何相同外，在几何意义上则是不同的。意义上则是不同的。其中其中a a和和b b由表由表8-1差得，此系数随差得，此系数随m=h/b的比值而变。的比值而变。其中其中h为长边尺寸，为长边尺寸，b为短边尺寸。为短边尺寸。矩形截面：矩形截面：则强度条件则强度条件刚度条件刚度条件本讲稿第九十页，共九十六页由弹性力学分析结果表明：由弹性力学分析结果表明：横截面上的最大切应力横截面上的最大切应力t tmax发生在长边中点。而在短发生在长边中点。而在短边中点处的切应力则为该边上各点处切应力中的最大值边中点处的切应力则为该边上各点处切应力中的最大值可以按下式计算。可以按下式计算。如右图，矩形截面周边上如右图，矩形截面周边上各点处的切应力方向必与各点处的切应力方向必与周边相切。这是因为杆表周边相切。这是因为杆表面上没有切应力，故由切面上没有切应力，故由切应力互等定理可知：应力互等定理可知：本讲稿第九十一页，共九十六页 在横截面上周边上各点处不可在横截面上周边上各点处不可能有垂直于周边的切应力分量。能有垂直于周边的切应力分量。矩形截面上矩形截面上,顶点处的切顶点处的切应力必等于零。应力必等于零。本讲稿第九十二页，共九十六页弹性力学的分析结果还表明弹性力学的分析结果还表明:狭长矩形截面的狭长矩形截面的It 和和 Wt 有有切应力在沿长边各点处的方向均与长切应力在沿长边各点处的方向均与长边相切边相切,其数值除在靠近顶点处以外均其数值除在靠近顶点处以外均相等，如图所示：相等，如图所示：h本讲稿第九十三页，共九十六页 一矩形截面等直钢杆，其横截面尺寸为一矩形截面等直钢杆，其横截面尺寸为h=100 mm,b=50 mm,长度长度l=2 m，在杆的两端作用一对在杆的两端作用一对矩为矩为T的扭转力偶。已知的扭转力偶。已知T=4000 Nm，钢的允许切应力钢的允许切应力 t t=100MPa，G=8104 MPa,q q=1o/m,试校核杆的强试校核杆的强度和刚度。度和刚度。解：解：例题例题 8-9本讲稿第九十四页，共九十六页以上结果表明，此杆满足强度和刚度条件的要求。以上结果表明，此杆满足强度和刚度条件的要求。例题例题 8-9本讲稿第九十五页，共九十六页本讲稿第九十六页，共九十六页