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第第7章频域章频域本讲稿第一页，共六十三页内容绘制Nyquist图绘制Bode图绘制Nichols图分析频率特性性能，如稳定性、稳定裕度计算频域性能指标应用频域法设计校正装置本讲稿第二页，共六十三页7.1 控制系统的频率特性设s=j,系统的频域响应可由下式直接求出：本讲稿第三页，共六十三页建模已知传递函数模型num=0.5;den=1 2 1 0.5;w=0.01:0.01:1000;Gwnum=polyval(num,i*w);Gwden=polyval(den,i*w);Gw=Gwnum./Gwden;如果是状态空间模型则可以Gw=C*inv(i*w*eye(n)-A)*B+D;计算系统的频率特性的方法本讲稿第四页，共六十三页计算系统的频率特性的方法real(g)计算实频响应计算实频响应;imag(g)计算虚频响应计算虚频响应a1=real(Gw);b1=imag(Gw);plot(a1,b1)abs(g)计算幅频响应计算幅频响应;angle(g)计算相频响应计算相频响应h1=abs(Gw)f1=angle(Gw);subplot(2,1,1),semilogx(w,20*log(h1)subplot(2,1,2),plot(w,f1)注意频率注意频率w=0.01:0.01:1000;w=logspace(-2,-1,1000);本讲稿第五页，共六十三页7.2 绘制Nyquist图nyquist()re,im,w=nyquist(num,den,w)re=实部向量实部向量im=虚部向量虚部向量G(s)=num/den用户选择的频率用户选择的频率（可选）（可选）本讲稿第六页，共六十三页nyquist(sys)nyquist(sys,wmin,wmax)nyquist(sys,w)nyquist(sys1,sys2,.,w)nyquist(sys1,r,sys2,y-,sys3,gx).re,im=nyquist(sys,w)re,im,w=nyquist(sys)其他调用格式有本讲稿第七页，共六十三页若想使得闭环系统稳定，则开环系统G(s)H(s)的nyquist图逆时针地绕(-1,j0)点的圈数必须等于G(s)H(s)位于s右半平面开环极点数。nyquist分析闭环系统的稳定性：本讲稿第八页，共六十三页Ex1:num=0.5;den=1 2 1 0.5;roots(den)ans=-1.5652 -0.2174+0.5217i -0.2174-0.5217ire,im=nyquist(num,den);plot(re,im),gridaxis(-1,1,-1.5,0.2)%设置坐标轴的显示尺度可见,R=P=0,系统稳定(-1,j0)点本讲稿第九页，共六十三页 num=0 50;d1=1 5;d2=1-2;den=conv(d1,d2);nyquist(num,den)R=P=1,系统稳定Ex2:Ex2:系统开环传递函数为系统开环传递函数为:绘制系统的绘制系统的NyquistNyquist图图,并判断系并判断系统的稳定性统的稳定性.本讲稿第十页，共六十三页7.3 绘制Bode图mag,phase,w=bode(num,den,w)mag=幅值向量幅值向量phase=相角向量相角向量G(s)=num/den用户选择的频率用户选择的频率（可选）（可选）nbode(num,den)nbode(num,den,w)nmag,phase=bode(num,den)注意要得到幅频需用分贝表示dB MAGDB=20*log10(mag)本讲稿第十一页，共六十三页其他调用格式有bode(sys)bode(sys,wmin,wmax)bode(sys,w)bode(sys1,sys2,.,w)bode(sys1,r,sys2,y-,sys3,gx).mag,phase=bode(sys,w)mag,phase,w=bode(sys)本讲稿第十二页，共六十三页logspace():指定频率点ww=logspace(a,b,n)w=用对数尺度表示的用对数尺度表示的频率点数据向量频率点数据向量介于介于10a与与10b之间的之间的n点点本讲稿第十三页，共六十三页Ex 2：num=0.5 5;d1=0.5 1 0;d2=1/2500 0.012 1;den=conv(d1,d2);w=logspace(-1,3,200);%指定频率范围mag,phase,w=bode(num,den,w)semilogx(w,20*log10(mag),gridxlabel(Frequencyrad/sec),ylabel(20log(mag)dB)本讲稿第十四页，共六十三页实际幅频特性与近似幅频特性比较本讲稿第十五页，共六十三页相频特性semilogx(w,phase),gridxlabel(frequencyrad/sec);ylabel(phase);本讲稿第十六页，共六十三页完整Bode图bode(num,den),grid本讲稿第十七页，共六十三页7.4 求增益裕度和相角裕度margin()Gm,Pm,Wcg,Wcp=margin(num,den)Gm=增益裕度（增益裕度（dB）Pm=相角裕度（相角裕度（deg）G(s)=num/denGm,Pm,Wcg,Wcp=margin(sys)Gm_dB=20*log10(Gm)Gm,Pm,Wcg,Wcp=margin(mag,phase,w)margin(num,den)直接在Bode图上标明margin(sys)Wcg=相角相角-180对应频率对应频率Wcp=增益增益0dB对应频率对应频率本讲稿第十八页，共六十三页 bode(num,den)bode(num,den)margin(num,den)margin(num,den)本讲稿第十九页，共六十三页Gm=26.9405Pm=48.5831Wcg=47.5445Wcp=2.939bode(num,den)Gm,Pm,Wcg,Wcp=margin(num,den)title(Gm=,num2str(Gm),Pm=,num2str(Pm)本讲稿第二十页，共六十三页7.5 绘制Nichols图mag,phase,w=nichols(num,den,w)mag=幅值向量幅值向量phase=相角向量相角向量G(s)=num/den用户选择的频率用户选择的频率（可选）（可选）nnichols(num,den)nnichols(num,den,w)nmag,phase=nichols(num,den)单位负反馈系统的幅相频率特性本讲稿第二十一页，共六十三页其他调用格式有nichols(sys)nichols(sys,wmin,wmax)nichols(sys,w)nichols(sys1,sys2,.,w)nichols(sys1,r,sys2,y-,sys3,gx).mag,phase=nichols(sys,w)mag,phase,w=nichols(sys)本讲稿第二十二页，共六十三页Nichols图框架下的等M()和等()线ngrid在已有的nichols图中绘制等M()和等()线。ngrid(new)产生nichols图框架下的等M()和等()线，以便绘制nichols图，命令自动保持图形，相当于hold on。本讲稿第二十三页，共六十三页num=0.0001 0.0218 1.0436 9.3599;den=0.0006 0.0268 0.6365 6.2711;sys=tf(num,den);ngrid(new);nichols(sys)本讲稿第二十四页，共六十三页7.6 BODE串联校正设计工具1.超前校正设计 校正原理：超前校正的两个转折频率应分设在未校正系统的剪切频率的两侧。相频特性具有正相移，幅频特性具有正斜率。校正后，低频段不变，剪切频率比原系统大，说明快速性提高。本讲稿第二十五页，共六十三页设计方法1.ess K 画出校正前原系统的 Bode 2.计算出稳定裕度及剪切频率PMk c3.由m=PMd-PMk+5,求校正器的 值.4.将校正装置最大超前相位角处的频率作为校正后系统的剪切频率,则有:20lg(abs(G0 Gc)=0得到:因此,未校正系统的幅值等于10lg时的频率,即为校正后系统的剪切频率m,5.利用插值求得m.根据m计算校正器的T，以及零极点的转折频率.6.画出校正后的系统Bode图,校验系统性能指标7.使系统构成闭环,验证闭环系统的响应本讲稿第二十六页，共六十三页已知单位负反馈系统被控对象的传函,设计校正器使之满足:斜坡信号作用下,稳态误差小于0.001;相角裕度在4348 之间本讲稿第二十七页，共六十三页figure(2);sysc=feedback(sys,1);step(sysc)Gm0=1.0100Pm0=0.0584wcg0=100.0000wcp0=99.4863k0=1000;n1=1;d1=conv(conv(1 0,0.1 1),0.001 1);figure(1);sys=tf(k0*n1,d1);bode(sys)Gm0,Pm0,wcg0,wcp0=margin(k0*n1,d1)hold on本讲稿第二十八页，共六十三页期望的稳定裕度d=45gamad=45;phai=gamad-Pm0+5;pha=phai*pi/180;alpha=(1+sin(pha)/(1-sin(pha);mag,phase,w=bode(sys);adb=20*log10(mag);am=-10*log10(alpha);wgc=spline(adb,w,am);%插值T=1/(wgc*sqrt(alpha);alphat=alpha*T;Gc=tf(alphat 1,T 1)Transfer function:0.01669 s+1-0.002218 s+1本讲稿第二十九页，共六十三页根据校正后系统的结构与参数根据校正后系统的结构与参数,校验校验sopen=sys*Gc;figure(1);bode(sopen)margin(sopen)sclose=feedback(sopen,1);figure(2);step(sclose)本讲稿第三十页，共六十三页hold onbode(Gc,sys,sopen)margin(sopen)legend(Gc,sys,sopen,-1)%比较三张图本讲稿第三十一页，共六十三页2.滞后校正设计 校正原理：滞后校正的两个转折频率应比未校正系统的剪切频率小很多。相频特性具有负相移，幅频特性具有负斜率。校正后，低频段不变，剪切频率比原系统小，说明快速性变差，意味着牺牲系统的快速性换取稳定性。本讲稿第三十二页，共六十三页设计方法1.由性能指标对稳态误差系数的要求计算K,再画出校正前原系统的 Bode,求相位裕量幅值裕量.2.如果性能不满足要求,由(gc)=-180 +PMd+5,利用插值确定确定校正后的系统的剪切频率 gc3.使校正后的系统幅值在新剪切频率处下降到0db,即20lgabs(G0 Gc)=0得到:=abs(G0).4.为使滞后校正装置对系统的相位滞后影响较小,一般取滞后校正装置的第一个交接频率5.画出校正后的系统Bode图,校验系统性能指标6.使系统构成闭环,验证闭环系统的响应本讲稿第三十三页，共六十三页已知单位负反馈系统被控对象的传函,设计校正器使之满足:1.斜坡信号作用下,Kv30s-1;2.相角裕度45;3.(剪切频率c 2.3s-1)解：由1.知:k0 30本讲稿第三十四页，共六十三页k0=30;n1=1;d1=conv(conv(1 0,0.1 1),0.2 1);figure(1);sys=tf(k0*n1,d1);mag,phase,w=bode(sys)figure(1);margin(k0*n1,d1)hold onfigure(2);sysc=feedback(sys,1);step(sysc)本讲稿第三十五页，共六十三页本讲稿第三十六页，共六十三页gama=45pha=gama+5-180;wgc=spline(phase,w,pha)gama=45wgc=2.4588na=polyval(k0*n1,j*wgc);da=polyval(d1,j*wgc);g=na/dag1=abs(g);beta=g1T=10/wgc;betat=beta*T;Gc=tf(T 1,betat 1)Transfer function:4.067 s+1-43.24 s+1本讲稿第三十七页，共六十三页sopen=sys*Gc;figure(1);bode(sopen)margin(sopen)sclose=feedback(sopen,1);figure(2);step(sclose)本讲稿第三十八页，共六十三页hold onbode(Gc,sys,sopen)margin(sopen)legend(Gc,sys,sopen,-1)%比较三张图本讲稿第三十九页，共六十三页3.滞后-超前校正设计 校正原理：实现滞后校正与超前校正的综合。滞后校正把剪切频率左移。从而减小了系统在剪切频率处的相位滞后，超前校正的作用是新剪切频率提供一个相位超前量，用以增大一个相位超前量，用以增大系统相位稳定裕度，使其满足动态性能要求本讲稿第四十页，共六十三页设计方法1.ess K 画出校正前原系统的 Bode，获取系统的剪切频率 g12.确定滞后校正的参数，取=810，1/T1=0.1 g13.确定校正后的系统的剪切频率g2，使这一点超前校正器能满足，并在该点综合后幅频衰减为0db.即:20lg(abs(Gc1*Gc2)=0,求得超前参数.n根据g2计算校正器的零极点的转折频率.5.画出校正后的系统Bode图,校验系统性能指标6.使系统构成闭环,验证闭环系统的响应本讲稿第四十一页，共六十三页已知单位负反馈系统被控对象的传函,设计校正器使之满足:斜坡信号作用下,Kv=10s-1;相角裕度45;剪切频率c 1.5s-1时域性能指标:%25%,Tp 2s,Ts 6s本讲稿第四十二页，共六十三页k0=20;n1=1;d1=conv(conv(1 0,1 1),1 2);figure(1);sys=tf(k0*n1,d1);mag,phase,w=bode(sys);figure(1);margin(k0*n1,d1)hold onfigure(2);sysc=feedback(sys,1);step(sysc)本讲稿第四十三页，共六十三页本讲稿第四十四页，共六十三页wg1=1.5;beta=9.5;T1=1/(0.1*wg1);betat=beta*T1;Gc1=tf(T1 1,betat 1)求滞后校正器，取 g1=1.5s-1,=9.5,1/T1=0.1 g1Transfer function:6.667 s+1-63.33 s+1串联滞后校正器的系统传函sys1=sys*Gc1wg2=1.5;num=sys1.num1;den=sys1.den1;Transfer function:133.3 s+20-63.33 s4+191 s3+129.7 s2+2 s本讲稿第四十五页，共六十三页求超前校正器，已知 g2na=polyval(num,j*wg2);da=polyval(den,j*wg2);g=na/da;g1=abs(g);h=20*log10(g1);alpha=10(-h/10);T2=1/(wg2*(alpha)(1/2);alphat=alpha*T2;Gc2=tf(alphat 1,T2 1)Transfer function:2.13 s+1-0.2086 s+1本讲稿第四十六页，共六十三页sopen=sys*Gc1*Gc2;figure(1);bode(sopen)margin(sopen)sclose=feedback(sopen,1);figure(2);step(sclose)本讲稿第四十七页，共六十三页Gc=Gc1*Gc2;hold onbode(Gc,sys,sopen)margin(sopen)legend(Gc,sys,sopen,-1)%比较三张图本讲稿第四十八页，共六十三页本讲稿第四十九页，共六十三页频域作业编写串联校正的函数。输入参数：开环传函，校正器的种类，输出参数：校正器传函本讲稿第五十页，共六十三页频域作业已知单位负反馈系统被控对象的传函,设计校正器使之满足:斜坡信号作用下,Kv=10s-1;相角裕度45;剪切频率c 1.5s-1时域性能指标:%25%,Tp 2s,Ts 6s本讲稿第五十一页，共六十三页附:系统串联校正的程序设计Leadcmpst.m:超前校正超前校正function modelcompensator,Wcnew,Wcold,alpha=leadcmpst(sysopen,Pmd)%To get a model of a lead compensator%sysopen-a open system%Pmd-desired phase margin%modelcompensator-Model of the new system%Wcnew-Crossover frequency of the new system%Wcold-Crossover frequency of the open system%alpha-coefficient of the compensator本讲稿第五十二页，共六十三页Gmo,Pmo,Wcgo,Wcpo=margin(sysopen);phacmp=Pmd-Pmo+5;phc=phacmp*pi/180;alpha=(1-sin(phc)/(1+sin(phc);Gaincmp=10*log10(alpha);mag,phase,W=bode(sysopen);l,n,c=size(mag);mag1=zeros(c,1);for i=1:c mag1(i)=20*log10(mag(1,1,i);endWcold=interp1(mag1,W,0,spline);%插值Wcnew=interp1(mag1,W,Gaincmp,spline);%插值Zc=Wcnew*sqrt(alpha);Pc=Zc/alpha;modelcompensator=zpk(-Zc,-Pc,1/alpha);本讲稿第五十三页，共六十三页Pmd=50;%degreeKv=20;disp(Model of the original system:);sys=zpk(,0-2,4)disp(open loop system model which meets steady target:)sysopen,kc=modtraget(sys,Kv);sysopendisp(Model of the compensator:);Cmp,Wcnew,Wcold,alpha=leadcmpst(sysopen,Pmd);Cmpdisp(Model of new open-loop system:);sysnew=Cmp*sysopenAmp407.m本讲稿第五十四页，共六十三页disp(Margin of the open loop system:);Gmold,Pmold,Wcgold,Wcpold=margin(sysopen);GmoldPmoldWcgoldWcpolddisp(Margin of the new system:);Gmnew,Pmnew,Wcgnew,Wcpnew=margin(sysnew);GmnewPmnewWcgnewWcpnew本讲稿第五十五页，共六十三页subplot(1,2,1);bode(sysnew,r,sysopen,b),grid;subplot(1,2,2);sysclose1=feedback(sysnew,1);sysclose2=feedback(sysopen,1);step(sysclose1,r-,sysclose2,b:)本讲稿第五十六页，共六十三页modtraget.m 子程序，求满足稳态性能要求的开环传函 function sysopen,kc=modtraget(sysold,kd)%This function is to get a system model which meets%steady traget kd%systemold-the original system%kd-the gived steady performence traget%sysopen-a system model which meets steady traget kd%kc-compensative gain本讲稿第五十七页，共六十三页sys=zpk(sysold);z,p,k=zpkdata(sys,v);ind=find(p=0);p1=zeros(1,length(ind)for i=1:length(ind)p1(i)=p(ind(i);endsys1=zpk(z,p1,k);num,den=tfdata(sys1,v);k1=polyval(num,0)/polyval(den,0);kc=kd/k1;sysopen=kc*sys;本讲稿第五十八页，共六十三页Lagcmpst.m:滞后校正滞后校正lagcmpst.mfunction modelcompensator,Wcnew,Wcold,alpha=lagcmpst(sysopen,Pmd)%To get a model of a lag compensator%sysopen-a open system%Pmd-desired phase margin%modelcompensator-Model of the new system%Wcnew-Crossover frequency of the new system%Wcold-Crossover frequency of the open system%alpha-coefficient of the compensator本讲稿第五十九页，共六十三页mag,phase,W=bode(sysopen);l,n,c=size(mag);mag1=zeros(c,1);for i=1:c mag1(i)=20*log10(mag(1,1,i);endWcold=interp1(mag1,W,0,spline);l,n,c=size(phase);pha1=zeros(c,1);for i=1:c pha1(i)=phase(1,1,i);endphawc=-180+Pmd+15;Wcnew=interp1(pha1,W,phawc,spline);Magwcn=interp1(W,mag1,Wcnew,spline);beta=10(Magwcn/20);Zc=Wcnew/5;Pc=Zc/beta;modelcompensator=zpk(-Zc,-Pc,1/beta);本讲稿第六十页，共六十三页Pmd=40;%degreeKv=5;disp(Model of the original system:);sys=zpk(,0-1-2,2)disp(open loop system model which meets steady traget:)sysopen,kc=modtraget(sys,Kv);sysopendisp(Model of the compensator:);Cmp,Wcnew,Wcold,alpha=lagcmpst(sysopen,Pmd);Cmpdisp(Model of new open-loop system:);sysnew=Cmp*sysopen本讲稿第六十一页，共六十三页disp(Margin of the open loop system:);Gmold,Pmold,Wcgold,Wcpold=margin(sysopen);GmoldPmoldWcgoldWcpolddisp(Margin of the new system:);Gmnew,Pmnew,Wcgnew,Wcpnew=margin(sysnew);GmnewPmnewWcgnewWcpnew本讲稿第六十二页，共六十三页subplot(1,2,1);bode(sysnew,r,sysopen,b),grid;subplot(1,2,2);sysclose1=feedback(sysnew,1);sysclose2=feedback(sysopen,1);step(sysclose1,r-,sysclose2,b:)本讲稿第六十三页，共六十三页