曲线拟合的最小二乘法幻灯片.ppt

曲线拟合的最小二乘法第1页，共47页，编辑于2022年，星期六 况且，有时根据前人的经验或数据的特点可以分况且，有时根据前人的经验或数据的特点可以分析出经验公式的大致形式，只是其中有些参数需要依析出经验公式的大致形式，只是其中有些参数需要依据确定据确定，不便使用插值逼近。，不便使用插值逼近。这就需要新的逼近方法。这就需要新的逼近方法。引例、某种合成纤维的强度与其拉伸倍数有直接关系，引例、某种合成纤维的强度与其拉伸倍数有直接关系，下表是实际测定的下表是实际测定的24个纤维样品的强度与相应拉个纤维样品的强度与相应拉伸倍数的记录。伸倍数的记录。第2页，共47页，编辑于2022年，星期六数据表格数据表格第3页，共47页，编辑于2022年，星期六将数据描绘到坐标纸上将数据描绘到坐标纸上第4页，共47页，编辑于2022年，星期六这种逼近方法要求：这种逼近方法要求：1)不要求逼近函数严格过已知的数据点；不要求逼近函数严格过已知的数据点；2)但要求逼近函数在某种意义下尽可能靠近已知但要求逼近函数在某种意义下尽可能靠近已知的数据点；的数据点；第5页，共47页，编辑于2022年，星期六f(x)为定义在区间为定义在区间a,b上的函数，已知上的函数，已知f(x)的一组对应的一组对应数据数据(xi，f(xi)，(i=1,2,m),span 0，1，n为某一函数类为某一函数类，这一问题称为这一问题称为最小二乘问题。其中最小二乘问题。其中 (x)称为权函数。称为权函数。曲线拟合的最小二乘法曲线拟合的最小二乘法定义定义在在 中求一个函数中求一个函数s(x)=a0 0+a1 1+an n使得使得第6页，共47页，编辑于2022年，星期六即要求：即要求：最小。最小。当取当取权函数权函数 (x)1时有时有第7页，共47页，编辑于2022年，星期六由于它关于系数由于它关于系数a0，a1，an最小，因此有：最小，因此有：记记称为函数称为函数 k和和 j的的内积内积。第8页，共47页，编辑于2022年，星期六则有则有于是有方程组：于是有方程组：法方程法方程由由的线性无关性，知道该方程的线性无关性，知道该方程存在唯一解存在唯一解第9页，共47页，编辑于2022年，星期六多项式拟合多项式拟合当取当取 01，1x，n xn时时,s(x)=a0+a1x+an xn为一个多项式。为一个多项式。此时此时法方程为法方程为 第10页，共47页，编辑于2022年，星期六1.线性拟合线性拟合已知已知f(x)的一组对应数据的一组对应数据(xi，f(xi)，(i=1,2,m),取取 span1，x，求函数求函数:y=a+bx拟合曲线拟合曲线f(x)。法方程为法方程为 第11页，共47页，编辑于2022年，星期六例例：炼炼钢钢是是个个氧氧化化脱脱碳碳的的过过程程，钢钢水水含含碳碳量量的的多多少少直直接接影影响响冶冶炼炼时时间间的的长长短短，下下表表给给出出某某厂厂平平炉炉生生产产的的记记录录。xi表表示示熔熔毕毕碳碳的含量，的含量，yi表示冶炼时间表示冶炼时间 ，已知已知y=a+bx。i12345xi165123150123141yi187126170125148试试根根据据数数据据确确定定参参数数a和和b，并并估估计计熔熔毕毕碳碳的的含含量量为为130时时的的冶冶炼时间。炼时间。第12页，共47页，编辑于2022年，星期六i12345 xi165123150123141702yi187126170125148758xi2272251512922500151291988199864xi yi3085515498255001537520868108096法方程：法方程：5a+702b=758，702a+99864b=108096解之得：解之得：a=-28.61878453038674,b=1.283609576427256y-28.61878453038674+1.283609576427256x解：准备数据：解：准备数据：第13页，共47页，编辑于2022年，星期六f(130)138.25.第14页，共47页，编辑于2022年，星期六2.抛物拟合抛物拟合已知已知f(x)的一组对应数据的一组对应数据(xi，f(xi)，(i=1,2,m),取取 span1，x，x2，求函数求函数:y=a+bx+cx2拟合曲线拟合曲线f(x)。法方程为法方程为 第15页，共47页，编辑于2022年，星期六 拟拟合合函函数数类类型型常常常常是是根根据据经经验验或或理理论论推推导导的的结结果果来来选选择择的的。当当无无法法分分析析拟拟合合函函数数的的类类型型时时，可可根根据据已已知知数数据据的的散散点点图图的的分分布布情况和特点选择适当的拟合曲线类型。情况和特点选择适当的拟合曲线类型。下下面面给给出出几几种种常常用用曲曲线线的的图图形形，并并可可通通过过适适当当变变换换将将其其化化为为较简单的拟合：较简单的拟合：几种常见曲线拟合的线性化几种常见曲线拟合的线性化第16页，共47页，编辑于2022年，星期六1.双曲双曲线线：(a0)第17页，共47页，编辑于2022年，星期六2.指数函数：指数函数：第18页，共47页，编辑于2022年，星期六3指数函数：指数函数：(a0)第19页，共47页，编辑于2022年，星期六4对对数函数：数函数：第20页，共47页，编辑于2022年，星期六5幂幂函数：函数：第21页，共47页，编辑于2022年，星期六6S曲线曲线第22页，共47页，编辑于2022年，星期六现有一组测量数据如下表：现有一组测量数据如下表：xi0.00.51.01.52.02.5yi=f(xi)2.01.00.90.60.40.3用曲线拟合的最小二乘法求形如用曲线拟合的最小二乘法求形如y=beax的经验公式，并用该公的经验公式，并用该公式估计式估计x1.4时的时的y=f(1.4)的近似值的近似值.例例第23页，共47页，编辑于2022年，星期六解：解：将将y=beax变形，变形，lny=lnb+ax 令令Y=lny,a0=lnb,则有线则有线性关系：性关系：Y=a0+ax，准备数据：，准备数据：于是法方程为：于是法方程为：解之得：解之得：a0=0.562303,a=-0.722282,于是于是b1.754709.经验公式为经验公式为y=1.754709e-0.722282 x，y=f(1.4)0.68335第24页，共47页，编辑于2022年，星期六散点图散点图第25页，共47页，编辑于2022年，星期六拟合曲线图拟合曲线图第26页，共47页，编辑于2022年，星期六拟合曲线图与散点图对照拟合曲线图与散点图对照第27页，共47页，编辑于2022年，星期六加入点加入点y=f(1.4)0.68335第28页，共47页，编辑于2022年，星期六电电容器充容器充电电后后电压电压达到达到100V，然后考，然后考试试放放电电，经经检测检测得到得到时间时间t与与电压电压u的一的一组组数据如下：数据如下：试试建立建立电压电压u与与时间时间t之之间间的函数关系，并的函数关系，并测测算算t=3.2时时的的电压电压u为为多少？多少？例例t012345678910u100755540302015101055第29页，共47页，编辑于2022年，星期六散点图散点图可作形如：u=Beat 的经验公式。第30页，共47页，编辑于2022年，星期六SumSumt0123456789105555u100755540302015101055U=lnuU=lnu4.6054.6054.3174.3174.0074.0073.6883.6883.4013.4012.9952.9952.702.702.3022.3022.3022.3021.60941.60941.6091.60933.5433.54t2t20 01 14 49 9161625253636494964648181100100385385t*Ut*U0 04.3174.3178.0148.01411.0611.0613.613.614.9714.9716.2416.2416.1116.1118.42018.42014.48414.48416.0916.09133.34133.34数据法方程组解之得 b=4.61303,a=-0.312645.于是B=100.789,得经验公式：u=100.789e-0.312645第31页，共47页，编辑于2022年，星期六第32页，共47页，编辑于2022年，星期六第33页，共47页，编辑于2022年，星期六对机床厂问题作二次拟合得对机床厂问题作二次拟合得拟合曲线为第34页，共47页，编辑于2022年，星期六作三次拟合得拟合曲线为第35页，共47页，编辑于2022年，星期六下表是2004年8月11日男子赛跑奥运会纪录x1002004008001500y9.84 19.32 43.49 102.58 212.07 试建立当今成年男子赛跑所需时间与距离之间的函数关系，并测算男子1000米赛跑奥运会纪录大概为多少？例题第36页，共47页，编辑于2022年，星期六第37页，共47页，编辑于2022年，星期六抛物抛物拟拟合：合：T(x)=-3.576+0.11532x+0.0000191035x2T(1000)=130.847注意：作二次拟合时数据较大，处理困难，可换算单位将距离除注意：作二次拟合时数据较大，处理困难，可换算单位将距离除以以100处理，只需回代时换算回去即可。处理，只需回代时换算回去即可。第38页，共47页，编辑于2022年，星期六第39页，共47页，编辑于2022年，星期六2.幂函数拟合：幂函数拟合：T(x)=0.0410863x1.14587T(1000)=112.541第40页，共47页，编辑于2022年，星期六第41页，共47页，编辑于2022年，星期六应用实例：应用实例：上海机床厂为客户加工一个压轴，要求压轴边缘曲线过下上海机床厂为客户加工一个压轴，要求压轴边缘曲线过下列各点，试设计压轴边缘曲线的方程列各点，试设计压轴边缘曲线的方程。x0125250375500612750870100011251250y0-0.01-0.02-0.028-0.036-0.043-0.049-0.054-0.057-0.059-0.06第42页，共47页，编辑于2022年，星期六散点图散点图第43页，共47页，编辑于2022年，星期六作10此插值函数为：第44页，共47页，编辑于2022年，星期六插值曲线为第45页，共47页，编辑于2022年，星期六作二次拟合得拟合曲线为第46页，共47页，编辑于2022年，星期六作三次拟合得拟合曲线为第47页，共47页，编辑于2022年，星期六