2010年高考数学一轮复习精品学案（人教版a版）---函数与方程doc--高中数学 .doc

http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网2010 年高考数学一轮复习精品学案（人教版年高考数学一轮复习精品学案（人教版 A 版）版）-函数与方程函数与方程一【课标要求】一【课标要求】1结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；2根据具体函数的图像，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。二【命题走向】二【命题走向】函数与方程的理论是高中新课标教材中新增的知识点，特别是“二分法”求方程的近似解也一定会是高考的考点。从近几年高考的形势来看，十分注重对三个“二次”（即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）的考察力度，同时也研究了它的许多重要的结论，并付诸应用。高考试题中有近一半的试题与这三个“二次”问题有关预计 2010 年高考对本讲的要求是：以二分法为重点、以二次函数为载体、以考察函数与方程的关系为目标来考察学生的能力（1）题型可为选择、填空和解答；（2）高考试题中可能出现复合了函数性质与函数零点的综合题，同时考察函数方程的思想。三【要点精讲】三【要点精讲】1方程的根与函数的零点（1）函数零点概 念：对 于 函 数)(Dxxfy，把 使0)(xf成 立 的 实 数x叫 做 函 数)(Dxxfy的零点。函数零点的意义：函数)(xfy 的零点就是方程0)(xf实数根，亦即函数)(xfy 的图象与x轴交点的横坐标。即：方程0)(xf有实数根函数)(xfy 的图象与x轴有交点函数)(xfy 有零点。二次函数)0(2acbxaxy的零点：），方程02cbxax有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点；），方程02cbxax有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点；），方程02cbxax无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点。零点存在性定理：如果函数)(xfy 在区间,ba上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)()(bfaf，那么函数)(xfy 在区间),(ba内有零点。既存在),(bac，使得http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网0)(cf，这个c也就是方程的根。2.二分法二分法及步骤：对于在区间a，b上连续不断，且满足)(af)(bf0的函数)(xfy，通过不断地把函数)(xf的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法给定精度，用二分法求函数)(xf的零点近似值的步骤如下：（1）确定区间a，b，验证)(af)(bf0，给定精度；（2）求区间a(，)b的中点1x；（3）计算)(1xf：若)(1xf=0，则1x就是函数的零点；若)(af)(1xf0，则令b=1x（此时零点),(10 xax）；若)(1xf)(bf0，f(x)在区间p，q上的最大值 M，最小值 m，令 x0=21(p+q)。若ab2p，则 f(p)=m，f(q)=M；http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网若 pab2x0，则 f(ab2)=m，f(q)=M；若 x0ab2q，则 f(p)=M，f(ab2)=m；若ab2q，则 f(p)=M，f(q)=m。（3）二次方程 f(x)=ax2+bx+c=0 的实根分布及条件。方程 f(x)=0 的两根中一根比 r 大，另一根比 r 小af(r)0；二次方程 f(x)=0 的两根都大于 r0)(,2,042rfarabacb二次方程 f(x)=0 在区间(p，q)内有两根;0)(,0)(,2,042pfaqfaqabpacb二次方程 f(x)=0 在区间(p，q)内只有一根f(p)f(q)0，或 f(p)=0(检验)或 f(q)=0(检验)检验另一根若在(p，q)内成立。四【典例解析】四【典例解析】题型 1：方程的根与函数零点例 1（1）方程 lgx+x=3 的解所在区间为（）A(0，1)B(1，2)C(2，3)D(3，+)（2）设 a 为常数，试讨论方程)lg()3lg()1lg(xaxx的实根的个数。解析：（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数y=lgx与y=-x+3 的图象(如图)。它们的交点横坐标0 x，显然在区间(1，3)内，由此可排除 A，D至于选 B 还是选 C，由于画图精确性的限制，单凭直观就比较困难了。实际上这是要比较0 x与 2 的大小。当 x=2 时，lgx=lg2，3-x=1。由于 lg21，因此0 x2，从而判定0 x(2，3)，故本题应选 C。（2）原方程等价于xaxxxaxx)3)(1(00301即31352xxxa x 0 3 2 1 3 2 1 o y x创 造的 有高 级的 图表 的试 验版 本-h t t p:/w w w.a http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网构造函数)31(352xxxy和ay，作出它们的图像，易知平行于 x 轴的直线与抛物线的交点情况可得：当31 a或413a时，原方程有一解；当4133 a时，原方程有两解；当1a或413a时，原方程无解点评：图象法求函数零点，考查学生的数形结合思想。本题是通过构造函数用数形结合法求方程 lgx+x=3 解所在的区间。数形结合，要在结合方面下功夫。不仅要通过图象直观估计，而且还要计算0 x的邻近两个函数值，通过比较其大小进行判断。例 2（2008 湖南理 17）已知函数xxxxfsin2sin2cos)(22.（I）求函数)(xf的最小正周期；（II）当)4,0(0 x且524)(0 xf时，求)6(0 xf的值解：由题设有()cossinf xxx2sin()4x（I）函数()f x的最小正周期是2.T（II）由524)(0 xf得04 22sin(),45x 即04sin(),45x 因为)4,0(0 x,所以0(,).44 2x从而220043cos()1 sin()1().4455xx于是)6(0 xf002sin()2sin()4646xx002sin()coscos()sin4646xx题型 2：零点存在性定理例 3设函数()ln()f xxxm，其中常数m为整数。（1）当m为何值时，()0f x；（2）定理：若函数定理：若函数()g x在在,a b上连续，且上连续，且()g a与与()g b异号，则至少存在一点异号，则至少存在一点http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网0(,)xa b，使得，使得0()0g x试用上述定理证明：当整数1m 时，方程()0f x 在2,mmem em内有两个实根。解析：（1）函数 f(x)=xln(x+m),x(m,+)连续，且mxxfmxxf1,0)(,11)(得令当 x(m,1m)时,f（x）f(1m)当 x(1m,+)时,f（x）0,f(x)为增函数,f(x)f(1m)根据函数极值判别方法，f(1m)=1m 为极小值，而且对 x(m,+)都有 f(x)f(1m)=1m故当整数 m1 时，f(x)1m0(2)证明：由（I）知，当整数 m1 时，f(1m)=1-m1 时，),1121(032)12(2213)11(3)(222归纳法证明上述不等式也可用数学mmmmmmmmemefmmm类似地，当整数 m1 时，函数 f(x)=x-ln(x+m),在,1 memm上为连续增函数且 f(1-m)与)(2mefm异号，由所给定理知，存在唯一的0)(,1 22xfmemxm使故当 m1 时，方程 f(x)=0 在,2mememm内有两个实根点评：本题以信息给予的形式考察零点的存在性定理。解决该题的解题技巧主要在区间的放缩和不等式的应用上。例 4若函数)(xfy 在区间a,b上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（）A若0)()(bfaf，不存在实数),(bac使得0)(cf；B若0)()(bfaf，存在且只存在一个实数),(bac使得0)(cf；C若0)()(bfaf，有可能存在实数),(bac使得0)(cf；D若0)()(bfaf，有可能不存在实数),(bac使得0)(cf；http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网解 析：由 零 点 存 在 性 定 理 可 知 选 项 D 不 正 确；对 于 选 项 B，可 通 过 反 例“)1)(1()(xxxxf在区间2,2上满足0)2()2(ff，但其存在三个解1,0,1”推翻；同时选项 A 可通过反例“)1)(1()(xxxf在区间2,2上满足0)2()2(ff，但其存在两个解1,1”；选项 D 正确，见实例“1)(2 xxf在区间2,2上满足0)2()2(ff，但其不存在实数解”点评：该问题详细介绍了零点存在性定理的理论基础。题型 3：二分法的概念例 5关于“二分法”求方程的近似解，说法正确的是（）A“二分法”求方程的近似解一定可将)(xfy 在a,b内的所有零点得到；B“二分法”求方程的近似解有可能得不到)(xfy 在a,b内的零点；C应用“二分法”求方程的近似解，)(xfy 在a,b内有可能无零点；D“二分法”求方程的近似解可能得到0)(xf在a,b内的精确解；解析：如果函数在某区间满足二分法题设，且在区间内存在两个及以上的实根，二分法只可能求出其中的一个，只要限定了近似解的范围就可以得到函数的近似解，二分法的实施满足零点存在性定理，在区间内一定存在零点，甚至有可能得到函数的精确零点。点评：该题深入解析了二分法的思想方法1.（2009 福建卷文）若函数 f x的零点与 422xg xx的零点之差的绝对值不超过0.25，则 f x可以是A.41f xxB.2(1)f xxC.1xf xeD.12f xIn x答案A解析 41f xx的零点为 x=41,2(1)f xx的零点为 x=1,1xf xe的零点为 x=0,12f xIn x的零点为 x=23.现在我们来估算 422xg xx的零点，因 为 g(0)=-1,g(21)=1,所 以 g(x)的 零 点 x(0,21),又 函 数 f x的 零 点 与 422xg xx的零点之差的绝对值不超过 0.25，只有 41f xx的零点适合，故选 A。http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网题型 4：应用“二分法”求函数的零点和方程的近似解例 7借助计算器，用二分法求出xx32)62ln(在区间（1，2）内的近似解（精确到 0.1）。解析：原方程即023)62ln(xx。令23)62ln()(xxxf，用计算器做出如下对应值表x21012f(x)2.58203.0530279181.07944.6974观察上表，可知零点在（1，2）内取区间中点1x=1.5，且00.1)5.1(f，从而，可知零点在（1，1.5）内；再取区间中点2x=1.25，且20.0)25.1(f，从而，可知零点在（1.25，1.5）内；同理取区间中点3x=1.375，且0)375.1(f，从而，可知零点在（1.25，1.375）内；由于区间（1.25，1.375）内任一值精确到 0.1 后都是 1.3。故结果是 1.3。点评：该题系统的讲解了二分法求方程近似解的过程，通过本题学会借助精度终止二分法的过程。例 8借助计算器或计算机用二分法求方程732 xx的近似解（精确到1.0）。分析：本例除借助计算器或计算机确定方程解所在的大致区间和解的个数外，你是否还可以想到有什么方法确定方程的根的个数？略解：图象在闭区间a，b上连续的单调函数)(xf，在a(，)b上至多有一个零点。点评：第一步确定零点所在的大致区间a(，)b，可利用函数性质，也可借助计算机或计算器，但尽量取端点为整数的区间，尽量缩短区间长度，通常可确定一个长度为 1 的区间；建议列表样式如下：零点所在区间中点函数值区间长度1，2)5.1(f011，1.5)25.1(f00.51.25，1.5)375.1(f00.25如此列表的优势：计算步数明确，区间长度小于精度时，即为计算的最后一步。题型 5：一元二次方程的根与一元二次函数的零点http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网例 9设二次函数，方程的两个根满足axx1021.当时，证明。证明：由题意可知)()(21xxxxaxxf，axxx1021,0)(21xxxxa,当时，xxf)(。又)1)()()(211211axaxxxxxxxxxaxxf,011,0221axaxaxxx且1)(xxf,综上可知，所给问题获证。点评：在已知方程两根的情况下，根据函数与方程根的关系，可以写出函数 xxf的表达式，从而得到函数)(xf的表达式例 10已知二次函数)0,(1)(2aRbabxaxxf，设方程xxf)(的两个实数根为1x和2x.（1）如果4221xx，设函数)(xf的对称轴为0 xx，求证：10 x；（2）如果21x，212 xx，求b的取值范围.http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网解析：设1)1()()(2xbaxxxfxg，则0)(xg的二根为1x和2x。（1）由0a及4221xx，可得0)4(0)2(gg，即034160124baba，即,043224,043233aabaab两式相加得12ab，所以，10 x；（2）由aabxx4)1()(2221,可得1)1(122ba。又0121axx，所以21,xx同号21x，212 xx等价于1)1(1220221baxx或1)1(1202212baxx,即1)1(120)0(0)2(2bagg或1)1(120)0(0)2(2bagg解之得41b或47b。点评：条件4221xx实际上给出了xxf)(的两个实数根所在的区间，因此可以考虑利用上述图像特征去等价转化题型 6：一元二次函数与一元二次不等式例 11设，若，,试证明：对于任意，有。http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网解析：cfcbafcbaf0,1,1,0),1()1(21),0211(21fcffbfffa,222102121xfxxfxxfxf.当01x时，.4545)21(1)1(2212210212122222222222xxxxxxxxxxxxxxfxxfxxfxf当10 x时，222102121xfxxfxxfxf222122xxxxx)1(22222xxxxx.4545)21(122xxx综上，问题获证。点评：本题中，所给条件并不足以确定参数ba,的值，但应该注意到：所要求的结论不是确定值，而是与条件相对应的“取值范围”，因此，我们可以用 1,1,0fff来表示cba,。http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网例 12已知二次函数，当时，有，求证：当时，有解析：由题意知：cbafcfcbaf)1(,)0(,)1(，)0(),1()1(21),0(2)1()1(21fcffbfffa，2221)0(2)1(2)1(xfxxfxxf。由时，有，可得,1)1(f,11 f 10 f。7)0(3)1(1303113)2(fffffff,7)0(3)1(3103131)2(fffffff。（1）若2,22ab，则 xf在2,2上单调，故当2,2x时，)2(,)2(max()(maxffxf此时问题获证.（2）若2,22ab，则当2,2x时，)2,)2(,)2(max()(maxabfffxf又 72411214)1()1(2022422ffabfbabcabcabf，此时问题获证。http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网综上可知：当时，有。点评：研究)(xf的性质，最好能够得出其解析式，从这个意义上说，应该尽量用已知条件来表达参数cba,.确定三个参数，只需三个独立条件，本题可以考虑)1(f，)1(f，)0(f，这样做的好处有两个：一是cba,的表达较为简洁，二是由于01和正好是所给条件的区间端点和中点，这样做能够较好地利用条件来达到控制二次函数范围的目的。要考虑 xf在区间7,7上函数值的取值范围，只需考虑其最大值，也即考虑 xf在区间端点和顶点处的函数值。题型 7：二次函数的图像与性质例 13（2009 福建省）已知某企业原有员工 2000 人,每人每年可为企业创利润 3.5 万元.为应对国际金融危机给企业带来的不利影响,该企业实施“优化重组,分流增效”的策略,分流出一部分员工待岗.为维护生产稳定,该企业决定待岗人数不超过原有员工的 5,并且每年给每位待岗员工发放生活补贴 O.5 万元.据评估,当待岗员工人数 x 不超过原有员工 1时,留岗员工每人每年可为企业多创利润(1-x10081)万元；当待岗员工人数 x 超过原有员工 1时,留岗员工每人每年可为企业多创利润 O.9595 万元.为使企业年利润最大,应安排多少员工待岗?解设重组后,该企业年利润为 y 万元.20001%=20,当 0 x20 且 xN 时,y=(2000-x)(3.5+1-x10081)-0.5x=-5(x+x324)+9000.81.x20005%x100,当 20 x100 且 xN 时,y=(2000-x)(3.5+0.9595)-0.5x=-4.9595x+8919.N).10020(,89199595.4N),200(,81.9000)324(5xxxxxxxy且且当 0 x20 时,有y=-5(x+x324)+9000.81-52324+9000.81=8820.81,当且仅当 x=x324,即 x=18 时取等号,此时 y 取得最大值.当 20 x100 时,函数 y=-4.9595x+8919 为减函数,所以 y-4.959520+8919=8819.81.综上所述 x=18 时,y 有最大值 8820.81 万元.http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网即要使企业年利润最大,应安排 18 名员工待岗.例 14（2008 陕西，理 17）（本小题满分 12 分）已知函数()2sincos3cos442xxxf x（）求函数()f x的最小正周期及最值；（）令()3g xfx，判断函数()g x的奇偶性，并说明理由17解：（）()f xsin3cos22xx2sin23x()f x的最小正周期2412T 当sin123x 时，()f x取得最小值2；当sin123x时，()f x取得最大值 2（）由（）知()2sin23xf x又()3g xfx1()2sin233g xx2sin22x2cos2x()2cos2cos()22xxgxg x函数()g x是偶函数点评：该题考察到函数的图像与性质的综合应用，考察了分类讨论的思想题型 8：二次函数的综合问题例 15（2008 湖南文 17）17已知函数xxxxfsin2sin2cos)(22.（I）求函数)(xf的最小正周期；（II）当)4,0(0 x且524)(0 xf时，求)6(0 xf的值。解：由题设有()cossinf xxx2sin()4xhttp:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网（I）函数()f x的最小正周期是2.T（II）由524)(0 xf得04 22sin(),45x 即04sin(),45x 因为)4,0(0 x,所以0(,).44 2x从而220043cos()1 sin()1().4455xx于是)6(0 xf002sin()2sin()4646xx002sin()coscos()sin4646xx43314 63 22().525210点评：本题主要考查函数图象的对称、二次函数的基本性质与不等式的应用等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力例 16已知函数xzaxf22)(。（1）将)(xfy 的图象向右平移两个单位，得到函数)(xgy，求函数)(xgy 的解析式；（2）函数)(xhy 与函数)(xgy 的图象关于直线1y对称，求函数)(xhy 的解析式；（3）设)()(1)(xhxfaxF，已知)(xF的最小值是m且72m，求实数a的取值范围解析：(1);22222xxaxfxg(2)设 xhy 的图像上一点yxP,，点yxP,关于1y的对称点为yxQ2,，由点 Q 在 xgy 的图像上，所以yaxx22222，于是,22222xxay即;22222xxaxhhttp:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网（3）22)14(2411)()(1)(xxaaxhxfaxF。设xt2，则21444)(tataaxF。问题转化为：7221444tataa对0t恒成立.即0147442attaa对0t恒成立.（*）故 必 有044aa.（否 则，若044aa，则 关 于t的 二 次 函 数14744)(2attaatu开口向下，当t充分大时，必有 0tu；而当044aa时，显然不能保证（*）成立.），此时，由于二次函数14744)(2attaatu的对称轴0847aat，所以，问题等价于0t，即0144447044aaaaa，解之得：221 a。此时，014,044aaa，故21444)(tataaxF在aaat4)14(4取得最小值214442aaam满足条件点评：紧扣二次函数的顶点式,44222abacabxay对称轴、最值、判别式显合力。五【思维总结】五【思维总结】1函数零点的求法：（代数法）求方程0)(xf的实数根；（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(xfy 的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。2学习二次函数，可以从两个方面入手：一是解析式，二是图像特征.从解析式出发，可以进行纯粹的代数推理，这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养；从图像特征出发，可以实现数与形的自然结合，这正是中学数学中一种非常重要的思想方法.本文将从这两个方面研究涉及二次函数的一些综合问题。由于二次函数的解析式简捷明了，易于变形（一般式、顶点式、零点式等），所以，在解决二次函数的问题时，常常借助其解析式，通过纯代数推理，进而导出二次函数的有关性http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网质（1）二次函数的一般式cbxaxy2)0(c中有三个参数cba,.解题的关键在于：通过三个独立条件“确定”这三个参数（2）数形结合：二次函数0)(2acbxaxxf的图像为抛物线，具有许多优美的性质，如对称性、单调性、凹凸性等。结合这些图像特征解决有关二次函数的问题，可以化难为易，形象直观。因为二次函数0)(2acbxaxxf在区间2,(ab和区间),2ab上分别单调，所以函数 xf在闭区间上的最大值、最小值必在区间端点或顶点处取得；函数)(xf在闭区间上的最大值必在区间端点或顶点处取得