2013高考数学 解题方法攻略 二项式定理 理.doc

2013高考理科数学解题方法攻略二项式定理1二项式定理： ，2基本概念： 二项式展开式：右边的多项式叫做的二项展开式。二项式系数:展开式中各项的系数.项数：共项，是关于与的齐次多项式通项：展开式中的第项叫做二项式展开式的通项。用表示。3注意关键点： 项数：展开式中总共有项。顺序：注意正确选择,其顺序不能更改。与是不同的。指数：的指数从逐项减到，是降幂排列。的指数从逐项减到，是升幂排列。各项的次数和等于.系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是项的系数是与的系数（包括二项式系数）。4常用的结论：令 令 5性质：二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即，···二项式系数和：令,则二项式系数的和为， 变形式。奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令，则，从而得到：奇数项的系数和与偶数项的系数和：二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数是偶数时，则中间一项的二项式系数取得最大值。 如果二项式的幂指数是奇数时，则中间两项的二项式系数,同时取得最大值。系数的最大项：求展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来。高考试题中常见的二项式定理题目类型：题型一：二项式定理的逆用；1：解：与已知的有一些差距， 练：解：设，则题型二：求单一二项式指定幂的系数2（2010重庆）的展开式中的系数为（A）4 （B）6 （C）10 （D）20解析：由通项公式得3（2011天津）在的二项展开式中，的系数为A B C D 【答案】C4（2011湖北）的展开式中含的项的系数为 （结果用数值表示）【答案】175（2011全国）（1）20的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为: 【答案】06（安徽理12）设，则 .【答案】07（2009北京卷文）若为有理数），则 （ ） A33B29C23D19【解析】本题主要考查二项式定理及其展开式. 属于基础知识、基本运算的考查. ， 由已知，得，.故选B.8（2009湖北卷文）已知（1+ax）3,=1+10x+bx3+a3x3,则b= . 【解析】因为 .解得9（2009全国卷文）的展开式中，的系数与的系数之和等于_.解: 因所以有10(2009湖南卷理)在的展开式中，的系数为_7_(用数字作答)【解析】由条件易知展开式中项的系数分别是，即所求系数是11（2009陕西卷文）若,则的值为 （A）2（B）0 （C） (D) 解析:由题意容易发现,则, 同理可以得出,亦即前2008项和为0, 则原式= 故选C.题型三：求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数12（广东理10）的展开式中，的系数是 （用数字作答）【答案】8413（2011全国）的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 （A）40 （B）20 （C）20 （D）40 【答案】D14（2010全国卷1文数）(5)的展开式的系数是(A)-6 (B)-3 (C)0 (D)3A. 【命题意图】本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况，尤其是展开式的通项公式的灵活应用，以及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数，同时也考查了考生的一些基本运算能力.【解析】 的系数是 -12+6=-615（2010全国卷1）(5)的展开式中x的系数是(A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4题型四：求可化为二项式的三项展开式中指定幂的系数16（04安徽改编）的展开式中，常数项是 ；解：上述式子展开后常数项只有一项，即 本小题主要考查把“三项式”的问题通过转化变型后，用二项式定理的知识解决，17（2009江西卷理）展开式中不含的项的系数绝对值的和为，不含的项的系数绝对值的和为，则的值可能为 A B C D 【解析】，则可取，选D题型五：求中间项18（00北京）求（的展开式的中间项；解：展开式的中间项为 即：。 当为奇数时，的展开式的中间项是和；当为偶数时，的展开式的中间项是题型六：利用通项公式求常数项；19（2011全国8）的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 （A）40 （B）20 （C）20 （D）40 【答案】D20（2011陕西4）（xR）展开式中的常数项是 A-20 B15C15 D20 【答案】C21（2011山东）若展开式的常数项为60，则常数的值为 . 【答案】422（2011浙江）设二项式（x-）6（a>0）的展开式中X的系数为A,常数项为B，若B=4A，则a的值是 。【答案】2题型七：利用通项公式，再讨论而确定有理数项；23（00北京）求的展开式中有理项共有 项；解：当时，所对应的项是有理项。故展开式中有理项有4项。 当一个代数式各个字母的指数都是整数时，那么这个代数式是有理式； 当一个代数式中各个字母的指数不都是整数（或说是不可约分数）时，那么这个代数式是无理式。题型八：利用“赋值法”及二项式性质3求部分项系数，二项式系数和24（2010江西理数）6. 展开式中不含项的系数的和为（ ）A.-1 B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】考查对二项式定理和二项展开式的性质，重点考查实践意识和创新能力，体现正难则反。采用赋值法，令x=1得：系数和为1，减去项系数即为所求，答案为0.25（99全国）若， 则的值为 ； 解： 令，有， 令，有 故原式= = =26（04天津）若， 则 ；解：， 令，有 令，有故原式= 在用“赋值法”求值时，要找准待求代数式与已知条件的联系，一般而言：特殊值在解题过程中考虑的比较多。 27设， 则 ；分析：解题过程分两步走；第一步确定所给绝对值符号内的数的符号；第二步是用赋值法求的化简后的代数式的值。 解： = =0题型八：求系数最大或最小项（1） 特殊的系数最大或最小问题28（00上海）在二项式的展开式中，系数最小的项的系数是 ；解：要使项的系数最小，则必为奇数，且使为最大，由此得，从而可知最小项的系数为（2） 一般的系数最大或最小问题29求展开式中系数最大的项； 解：记第项系数为，设第项系数最大，则有 又，那么有 即 解得，系数最大的项为第3项和第4项。（3） 系数绝对值最大的项30在（的展开式中，系数绝对值最大项是 ；解：求系数绝对最大问题都可以将“”型转化为型来处理，故此答案为第4项，和第5项。题型九：利用二项式定理求近似值 31求的近似值，使误差小于； 分析：因为=，故可以用二项式定理展开计算。 解：= ， 且第3项以后的绝对值都小于， 从第3项起，以后的项都可以忽略不计。 = 小结：由，当的绝对值与1相比很小且很大时，等项的绝对值都很小，因此在精确度允许的范围内可以忽略不计，因此可以用近似计算公式：，在使用这个公式时，要注意按问题对精确度的要求，来确定对展开式中各项的取舍，若精确度要求较高，则可以使用更精确的公式：。 利用二项式定理求近似值在近几年的高考没有出现题目，但是按照新课标要求，对高中学生的计算能力是有一定的要求，其中比较重要的一个能力就是估算能力。所以有必要掌握利用二项式定理来求近似值。 题型十：利用二项式定理证明整除问题 32（02潍坊模拟）求证：能被7整除。 证明： = = =49P+（） 又 =（7+1） = =7Q（Q） 能被7整除。在利用二项式定理处理整除问题时，要巧妙地将非标准的二项式问题化归到二项式定理的情境上来，变形要有一定的目的性，要凑 出相关的因数。二项式定理高考试题的难度一般处于中挡，掌握好上述常规的二项式定理题目的解题方法，无疑对我们后续知识的学习，以及将来的高考吃了一颗制胜的定心丸。- 9 -