高三数学第4讲函数的奇偶性与周期性专题辅导.doc
第4讲函数的奇偶性与周期性1奇、偶函数的概念一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称2奇、偶函数的性质（1）奇、偶函数的定义域关于原点对称。(2奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(3)在公共定义域内两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的和、积都是偶函数；一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数（4）若奇函数f(x)在x=0处有定义，则f(0)=0.3周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期4判断函数奇偶性的三种方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)性质法5二条结论(1)若对于R上的任意的x都有f(ax)f(a+ x)或f(2ax)f(x)或f(x)f(2ax)，则yf(x)的图象关于直线xa对称 (2)若f(xa)f(x)或f(xa)或f(xa)，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T2a； A级1下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是()Ayx3，xRBysin x，xR Cyx，xR Dyx，xR2(2011·陕西高考)设函数f(x)(xR)满足f(x)f(x)，f(x2)f(x)，则yf(x)的图像可能是()3(2012·福建高考)设函数D(x)则下列结论错误的是()AD(x)的值域为0,1 BD(x)是偶函数 CD(x)不是周期函数 DD(x)不是单调函数4(2013·考感统考)设f(x)是周期为2的奇函数，当0x1时，f(x)2x(1x)，则f()A B C. D.5已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且f(x1)f(x)，若f(x)在1,0上是减少的，那么f(x)在1,3上是()A增加的 B减少的C先增后减的 D先减后增的6(2012·吉林模拟)已知函数f(x)|xa|xa|(a0)，h(x)则f(x)，h(x)的奇偶性依次为()A偶函数，奇函数 B奇函数，偶函数 C偶函数，偶函数 D奇函数，奇函数7设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x(0，)时，f(x)lg x，则满足f(x)>0的x的取值范围是_8设函数f(x)与g(x)的定义域是x|xR且x±1，f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)g(x)，则f(x)的解析式为_，g(x)的解析式为_9.(2013·安徽“江南十校”联考)定义在2,2上的奇函数f(x)在(0,2上的图像如图所示，则不等式f(x)>x的解集为_10判断下列函数的奇偶性：f(x) ；f(x)x3x；f(x)ln(x)；f(x)；f(x)lg.10解析f(x)的定义域为1,1，又f(x)±f(x)0，则f(x)是奇函数，也是偶函数；f(x)x3x的定义域为R，又f(x)(x)3(x)(x3x)f(x)，则f(x)x3x是奇函数；由x>x|x|0知f(x)ln(x)的定义域为R，又f(x)ln(x)lnln(x)f(x)，则f(x)为奇函数；f(x)的定义域为R，又f(x)f(x)，则f(x)为奇函数；由>0得1<x<1，f(x)ln的定义域为(1,1)，又f(x)lnln1lnf(x)，则f(x)为奇函数11已知奇函数f(x)的定义域为2,2，且在区间2,0内递减，求满足：f(1m)f(1m2)0的实数m的取值范围11解f(x)的定义域为2,2，有解得1m.又f(x)为奇函数，且在2,0上递减，在2,2上递减，f(1m)f(1m2)f(m21)1mm21，即2m1.综合可知，1m1.12已知函数f(x)是(，)上的奇函数，且f(x)的图象关于x1对称，当x0,1时，f(x)2x1，(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x1,2时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)f(1)f(2)f(2013)的值12 (1)证明函数f(x)为奇函数，则f(x)f(x)，函数f(x)的图象关于x1对称，则f(2x)f(x)f(x)，所以f(4x)f(2x)2f(2x)f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数(2)解当x1,2时，2x0,1，又f(x)的图象关于x1对称，则f(x)f(2x)22x1，x1,2(3)解f(0)0，f(1)1，f(2)0，f(3)f(1)f(1)1又f(x)是以4为周期的周期函数f(0)f(1)f(2)f(2013)f(2 012)f(2 013)f(0)f(1)1.B级1设f(x)是奇函数，且在(0，)内是增函数，又f(3)0，则x·f(x)<0的解集是()Ax|3<x<0，或x>3 Bx|x<3，或0<x<3 Cx|x<3，或x>3 Dx|3<x<0，或0<x<32(2012·江苏高考)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间1,1上，f(x)其中a，bR.若ff，则a3b的值为_3设函数f(x)的定义域为D，若存在非零实数l使得对于任意xM(MD)，有xlD，且f(xl)f(x)，则称f(x)为M上的l高调函数(1)如果定义域为1，)的函数f(x)x2为1，)上的m高调函数，求m的取值范围(2)如果定义域为R的函数f(x)是奇函数，当x0时，f(x)|xa2|a2，且f(x)为R上的4高调函数，求实数a的取值范围3解：(1)f(x)x2(x1)的图像如图所示，要使f(1m)f(1)，只要m2；此时x1时，恒有f(xm)f(x)，所以实数m的取值范围为2，)；(2)由f(x)为奇函数及x0时的解析式知f(x)的图像如图所示，f(3a2)a2f(a2)，由f(a24)f(a2)a2f(3a2)，得a243a2，从而a21，又a21时，恒有f(x4)f(x)，故a21即可所以实数a的取值范围为1,1A级1A2选B由f(x)f(x)知f(x)是偶函数，由f(x2)f(x)知f(x)是周期为2的函数，再结合图像可知B正确3选C若x为无理数，则x1也是无理数，故有D(x1)0D(x)；若x为有理数，则x1也是有理数，故有D(x1)1D(x)综上，1是D(x)的周期，故D(x)不是周期函数的结论是错误的，应选C.4选A由题意得ffff2××.5选D由f(x)在1,0上是减少的，又f(x)是R上的偶函数，所以f(x)在0,1上是增加的由f(x1)f(x)，得f(x2)f(x1)1f(x1)f(x)，故2是函数f(x)的一个周期结合以上性质，模拟画出f(x)部分图像的变化趋势，如下图由图像可以观察出，f(x)在1,2上是减少的，在2,3上为增加的6选Df(x)|xa|xa|xa|xa|f(x)，故f(x)为奇函数画出h(x)的图像可观察到它关于原点对称或当x>0时，x<0，则h(x)x2x(x2x)h(x)，当x<0时x>0，则h(x)x2x(x2x)h(x)x0时，h(0)0，故h(x)为奇函数7解析：当x(，0)时，f(x)f(x)lg(x)，f(x)>0或x(1,0)(1，)答案：(1,0)(1，)8解析：f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，f(x)f(x)，且g(x)g(x)而f(x)g(x)，得f(x)g(x)，即f(x)g(x)，f(x)，g(x).答案：f(x)g(x)9解析：依题意，画出yf(x)与yx的图像，如图所示，注意到yf(x)的图像与直线yx的交点坐标是和，结合图像可知，f(x)>x的解集为2，答案：B级1选D由x·f(x)<0，得或而f(3)0，f(3)0，即或所以x·f(x)<0的解集是x|3<x<0，或0<x<32解析：因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数，所以ff，且f(1)f(1)，故ff，从而a1,3a2b2.由f(1)f(1)，得a1，故b2a.由得a2，b4，从而a3b10.答案：105
