【优化方案】2016高中数学 第一章 三角函数章末优化总结 新人教A版必修4.doc

章末优化总结, )三角函数的值域与最值求三角函数的值域与最值的三种途径(1)利用函数yAsin(x)b的值域求解(2)将所求三角函数式变形为关于sin x(或cos x)的二次函数的形式，利用换元的思想进行转化，然后再结合二次函数的性质求解(3)利用正弦函数、余弦函数的有界性求解，同时，一般函数求值域的方法(分离常数法、判别式法、图像法等)在三角函数中也适用求y的值域解将已知函数式看成单位圆上的点A(cos x，sin x)与点B(2，2)连线的斜率，如图所示，观察得到kABykCB.设过点B的圆的切线方程为y2k(x2)即kxy2k20.于是1，解得k.故函数的值域为.已知|x|，求函数f(x)cos2xsin x的最小值解yf(x)cos2xsin xsin2xsin x1.令tsin x，因为|x|，所以sin x.则yt2t1，当t，即x时，f(x)有最小值，且最小值为.三角函数的性质1三角函数的周期在不加说明的情况下，就是指最小正周期求三角函数的周期一般要先通过三角恒等变形将三角函数化为yAsin(x)k，yAcos(x)k及yAtan(x)k的形式，然后用公式求解，另外还可以利用图像求出三角函数的周期2研究函数yAsin(x)的奇偶性时，应先考虑其定义域，若其定义域关于原点对称，则当k(kZ)时，函数为奇函数；当k(kZ)时，函数为偶函数；当(kZ)时，函数为非奇非偶函数3求函数yAsin(x)或yAcos(x)(其中A0，0)的单调区间时(若0，可先利用诱导公式将x前的系数变成正值)，应把x视为一个整体，由A的符号来确定单调性函数f(x)3sin的图像为C.(1)图像C关于直线x对称；(2)函数f(x)在区间内是增加的；(3)由y3sin 2x的图像向右平移个单位长度可以得到图像C.以上三个论断中，正确的个数是()A0 B1C2 D3解析(1)f3sin3sin3，所以直线x为图像C的对称轴，故(1)正确；(2)由x，得2x，所以函数f(x)在内是增加的，故(2)正确；(3)f(x)3sin 2，而由y3sin 2x的图像向右平移个单位长度得到函数y3sin 2的图像，得不到图像C，故(3)错误答案C三角函数的图像及图像变换三角函数的图像是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现在平时的考查中，主要体现在三角函数图像的变换和解析式的确定，以及通过对图像的描绘、观察来讨论函数的有关性质具体要求如下：(1)用五点法作yAsin(x)的图像时，确定五个关键点的方法是分别令x0，2.(2)对于yAsin(x)b应明确A，与单调性的关系，针对x的变换，即变换多少个单位长度，向左或向右很容易出错，应注意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区别(3)由已知函数图像求函数yAsin(x)(A0，0)的解析式时，常用的解题方法是待定系数法，由图中的最大值或最小值确定A，由周期确定，由适合解析式的点的坐标来确定，但由图像求得的yAsin(x)(A0，0)的解析式一般不是唯一的，只有限定的取值范围，才能得出唯一的解，否则的值不确定，解析式也就不唯一已知函数yf(x)Asin(x)的图像上的一个最低点为M，周期为.(1)求f(x)的解析式；(2)将yf(x)的图像上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后再将所得的图像沿x轴向右平移个单位长度，得到函数yg(x)的图像，写出函数yg(x)的解析式；(3)当x时，求函数f(x)的最大值和最小值解(1)因为T，所以2.又因为f(x)min2，所以A2.因为f(x)的最低点为M，所以sin1.因为0，所以，所以，所以，所以f(x)2sin.(2)y2siny2sin2siny2sin2sin x，所以yg(x)2sin x.(3)因为0x，所以2x，所以当2x，即x0时，f(x)min2sin1；当2x，即x时，f(x)max2sin.1已知sin()0，cos()0，则角所在的象限是()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选A.因为sin()sin 0，所以sin 0，又因为cos()cos 0，所以cos 0，所以角所在象限为第一象限2函数f(x)sin x的图像大致为()解析：选A.函数的定义域为x|x0，所以排除B，C.因为f(x)sin(x)sin xf(x)，所以函数f(x)为奇函数，图像关于原点对称，故排除D.3化简：_解析：原式cos 80°.答案：cos 80°4若f(x)2sin x(01)在区间上的最大值是，则_解析：由0x，得0x，所以y2sin x在上是递增的又(0，1)，所以，故f(x)2sin x在上是递增的，即2sin，所以.答案：5已知函数yf(x)sin(2x)的图像过点.(1)求的值，并求函数yf(x)图像的对称中心的坐标；(2)当0x时，求函数yf(x)的值域解：(1)因为函数图像过点，所以sin ，又因为|，所以，所以ysin，令2xk(kZ)，得x(kZ)，所以函数f(x)的对称中心为(kZ)(2)因为0x，所以2x，所以sin1，所以f(x)的值域为., 学生用书单独成册)(时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1化简sin 600°的值是()A0.5 BC. D0.5解析：选B.sin 600°sin(360°240°)sin 240°sin(180°60°)sin 60°.2已知函数f(x)sin x在区间a，b上是增函数，且f(a)1，f(b)1，则cos的值为()A0 BC1 D1解析：选C.由题知a，b(kZ)，所以coscos 2k1.3函数y的值域是()A1 B1，3C1 D1，3解析：选D.当x为第一象限角时，sin x0，cos x0，tan x0，所以y3；当x为第二象限角时，sin x0，cos x0，tan x0，所以y1；当x为第三象限角时，sin x0，cos x0，tan x0，所以y1；当x为第四象限角时，sin x0，cos x0，tan x0，所以y1.综上可知，值域为1，34函数ycos(2x)(<)的图象向右平移个单位后，与函数ysin的图象重合，则()A. BC. D解析：选A.ycos(2x)的图象向右平移个单位得到ycos的图象，整理得ycos(2x)因为其图象与ysin的图象重合，所以2k，所以2k，即2k.又因为<，所以.5要得到函数f(x)cos的图像，只需将函数g(x)sin的图像()A向左平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向右平移个单位长度解析：选C.因为函数f(x)cossinsin，所以将函数g(x)sin的图像向左平移个单位长度，即可得到函数ysinsin的图像故应选C.6若两个函数的图像仅经过有限次平移能够重合，则称这两个函数为“同形”函数，给出下列三个函数：f1(x)2cos 2x，f2(x)2cos，f3(x)2cos1，则()Af1(x)，f2(x)，f3(x)两两为“同形”函数；Bf1(x)，f2(x)，f3(x)两两不为“同形”函数； Cf1(x)，f2(x)为“同形”函数，且它们与f3(x)不为“同形”函数；Df2(x)，f3(x)为“同形”函数，且它们与f1(x)不为“同形”函数解析：选D.由题意得f2(x)与f3(x)中，A，相同，所以可通过两次平移使其图像重合，即f2(x)与f3(x)为“同形”函数，而f1(x)中2与f2(x)，f3(x)中的1不同，需要伸缩变换得到，即它们与f1(x)不为“同形”函数7已知奇函数f(x)在1，0上为减函数，又、为锐角三角形两内角，则下列结论正确的是()Af(cos )>f(cos )Bf(sin )>f(sin )Cf(sin )>f(cos )Df(sin )<f(cos )解析：选D.由已知奇函数f(x)在1，0上为减函数，知函数f(x)在0，1上为减函数当、为锐角三角形两内角时，有且0，则0，所以sin sin，即sin cos ，又0sin ，cos 1，所以f(sin )<f(cos )成立，选D.8将函数f(x)2sin(x)的图像向左平移个单位长度，若所得图像与原图像重合，则的值不可能为()A4 B6C8 D12解析：选B.法一：将函数f(x)2sin(x)的图像向左平移个单位后所得图像的解析式为y2sin2sin，而平移后所得图像与原图像重合，所以2k(kZ)，所以4k(kZ)，所以的值不可能等于6，故选B.法二：当4时，将函数f(x)2sin(4x)的图像向左平移个单位长度所得图像的解析式为y2sin2sin(4x)与原函数相同当6时，将函数f(x)2sin(6x)的图像向左平移个单位长度所得图像的解析式为y2sin2sin(6x3)2sin(6x)，与原函数不相同，故选B.9已知函数f(x)sin(2x)，其中|，若f(x)对xR恒成立，且ff()，则f(x)的递增区间是()A.(kZ)B.(kZ)C.(kZ)D.(kZ)解析：选C.因为f(x)，知f是函数f(x)的最大值或最小值函数f(x)的周期T，所以f()f(0)又因为函数的对称轴为x，所以f(0)f，知ff，所以f是函数f(x)的最小值，所以2×，解得.由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)10已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0t24，单位：小时)的函数，记作yf(t)下表是某日各时的浪高数据：t(小时)03691215182124y(米)1.51.00.51.01.510.50.991.5经长期观测，yf(t)的曲线可近似地看成是函数yAcos tb的图像根据以上数据，你认为一日(持续24小时)内，该海滨浴场的海浪高度超过1.25米的时间为()A10小时 B8小时C6小时 D4小时解析：选B.依题意得解得A0.5，b1，则y0.5cos1.令y0.5cos1>1.25(t0，24)得cos>.又t0，24，0，4，因此0<或<2或2<2或2<22，即0t<2或10<t12或12t<14或22<t24，在一日内，该海滨浴场的海浪高度超过1.25米的时间为8小时二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分把答案填在题中横线上)11已知f(x)2sinm在x上有两个不同的零点，则m的取值范围是_解析：f(x)在上有两个不同零点，即方程f(x)0在上有两个不同实数解，所以y2sin，x与ym有两个不同交点令u2x，由x得u，在同一直角坐标系中做出函数y2sin u与ym的图像(如图)，可知1m<2.答案：1，2)12函数y2sin(x，0)的递减区间是_解析：令2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ，令k1，得x，得函数的递减区间为.答案：13设asin，bcos，ctan，则a，b，c的大小关系为_(按由小至大顺序排列)解析：asinsinsin，bcossinsin，因为0，ysin x在上为增函数，所以ba；又因为0，ytan x在上为增函数，所以ctantan1，所以bac.答案：bac14将函数f(x)sin(x)图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度可得ysin x的图像，则f_解析：将ysin x的图像向左平移个单位长度可得ysin的图像，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍可得ysin的图像，故f(x)sin.所以fsinsin.答案：15关于函数f(x)4sin(xR)，有下列命题：函数yf(x)的表达式可改写为y4cos；函数yf(x)是以2为最小正周期的周期函数；函数yf(x)的图像关于点对称；函数yf(x)的图像关于直线x对称其中正确的是_解析：f(x)4sin4cos4cos4cos，正确；T，最小正周期为，错误；令2xk，当k0时，x，所以函数f(x)关于点对称，正确；令2xk，当x时，k，与kZ矛盾，错误所以正确答案：三、解答题(本大题共5小题，每小题10分，共55分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(本小题满分10分)计算cos 585°·tan.解：原式cos(225°360°)·tancos 225°tan(cos 45°)·tan×1.17. (本小题满分10分)(1)求函数y12sin的最大值和最小值及相应的x值；(2)已知函数yacos3，x的最大值为4，求实数a的值解：(1)当sin1，即x2k，kZ.所以当x2k，kZ时，y取得最大值123.当sin1，即x2k，kZ.所以当x2k，kZ时，y取得最小值121.(2)因为x，所以2x，所以1cos.当a0，cos时，y取得最大值a3.所以a34，所以a2.当a0，cos1时，y取得最大值a3.所以a34，所以a1.综上可知，实数a的值为2或1.18(本小题满分10分)为得到函数ysin的图像，只要把函数ysin x的图像作怎样的变换？解：法一：把函数ysin x的图像向左平移个单位长度，得到函数ysin的图像；把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数ysin的图像；把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的(横坐标不变)，得到函数ysin的图像；把得到的图像向上平移个单位长度，得到函数ysin的图像综上得到函数ysin的图像法二：将函数ysin x依次进行如下变换：把函数ysin x的图像上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数ysin 2x的图像；把得到的图像向左平移个单位长度，得到ysin的图像；把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的(横坐标不变)，得到ysin的图像；把得到的图像向上平移个单位长度，得到函数ysin的图像综上得到函数ysin的图像19(本小题满分12分)设函数f(x)sin(2x)(<<0)，yf(x)图像的一条对称轴是直线x.(1)求；(2)画出函数yf(x)在区间0，上的图像解：(1)因为x是函数yf(x)的图像的对称轴，所以sin±1.所以k，kZ.因为<<0，所以.(2)由(1)知ysin，列表如下：x0y1010描点连线，可得函数yf(x)在区间0，上的图像如下20(本小题满分13分)已知A(x1，f(x1)，B(x2，f(x2)是函数f(x)2sin(x)图像上的任意两点，且角的终边经过点P(1，)，若|f(x1)f(x2)|4时，|x1x2|的最小值为.(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)的递增区间；(3)当x时，不等式mf(x)2mf(x)恒成立，求实数m的取值范围解：(1)因为角的终边经过点P(1，)，所以tan ，且0，得.函数f(x)的最大值为2，又|f(x1)f(x2)|4时，|x1x2|的最小值为，得周期T，即，所以3.所以f(x)2sin.(2)令2k 3x2k，kZ，得x，kZ.所以函数f(x)的递增区间为，kZ.(3)当x时，3x，得f(x)1，所以2f(x)0，则mf(x)2mf(x)恒成立等价于m1恒成立因为22f(x)3，所以1最大值为，所以实数m的取值范围是.13