通用版2020版高考数学大二轮复习能力升级练十四导数及其综合应用1文20191211356.docx

能力升级练(十四)导数及其综合应用(1)一、选择题1.(2019湖南株洲质检)设函数y=xsin x+cos x的图象在点(t,f(t)处切线的斜率为g(t),则函数y=g(t)的图象一部分可以是()解析因为y'=xcosx,所以g(t)=tcost,由g(-t)=-tcost=-g(t)知函数g(t)为奇函数,所以排除B,D选项,当从y轴右侧t0时,cost>0,t>0,所以g(t)>0,故选A.答案A2.(2019全国,文7)已知曲线y=aex+xln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则()A.a=e,b=-1B.a=e,b=1C.a=e-1,b=1D.a=e-1,b=-1解析y'=aex+lnx+1,k=y'|x=1=ae+1=2,ae=1,a=e-1.将点(1,1)代入y=2x+b,得2+b=1,b=-1.答案D3.(2019河北衡水金卷调研)已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f'(x),满足f'(x)<f(x),且f(0)=12,则不等式f(x)-12ex<0的解集为()A.-,12B.(0,+)C.12,+D.(-,0)解析构造函数g(x)=f(x)ex,则g'(x)=f'(x)-f(x)ex,因为f'(x)<f(x),所以g'(x)<0,故函数g(x)在R上为减函数,又f(0)=12,所以g(0)=f(0)e0=12,则不等式f(x)-12ex<0可化为f(x)ex<12,即g(x)<12=g(0),所以x>0,即所求不等式的解集为(0,+).答案B4.设aR,若函数y=eax+3x,xR有大于零的极值点,则()A.a>-3B.a<-3C.a>-13D.a<-13解析由题意得,y'=aeax+3=0在(0,+)上有解,即aeax=-3,eax>0,a<0.又当a<0时,0<eax<1,要使aeax=-3,则a<-3.答案B5.(2019西南名校联盟月考)设过曲线f(x)=ex+x+2a(e为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l1,总存在过曲线g(x)=a2(1-2x)-2sin x上一点处的切线l2,使得l1l2,则实数a的取值范围为()A.-1,1B.-2,2C.-1,2D.-2,1解析设y=f(x)的切点为(x1,y1),y=g(x)的切点为(x2,y2),f'(x)=ex+1,g'(x)=-a-2cosx,由题意得,对任意x1R总存在x2使得(ex1+1)(-a-2cosx2)=-1,2cosx2=1ex1+1-a对任意x1R均有解x2,故-21ex1+1-a2对任意x1R恒成立,则a-21ex1+1a+2对任意x1R恒成立.又1ex1+1(0,1),a-20且2+a1,-1a2.答案C6.(2019山东联盟考试)对于函数f(x)=ex-ln(x+2)-2,以下描述正确的是()A.x0(-2,+),f(x0)(-,-2)B.x(-2,+),f(x)(-,-2)C.x(-2,+),f(x)(-2,+)D.f(x)min(-1,1)解析设函数g(x)=ex-x-1,g'(x)=ex-1,当x>0时,g'(x)>0,当x<0时,g'(x)<0,所以g(x)min=g(0)=0,即exx+1,设函数h(x)=x+1-ln(x+2)(x>-2),h'(x)=1-1x+2=x+1x+2,令h'(x)>0,得x>-1,令h'(x)<0,得-2<x<-1,所以h(x)min=h(-1)=0,即x+1ln(x+2),又等号取不同x值,所以ex>ln(x+2),ex-ln(x+2)>0,函数f(x)=ex-ln(x+2)-2的值域为(-2,+),故选C.答案C7.(2019辽宁沈阳一模)已知函数f(x)=aln x-2x,若不等式f(x+1)>f(ex)在x(1,+)上恒成立,则实数a的取值范围是()A.a2B.a2C.a0D.0a2解析当x>0时g'(x)=ex-1>e0-1=0,所以g(x)=ex-x-1在(0,+)上递增,得g(x)>g(0)=e0-0-1=0,所以当x>0时,1<x+1<ex恒成立.若不等式f(x+1)>f(ex)在x(1,+)上恒成立,则函数f(x)在(1,+)上递减,即当x>1时,f'(x)0恒成立,所以f'(x)=ax-20,即a2x(x>1)恒成立,因为2x>2,所以a2,故选A.答案A二、填空题8.(2019河南焦作模拟)已知f(x)=xln x+f'(1)x,则f'(1)=. 解析因为f'(x)=1+lnx-f'(1)x2,令x=1,得f'(1)=1-f'(1),解得f'(1)=12.答案129.直线y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a=. 解析设f(x)=(ax+1)ex,f'(x)=a·ex+(ax+1)ex=(ax+a+1)ex,f(x)=(ax+1)ex在(0,1)处的切线斜率k=f'(0)=a+1=-2,a=-3.答案-310.(2017浙江,7改编)函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是. 解析设导函数y=f'(x)的三个零点分别为x1,x2,x3,且x1<0<x2<x3.所以在区间(-,x1)和(x2,x3)上,f'(x)<0,f(x)是减函数,在区间(x1,x2)和(x3,+)上,f'(x)>0,f(x)是增函数,所以函数y=f(x)的图象可能为,故填.答案11.(2019河北衡水中学模考)函数f(x)=alnxx的图象在点(e2,f(e2)处的切线与直线y=-1e4x平行,则f(x)的极值点是. 解析f'(x)=a(1-lnx)x2,故f'(e2)=-ae4=-1e4,解得a=1,故f(x)=lnxx,f'(x)=1-lnxx2,令f'(x)=0,解得x=e,因为x<e时f'(x)>0,x>e时f'(x)<0,所以x=e是函数的极值点.答案e12.已知函数f(x)=(x2-m)ex,若函数f(x)的图象在x=1处切线的斜率为3e,则f(x)的极大值是. 解析f'(x)=(x2+2x-m)ex.由题意知,f'(1)=(3-m)e=3e,所以m=0,f'(x)=(x2+2x)ex.当x>0或x<-2时,f'(x)>0,f(x)是增函数;当-2<x<0时,f'(x)<0,f(x)是减函数.所以当x=-2时,f(x)取得极大值,f(-2)=4e-2.答案4e-213.定义在R上的函数f(x)满足:f(-x)+f(x)=x2,当x<0时,f'(x)<x,则不等式f(x)+12f(1-x)+x的解集为. 解析f(x)+f(-x)=x2,f'(x)-f'(-x)=2x,f'(-x)=f'(x)-2x.当x<0时,f'(x)<x,f'(-x)=f'(x)-2x<x-2x=-x,当x>0时,f'(x)<x,令g(x)=f(x)+12-f(1-x)-x,g'(x)=f'(x)+f'(1-x)-1<x+1-x-1=0,g(x)在R上递减.g12=f12+12-f12-12=0,又g(x)0,g(x)g12,x12.答案-,12三、解答题14.(2019山西吕梁模拟)已知函数f(x)=exx-a(x-ln x).(1)当a0时,试求f(x)的单调区间;(2)若f(x)在(0,1)内有极值,试求a的取值范围.解(1)函数f(x)的定义域为(0,+).f'(x)=ex(x-1)x2-a1-1x=ex(x-1)-ax(x-1)x2=(ex-ax)(x-1)x2.当a0时,对于x(0,+),ex-ax>0恒成立,所以由f'(x)>0,得x>1,由f'(x)<0,得0<x<1.所以f(x)的单调增区间为(1,+),单调减区间为(0,1).(2)若f(x)在(0,1)内有极值,则f'(x)=0在(0,1)内有解.令f'(x)=(ex-ax)(x-1)x2=0,即ex-ax=0,即a=exx.设g(x)=exx,x(0,1),所以g'(x)=ex(x-1)x2,当x(0,1)时,g'(x)<0恒成立,所以g(x)单调递减.又因为g(1)=e,又当x0时,g(x)+,即g(x)在(0,1)上的值域为(e,+),所以当a>e时,f'(x)=(ex-ax)(x-1)x2=0有解.设H(x)=ex-ax,则H'(x)=ex-a<0,x(0,1),所以H(x)在(0,1)上单调递减.因为H(0)=1>0,H(1)=e-a<0,所以H(x)=ex-ax=0在(0,1)上有唯一解x0.当x变化时,H(x),f'(x),f(x)变化情况如表所示:x(0,x0)x0(x0,1)H(x)+0-f'(x)-0+f(x)单调递减极小值单调递增所以当a>e时,f(x)在(0,1)内有极值且唯一.当ae时,当x(0,1)时,f'(x)0恒成立,f(x)单调递减,不成立.综上,a的取值范围为(e,+).15.(2019黑龙江齐齐哈尔模拟)已知函数f(x)=kln x-x-1x,且曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线与y轴垂直.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若对任意x(0,1)(1,e)(其中e为自然对数的底数),都有f(x)x-1+1x>1a(a>0)恒成立,求a的取值范围.解(1)f(x)的定义域为(0,+),f(x)=klnx-x-1x,定义域为(0,+),f'(x)=kx-1x2=kx-1x2(x>0).由题意知f'(1)=k-1=0,解得k=1,f'(x)=x-1x2(x>0),由f'(x)>0,解得x>1,由f'(x)<0,解得0<x<1,f(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+).(2)由(1)知f(x)=lnx-1+1x,f(x)x-1+1x=lnxx-1-1x-1+1x(x-1)+1x=lnxx-1.设m(x)=lnxx-1,则m'(x)=x-1-xlnxx(x-1)2,令n(x)=x-1-xlnx,则n'(x)=1-lnx-1=-lnx,当x>1时,n'(x)<0,n(x)在1,+)上单调递减,当x(1,e)时,n(x)<n(1)=0,当x(1,e)时,m'(x)<0,m(x)单调递减,当x(1,e)时,m(x)>m(e)=1e-1,由题意知1a1e-1,又a>0,ae-1.下面证明:当ae-1,0<x<1时,lnxx-1>1a成立,即证alnx<x-1成立,令(x)=alnx-x+1,则'(x)=ax-1=a-xx(0<x<1),由ae-1,0<x<1,得'(x)>0,故(x)在(0,1)上是增函数,x(0,1)时,(x)<(1)=0,alnx<x-1成立,即lnxx-1>1a成立,故正数a的取值范围是e-1,+).11