湖南省长沙市浏阳一中2016届高三数学上学期第二次月考试卷文含解析.doc

2015-2016学年湖南省长沙市浏阳一中高三（上）第二次月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合A=x|y=lg（32x），集合B=x|y=，则AB=( )AB（，1CD2函数f（x）=的零点个数为( )A1B2C3D03若，是两个单位向量，则“|3+4|=5”是“”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4设z=x+y，其中实数x，y满足，若z的最大值为6，则z的最小值为( )A3B2C1D05设等比数列an的前n项和为Sn，若S3+S6=S9，则公比q=( )A1或1B1C1D6已知为第二象限角，则cos2=( )ABCD7若f（x）=exaex为奇函数，则的解集为( )A（，2）B（一，1）C（2，+）D（1，+）8已知函数f（x）=，若f（a），则实数a的取值范围是( )ABCD9一已知函数f（x）=cos（x+）（0，|）的部分图象如图所示，则y=f（x+）取得最小值时x的集合为( )Ax|x=k，kzBx|x=k，kzCx|x=2k，kzDx|x=2k，kz10已知向量，满足，|+|=t|，若+与的夹角为°，则t的值为( )A1BC2D311如图，半径为2的切直线MN于点P，射线PK从PN出发绕点P逆时针方向旋转到PM，旋转过程中，PK交于点Q，设POQ为x，弓形PmQ的面积为S=f（x），那么f（x）的图象大致是( )ABCD12已知函数f（x）=，若g（x）=|f（x）|axa的图象与x轴有3个不同的交点，则实数a的取值范围是( )A（0，）B（0，）C，）D，）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13某市电信宽带私人用户月收费标准如下表：假定每月初可以和电信部门约定上网方案方案类别基本费用超时费用甲包月制70元乙有限包月制（限60小时）50元0.05元/分钟（无上限）丙有限包月制（限30小时）30元0.05元/分钟（无上限）若某用户每月上网时间为66小时，应选择_方案最合算14设=（1，2），=（a，1），=（b，0），a0，b0，O为坐标原点，若A、B、C三点共线，则+的最小值是_15数列an的前n项和记为Sn，若a1=，2an+1+Sn=0，n=1，2，则数列an的通项公式为an=_16在ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2=b2+c2+bc，a=，S为ABC的面积，则S+cosBcosC的最大值为_三、解答题：本大题共6个小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17先将函数f（x）=cos（2x+）的图象上所有的点都向右平移个单位，再把所有的点的横坐标都伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象（1）求函数g（x）的解析式和单调递减区间；（2）若A为三角形的内角，且g（A）=，求f（）的值18等差数列an的前n项和为Sn，数列bn是等比数列，满足a1=3，b1=1，b2+S2=10，a52b2=a3（）求数列an和bn的通项公式；（）令Cn=设数列cn的前n项和Tn，求T2n19设数列an的前n项和为Sn，点（an，Sn）在直线上（）求数列an的通项公式；（）在an与an+1之间插入n个数，使这n+2个数组成公差为dn的等差数列，求数列的前n项和Tn20如图，在等腰直角三角形OPQ中，POQ=90°，OP=2，点M在线段PQ上（1）若OM=，求PM的长；（2）若点N在线段MQ上，且MON=30°，问：当POM取何值时，OMN的面积最小？并求出面积的最小值21已知函数f （x）=axex（aR），g（x）=（I）求函数f （x）的单调区间；（）x0（0，+），使不等式f （x）g（x）ex成立，求a的取值范围22已知函数f（x）=（其中a2且a0），函数f（x）在点（1，f（1）处的切线过点（3，0）（）求函数f（x）的单调区间；（）若函数f（x）与函数g（x）=a+2x的图象在（0，2有且只有一个交点，求实数a的取值范围2015-2016学年湖南省长沙市浏阳一中高三（上）第二次月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合A=x|y=lg（32x），集合B=x|y=，则AB=( )AB（，1CD【考点】交集及其运算 【专题】集合【分析】求出A中x的范围确定出A，求出B中x的范围确定出B，找出A与B的交集即可【解答】解：由A中y=lg（32x），得到32x0，解得：x，即A=（，），由B中y=，得到1x0，即x1，B=（，1，则AB=（，1故选：B【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2函数f（x）=的零点个数为( )A1B2C3D0【考点】函数零点的判定定理 【专题】方程思想；转化思想；函数的性质及应用【分析】由，解得x即可得出【解答】解：由，解得x，因此函数f（x）无零点故选：D【点评】本题考查了函数的零点，考查了推理能力与计算能力，属于中档题3若，是两个单位向量，则“|3+4|=5”是“”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【专题】平面向量及应用【分析】本题考查的判断充要条件的方法，我们可以根据充要条件的定义进行判断，但解题的关键是向量模的运用及向量垂直的充要条件【解答】解：，即因为向量，都是单位向量，所以|=1，|=1，所以有25+24=25，=0，故选C【点评】本题除了熟练掌握充要条件的判断方法外，还应明确向量垂直的充要条件，同时还应熟练向量的数量积公式4设z=x+y，其中实数x，y满足，若z的最大值为6，则z的最小值为( )A3B2C1D0【考点】简单线性规划 【专题】不等式的解法及应用【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识先求出k的值，通过平移即可求z的最小值为【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+y，得y=x+z，平移直线y=x+z，由图象可知当直线y=x+z经过点A时，直线y=x+z的截距最大，此时z最大为6即x+y=6经过点B时，直线y=x+z的截距最小，此时z最小由得，即A（3，3），直线y=k过A，k=3由，解得，即B（6，3）此时z的最小值为z=6+3=3，故选：A【点评】本题主要考查线性规划的应用以，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法5设等比数列an的前n项和为Sn，若S3+S6=S9，则公比q=( )A1或1B1C1D【考点】等比数列的通项公式 【专题】方程思想；综合法；等差数列与等比数列【分析】由已知数据易得a1+a2+a3=（a1+a2+a3）q6，解方程可得q【解答】解：等比数列an的前n项和为Sn，且S3+S6=S9，S3+S6=S6+a7+a8+a9，S3=a7+a8+a9，a1+a2+a3=a7+a8+a9，a1+a2+a3=（a1+a2+a3）q6，q6=1，解得q=±1，故选：A【点评】本题考查等比数列的通项公式，属基础题6已知为第二象限角，则cos2=( )ABCD【考点】二倍角的余弦；同角三角函数间的基本关系 【专题】三角函数的求值【分析】由为第二象限角，可知sin0，cos0，从而可求得sincos=，利用cos2=（sincos）（sin+cos）可求得cos2【解答】解：sin+cos=，两边平方得：1+sin2=，sin2=，（sincos）2=1sin2=，为第二象限角，sin0，cos0，sincos=，cos2=（sincos）（sin+cos）=（）×=故选A【点评】本题考查同角三角函数间的基本关系，突出二倍角的正弦与余弦的应用，求得sincos=是关键，属于中档题7若f（x）=exaex为奇函数，则的解集为( )A（，2）B（一，1）C（2，+）D（1，+）【考点】奇偶性与单调性的综合 【专题】计算题；函数的性质及应用【分析】根据函数奇偶性的性质先求出a的值，结合函数单调性的性质进行求解即可【解答】解：f（x）=exaex为奇函数，f（0）=0，即f（0）=1a=0，则a=1，即f（x）=exex，则函数f（x）在（，+）上为增函数，则f（1）=e，则不等式f（x1）e等价为f（x1）f（1），即x11，解得x2，即不等式的解集为（，2），故选：A【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性的性质先求出a的值是解决本题的关键8已知函数f（x）=，若f（a），则实数a的取值范围是( )ABCD【考点】其他不等式的解法 【专题】计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用【分析】将变量a按分段函数的范围分成两种情形，在此条件下分别进行求解，最后将满足的条件进行合并【解答】解：当a0时，2a，解得，1a0；当a0时，解得，0aa（1，0（0，），即为a（1，）故选D【点评】本题考查了分段函数已知函数值求自变量的范围问题，以及指数不等式与对数不等式的解法，属于常规题9一已知函数f（x）=cos（x+）（0，|）的部分图象如图所示，则y=f（x+）取得最小值时x的集合为( )Ax|x=k，kzBx|x=k，kzCx|x=2k，kzDx|x=2k，kz【考点】余弦函数的图象 【专题】三角函数的图像与性质【分析】根据图象求出函数的解析式，结合三角函数的性质即可得到结论【解答】解：f（x）=cos（x+）=sin（x+），则，即函数f（x）的周期T=，即T=，=2，即f（x）=sin（2x+），由五点对应法得2×+=，解得=，即f（x）=sin（2x），则y=f（x+）=sin2（x+）=sin（2x+），由2x+=+2k，解得x=k，kz，即y=f（x+）取得最小值时x的集合为x|x=k，kz，故选：B【点评】本题主要考查三角函数最值的求解，利用图象求出三角函数的解析式是解决本题的关键10已知向量，满足，|+|=t|，若+与的夹角为°，则t的值为( )A1BC2D3【考点】平面向量数量积的运算 【专题】计算题；方程思想；向量法；平面向量及应用【分析】由题意可得，利用两个向量的夹角公式求得|，再利用勾股定理求得t的值【解答】解：，|+|=t|，则cos=，化简可得22=（2+t2），|，再由，t0，解得t=2故选：C【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，考查两个向量的数量积的运算，考查计算能力，是中档题11如图，半径为2的切直线MN于点P，射线PK从PN出发绕点P逆时针方向旋转到PM，旋转过程中，PK交于点Q，设POQ为x，弓形PmQ的面积为S=f（x），那么f（x）的图象大致是( )ABCD【考点】函数的图象与图象变化 【专题】作图题【分析】由已知中半径为2的切直线MN于点P，射线PK从PN出发绕点P逆时针方向旋转到PM，旋转过程中，PK交于点Q，设POQ为x，弓形PmQ的面积为S=f（x），我们可求出函数的解析式，分析其单调性和凸凹性后，比照四个答案中的图象可得答案【解答】解：由已知中径为2的切直线MN于点P，射线PK从PN出发绕点P逆时针方向旋转到PM，旋转过程中，弓形PmQ的面积f（x）=（2）2sinx（2）2=2x2sinxf（x）=22cosx0恒成立，故f（x）为增函数，四个图象均满足又在x0，时，f（x）=2sinx0，故函数为凹函数，在x，2时，f（x）=2sinx0，故函数为凸函数，此时D图象满足要求故选D【点评】本题考查的知识点是函数的图象与图象变化，其中根据实际情况，分析出函数值在不同情况下，函数的单调性和凸凹性，进而分析出函数值随自变量变化的趋势及变化的快慢，是解答本题的关键12已知函数f（x）=，若g（x）=|f（x）|axa的图象与x轴有3个不同的交点，则实数a的取值范围是( )A（0，）B（0，）C，）D，）【考点】分段函数的应用；函数的图象 【专题】数形结合；函数的性质及应用【分析】由题意可得|f（x）|=a（x+1）有3个不同的实根，即有函数y=|f（x）|与y=a（x+1）的图象有3个交点，作出函数y=|f（x）|与y=a（x+1）的图象，考虑直线经过点（2，ln3）和y=ln（x+1）（0x2）相切的情况，求得a，运用导数的几何意义，即可得到a，进而通过图象观察即可得到所求范围【解答】解：g（x）=|f（x）|axa的图象与x轴有3个不同的交点，则|f（x）|=a（x+1）有3个不同的实根，即有函数y=|f（x）|与y=a（x+1）的图象有3个交点，作出函数y=|f（x）|与y=a（x+1）的图象，当直线经过点（2，ln3）两图象有3个交点，即有a=；当直线与y=ln（x+1）（0x2）相切时，两图象有2个交点设切点为（m，n），则切线的斜率为=a，又n=a（m+1），n=ln（m+1）解得a=，m=e12，则图象与x轴有3个不同的交点，即有a的取值范围是，）故选C【点评】本题考查分段函数的运用，主要考查分段函数的图象，以及函数方程的转化，运用数形结合的思想方法是解题的关键二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13某市电信宽带私人用户月收费标准如下表：假定每月初可以和电信部门约定上网方案方案类别基本费用超时费用甲包月制70元乙有限包月制（限60小时）50元0.05元/分钟（无上限）丙有限包月制（限30小时）30元0.05元/分钟（无上限）若某用户每月上网时间为66小时，应选择乙方案最合算【考点】函数模型的选择与应用 【专题】应用题；函数的性质及应用【分析】由题意，分别求方案甲，乙，丙的每月收费，从而比较可得【解答】解：由题意，假定按方案甲收费，则每月收费70元；假定按方案乙收费，则每月收费50+0.05×6×60=68（元）；假定按方案丙收费，则每月收费30+0.05×36×60=138（元）；故应选择乙方案最合算；故答案为：乙【点评】本题考查了函数的模型的应用，属于基础题14设=（1，2），=（a，1），=（b，0），a0，b0，O为坐标原点，若A、B、C三点共线，则+的最小值是8【考点】向量的共线定理；基本不等式 【专题】计算题【分析】由=（1，2），=（a，1），=（b，0），a0，b0，O为坐标原点，若A、B、C三点共线，我们可以得到2a+b=1，由基本不等式1的活用，我们易求出+的最小值【解答】解：=（1，2），=（a，1），=（b，0），又A、B、C三点共线，我们可以得到2a+b=1，又由a0，b0+=（+）（2a+b）=4+（）4=4=8，当且仅当b=2a即b=，a=是取等号故+的最小值是8故答案为：8【点评】若A、B、P三点共线，O为直线外一点，则=+，且+=1，反之也成立，这是三点共线在向量中最常用的证明方法和性质，大家一定要熟练掌握15数列an的前n项和记为Sn，若a1=，2an+1+Sn=0，n=1，2，则数列an的通项公式为an=an=【考点】数列递推式 【专题】点列、递归数列与数学归纳法【分析】根据数列的递推关系结合an，Sn之间的关系，利用作差法即可得到结论【解答】解：由a1=，2an+1+Sn=0得当n2时，2an+Sn1=0，两式相减得2an+1+Sn2anSn1=0，即2an+1+an2an=0，则2an+1=an，则=，（n2）当n=1时，2a2+S1=0，即a2=，则=，不满足=，（n2）当n2时，an=a2=（）n，综上an=故答案为：an=【点评】本题主要考查数列的通项公式的求解，根据数列的递推关系，利用作差法是解决本题的关键16在ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2=b2+c2+bc，a=，S为ABC的面积，则S+cosBcosC的最大值为【考点】余弦定理 【专题】三角函数的求值；解三角形【分析】先利用余弦定理求得A，进而通过正弦定理表示出c，代入面积公式求得S+cosBcosC的表达式，利用两角和与差的余弦函数公式化简求得其最大值【解答】解：a2=b2+c2+bc，cosA=，A=，由正弦定理 c=a=2sinC，S=sinBsinCS+cosBcosC=sinBsinC+cosBcosC=cos（BC），故答案为：【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用求得面积的表达式是解决问题的关键，属于中档题三、解答题：本大题共6个小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17先将函数f（x）=cos（2x+）的图象上所有的点都向右平移个单位，再把所有的点的横坐标都伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象（1）求函数g（x）的解析式和单调递减区间；（2）若A为三角形的内角，且g（A）=，求f（）的值【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式；正弦函数的单调性；余弦函数的单调性 【专题】三角函数的图像与性质【分析】（1）依题意，易求g（x）=sin（x），利用正弦函数的单调性可求得函数g（x）的单调递减区间；（2）由（1）知，g（A）=sin（A）=，易知0A，于是得cos（A）=，f（）=sinA=sin（A）+，利用两角和的正弦即可求得答案【解答】解：（1）f（x）=cos（2x+）=sin2x，依题意，有g（x）=sin（x），由+2kx+2k得：+2kx+2k，kZg（x）=sin（x），且它的单调递减区间为+2k，+2kkZ（2）由（1）知，g（A）=sin（A）=，0A，A，又0sin（A），0A，cos（A）=，f（）=sinA=sin（A）+=×+×=【点评】本题考查函数y=Asin（x+）的图象变换，考查正弦函数的单调性，考查诱导公式与两角和的正弦，考查转化思想与综合运算能力，属于中档题18等差数列an的前n项和为Sn，数列bn是等比数列，满足a1=3，b1=1，b2+S2=10，a52b2=a3（）求数列an和bn的通项公式；（）令Cn=设数列cn的前n项和Tn，求T2n【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式 【专题】等差数列与等比数列【分析】（I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（）由a1=3，an=2n+1得Sn=n（n+2）则n为奇数，cn=“分组求和”，利用“裂项求和”、等比数列的前n项和公式即可得出【解答】解：（）设数列an的公差为d，数列bn的公比为q，由b2+S2=10，a52b2=a3得，解得an=3+2（n1）=2n+1，（）由a1=3，an=2n+1得Sn=n（n+2），则n为奇数，cn=，n为偶数，cn=2n1T2n=（c1+c3+c2n1）+（c2+c4+c2n）=【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“分组求和”、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19设数列an的前n项和为Sn，点（an，Sn）在直线上（）求数列an的通项公式；（）在an与an+1之间插入n个数，使这n+2个数组成公差为dn的等差数列，求数列的前n项和Tn【考点】等差数列与等比数列的综合；数列的函数特性 【专题】综合题；等差数列与等比数列【分析】（）由题设知，1，得1（nN*，n2），两式相减可得数列递推式，由此可判断数列an为等比数列，从而可得其通项公式；（）由（）可得an+1，an，根据等差数列的通项公式可得dn，从而可得，令，利用错位相减法即可求得Tn；【解答】解：（）由题设知，1，得1（nN*，n2），两式相减得：，即an=3an1（nN*，n2），又S1=得a1=2，所以数列an是首项为2，公比为3的等比数列，所以；（）由（）知，因为an+1=an+（n+1）dn，所以，所以=，令，则，得=，；【点评】本题考查数列的函数特性、由数列递推式求通项公式、等差数列及错位相减法求数列的前n项和，考查学生综合运用知识解决问题的能力，综合性较强，能力要求较高20如图，在等腰直角三角形OPQ中，POQ=90°，OP=2，点M在线段PQ上（1）若OM=，求PM的长；（2）若点N在线段MQ上，且MON=30°，问：当POM取何值时，OMN的面积最小？并求出面积的最小值【考点】三角形中的几何计算；正弦定理 【专题】计算题；解三角形【分析】（1）在OPQ中，由余弦定理得，OM2=OP2+MP22OPMPcos45°，解得MP即可（2）POM=，0°60°，在OMP中，由正弦定理求出OM，同理求出ON，推出三角形的面积，利用两角和与差的三角函数化简面积的表达式，通过的范围求出面积的最大值【解答】解：（1）在OPQ中，OPQ=45°，OM=，OP=2，由余弦定理得，OM2=OP2+MP22OPMPcos45°，得MP24MP+3=0，解得MP=1或MP=36（2）设POM=，0°60°，在OMP中，由正弦定理，得，所以，同理 8SOMN= 10= 14因为0°60°，30°2+30°150°，所以当=30°时，sin（2+30°）的最大值为1，此时OMN的面积取到最小值即POM=30°时，OMN的面积的最小值为8416【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理两角和与差的三角函数的应用，考查转化思想以及计算能力21已知函数f （x）=axex（aR），g（x）=（I）求函数f （x）的单调区间；（）x0（0，+），使不等式f （x）g（x）ex成立，求a的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值 【专题】导数的综合应用【分析】（）f（x）=aex，xR对a分类讨论，利用导数研究函数的单调性即可得出；（）由x0（0，+），使不等式f（x）g（x）ex，即a设h（x）=，则问题转化为a，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出【解答】解：（）f（x）=aex，xR当a0时，f（x）0，f（x）在R上单调递减；当a0时，令f（x）=0得x=lna由f（x）0得f（x）的单调递增区间为（，lna）；由f（x）0得f（x）的单调递减区间为（lna，+）（）x0（0，+），使不等式f（x）g（x）ex，则，即a设h（x）=，则问题转化为a，由h（x）=，令h（x）=0，则x=当x在区间（0，+） 内变化时，h（x）、h（x）变化情况如下表：xh（x）+0h（x）单调递增极大值单调递减由上表可知，当x=时，函数h（x）有极大值，即最大值为【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题22已知函数f（x）=（其中a2且a0），函数f（x）在点（1，f（1）处的切线过点（3，0）（）求函数f（x）的单调区间；（）若函数f（x）与函数g（x）=a+2x的图象在（0，2有且只有一个交点，求实数a的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程 【专题】导数的综合应用【分析】（1）利用导数的几何意义可得切线方程，对a分类讨论、利用导数研究函数的单调性即可；（2）等价方程在（0，2只有一个根，即x2（a+2）x+alnx+2a+2=0在（0，2只有一个根，令h（x）=x2（a+2）x+alnx+2a+2，等价函数h（x）在（0，2与x轴只有唯一的交点由，对a分类讨论、结合图象即可得出【解答】解：（1），f（1）=b，=ab，yb=（ab）（x1），切线过点（3，0），b=2a，当a（0，2时，单调递增，单调递减，当a（，0）时，单调递减，单调递增（2）等价方程在（0，2只有一个根，即x2（a+2）x+alnx+2a+2=0在（0，2只有一个根，令h（x）=x2（a+2）x+alnx+2a+2，等价函数h（x）在（0，2与x轴只有唯一的交点，当a0时，h（x）在x（0，1）递减，x（1，2的递增，当x0时，h（x）+，要函数h（x）在（0，2与x轴只有唯一的交点，h（1）=0或h（2）0，a=1或当a（0，2）时，h（x）在递增，的递减，x（1，2递增，当x0时，h（x），h（e4）=e8e420，h（x）在与x轴只有唯一的交点，当a=2，h（x）在x（0，2的递增，h（e4）=e8e420，或f（2）=2+ln20，h（x）在x（0，2与x轴只有唯一的交点，故a的取值范围是a=1或或0a2【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、导数的几何意义，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题- 20 -