2011年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（辽宁卷解析版）.doc
2011年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（辽宁卷，解析版）注意事项：1. 本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 回答第卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.3. 回答第卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第卷一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1） a为正实数，i为虚数单位，则a=（ ）（A）2 （B） (C) (D)1(3)已知F是抛物线y2=x的焦点，A,B是该抛物线上的两点，则线段AB的中点到y轴的距离为（ ）(A) (B) 1 (C) (D)答案： C解析：设A、B的横坐标分别是m、n，由抛物线定义，得=m+n+= m+n+=3，故m+n=，故线段AB的中点到y轴的距离为.（4）ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，asin AsinB+bcos2A=则（ ） (A) (B) (C) (D)（6）执行右面的程序框图，如果输入的n是4，则输出的P是(A) 8 (B) 5 (C) 3 (D) 2答案：C 解析：第一次执行结果：p=1,s=1,t=1,k=2; 第二次执行结果：p=2,s=1,t=2,k=3;第三次执行结果：p=3,s=2,t=3,k=4;结束循环，输出p的值4.（7）设sin，则（ ）(A) (B) (C) (D)答案： A解析：（8）如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD底面ABCD，则下列结论中不正确的是（ ）(A) ACSB (B) AB平面SCD (C) SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角 (D)AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角答案： D解析：对于A:因为SD平面ABCD，所以DSAC.因为四边形ABCD为正方形，所以ACBD，故AC平面ABD,因为SB平面ABD,所以ACSB，正确.对于B：因为AB/CD,所以AB/平面SCD.对于C:设.因为AC平面ABD，所以SA和SC在平面SBD内的射影为SO，则ASO和CSO就是SA与平面SBD所成的角和SC与平面SBD所成的角，二者相等，正确.故选D.（9）设函数f（x）=则满足f（x）2的x的取值范围是（ ） （A）-1，2 （B）0，2 （C）1，+） （D）0，+）（11）函数f（x）的定义域为R，f（-1）=2，对任意xR，f(x)2，则f（x）2x+4的解集为（ ）（A）（-1，1） （B）（-1，+） （C）（-，-1） （D）（-，+）答案： B解析：设g(x)= f(x)-(2x+4), g(x)= f(x)-2.因为对任意，f（x）2，所以对任意，g(x)>0，则函数g(x)在R上单调递增.又因为g(-1)= f(-1)-(-2+4)=0，故g(x)>0,即f(x)2x+4的解集为(-1，+).（12）已知球的直径SC=4，A,B是该球球面上的两点，AB=，则棱锥S-ABC的体积为（ ）（A） （B） （C） （D）1第卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题-第24题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（13）已知点（2,3）在双曲线C：（a0，b0）上，C的焦距为4，则它的离心率为_.答案： 2解析：由题意得，解得a=1，故离心率为2. (14) 调查了某地若干户家庭的年收入x（单位：万元）和年饮食支出y（单位：万元），调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：=0.254x+0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加_万元.（16）已知函数f（x）=Atan（x+）（0，），y=f（x）的部分图像如下图，则f（）=_.答案：解析：函数f(x)的周期是，故，由得.所以，故.三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分）已知等差数列an满足a2=0，a6+a8= -10（I）求数列an的通项公式；（II）求数列的前n项和.（18）（本小题满分12分）如图，四边形ABCD为正方形，PD平面ABCD，PDQA，QA=AB=PD.（I）证明：平面PQC平面DCQ（II）求二面角Q-BP-C的余弦值. 即，.故平面DCQ，又平面PQC，所以平面PQC平面DCQ.（II）依题意得B(1,0,1)，,设n=(x,y,z)是平面PBC的法向量，则即因此，取n=(0,-1,-2).设m是平面PBQ的法向量，则可取m=(1,1,1),所以，故二面角Q-BP-C的余弦值为.19.（本小题满分12分）某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间试验.选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙.（I）假设n=4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X，求X的分布列和数学期望；（II）试验时每大块地分成8小块，即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm2）如下表：分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？附：样本数据x1，x2，xa的样本方差，其中为样本平均数.解析：（I）X可能的取值为0,1,2,3,4,且 即X的分布列为X01234PX的数学期望是：.（II）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别是：，.品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别是：，由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙.（20）（本小题满分12分）如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线lMN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D.（I）设，求与的比值；（II）当e变化时，是否存在直线l，使得BOAN，并说明理由解析：（I）因为C1，C2的离心率相同，故依题意可设.设直线分别和C1，C2联立，求得.当时，分别用yA，yB表示A、B的纵坐标，可知|BC|:AD|= （II）t=0时的l不符合题意，t0时，BO/AN当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等，即，解得.因为，又，所以，解得.所以当时，不存在直线l，使得BO/AN；当时，存在直线l使得BO/AN. (21)(本小题满分12分)已知函数f（x）=lnx-ax2+（2-a）x.(I)讨论f（x）的单调性；（II）设a0，证明：当0x时，f（+x）f（-x）；（III）若函数y=f（x）的图像与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：f（ x0）0.解析：(I)f(x)的定义域为(0,+),若a0，所以f(x)在(0,+)单调增加；若a>0，则由得，且当时，当时，所以f(x)在单调增加，在单调减少.（II）设，则，当时，而，所以.故当时， 请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.做答是用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC=ED.（I）证明：CD/AB；（II）延长CD到F，延长DC到G，使得EF=EG，证明：A，B，G，F四点共圆.（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系统与参数方程在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数）曲线C2的参数方程为（，为参数）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：=与C1，C2各有一个交点.当=0时，这两个交点间的距离为2，当=时，这两个交点重合.（I）分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值；(II)设当=时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1,当=-时，l与C1，C2的交点为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积.解析：（I）C1为圆，C2为椭圆.当=0时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别是(1,0),(a,0),因为这两点间的距离为2，所以a=3.当时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别是(0,1),(0,b),因为这两点重合，所以b=1.（II）C1，C2的普通方程分别为，当时，射线l与C1交点A1的横坐标是，与C2交点B1的横坐标是；当时，射线l与C1 、C2的两个交点A2 、B2的分别与A1、B1 关于x轴对称，因此，四边形与A1 A2B2B1 为梯形.故四边形与A1 A2B2B1 的面积为.（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数f（x）=|x-2|-|x-5|.（I）证明：-3f（x）3；（II）求不等式f（x）x2-8x+15的解集.14
