八年级数学下册第二十二章四边形22.7多边形的内角和与外角和多边形难题巧解点拨素材新版冀教版.doc

多边形难题巧解点拨例1：已知：四边形ABCD中，A：B=5：7，B与A的差等于C，D与C的差等于80°，求四边形ABCD的四个内角的度数（条件已给出四个内角的三个关系式，注意还有一个隐含条件，即“四个内角的和等于36°”）思路分析：本题的实质是求关于四边形ABCD的四个内角的一个四元一次方程组的解，题目中很明显的给出了这四个量之间的三个条件关系第四个条件关系是“四边形的四个内角之和为360°”为了求解方便，也可只设一个未知数 （方程（方程组）的思想）解：依题意，设A=5a，B=7a，则C=B-A=2a， （用三个关系式设未知数，一个关系式列方程）D-C=80°，D=C+80°=2a+80°，根据四边形的内角和为360°，得：5a+7a+2a+（2a+80°）=360°，解得a=17.5°A=5a=87.5°，B=7a=122.5°，C=2a=35°，D=2a+80°=115°例2：已知：四边形ABCD中，ABC=70°，C=90°，BC=CD，AB=AD求A的度数思路分析：认真分析条件，很容易想到构造等腰三角形或全等三角形解法一：如图4-64，连结BDRtBCD中，C=90°，BC=CD，DBC=45°，ABC=70°，ABD=ABC-DBC=70°-45°=25°，ABD中，AB=AD，ABD=ADB=25°，A=180°-ABD-ADB=130°（三角形内角和为180°）解法二：如图4-65，连结AC在ABC和ADC中，ABCADC（SSS）BAD=360°-B-D-BCD=360°-70°-70°-90°=130°（四边形的四个内角中，已经知道了B和C的度数，所以只需求出D的度数即可）（你还有其他的方法吗？）例3：已知一个多边形的内角和与外角和的和为2160°，求多边形的对角线的条数思路分析：要求多边形的对角线的条数，只需求出多边形的边数解：设多边形的边数为n，则（n-2）×180°+360°=2160°， （方程的思想）解得：n=12，多边形的对角线的条数为（计算多边形对角线条数的公式你知道吗？）答：多边形的对角线的条数为54条点评：n边形的对角线的条数的推导过程：从n边形的任何一个顶点出发，可以和与它不相邻的（n-3）个顶点相连，得到（n-3）条对角线，因此共可以连得对角线n（n-3）条，又因为每一条对角线都被计算了2次，因此n边形的对角线的条数为条例4：如图4-66，四边形ABCD中，A=C=90°，BE平分B，DF平分D求证：BEDF思路分析：怎样证明BEDF呢？可考虑证明AEB=ADF由四边形的内角和为360°，转化为ADC+ABC=180°，再转化为ADF+ABE=90°，而AEB+ABE=90°，从而ADF=AEB证明：在四边形ABCD中，A+ABC+C+ADC=360°，又A=C=90°，ABC+ADC=180°，（角平分线的性质）ABE+ADF=90°又AEB+ABE=90°，（因为A=90°）ADF=AEB，BEDF（同位角相等，两直线平行）3