人教版B版高中数学必修第四册-第十一章综合测试01试题试卷含答案-答案在前.pdf

高中数学 必修第四册 1/10 第十一章综合测试第十一章综合测试 答案解析答案解析 基础练习基础练习 一、1.【答案】D【解析】直线 AC 与直线 PO 交于点 O，所以平面 PCA 与平面 PBD 交于点 O，所以必相交于直线 PO，直线 AM 在平面 PAC 内，点NAM故N面 PAC，故 O，N，P，M 四点共面，所以 A 错，点 D 若与M，N 共面，则直线 BD 在平面 PAC 内，与题目矛盾，故 B 错，O，M 为中点，所以OMPA，ONPAP=，故ONOMO=，故 C 错，故选 D。2.【答案】D【解析】连接1BC交1BC于点O，取AC中点D，连接OD，设12AAABACBC=，三棱柱111ABCABC为直三棱柱，四边形11BCC B为矩形，O为1BC中点，1/DO AB且11144222DOAB=+=，又14 15DC=+=，11122OCBC=，12251cos4222DOC+=，异面直线1AB和1BC所成角的余弦值为11cos4DOC=，故选：D。3.【答案】C【解析】因为截面 PQMN 是正方形，所以PQ MN、QMPN，则PQACD平面、QMBDA平面，高中数学 必修第四册 2/10 所以PQ AC，QMBD，由PQQM可得ACBD，故 A 正确；由PQ AC可得ACPQMN截面，故 B 正确；异面直线 PM 与 BD 所成的角等于 PM 与 QM 所成的角，故 D 正确；综上 C 是错误的，故选 C。4.【答案】A【解析】如图所示，三棱锥11DB EF的体积为1 1111122 2 13323D EFVSBC=为定值，正确；11EFDC，111B DC是异面直线11D B与EF所成的角为45，正确；若11DB 平面1B EF，则11D BEF，而11EFDC故1111DBDC，而11D B与11DC所成角为45，错误；平面1D EF即为平面11DCCD，故直线11D B与平面1D EF所成的角是为11145C DB=，错误。综上，正确的命题序号是。故选：A。5.【答案】B【解析】如图，连结AB，B C，AC，易证得BD平面ACB，因为AMBD所以AM 平面ACB，又因为M平面BCC B，所以M在B C上移动，如图AB 平面BCC B，所以AMB=，在RtAMB中，tanABBM=，当BM最小时，tan最大，即当BMB C时，BM最小，值为3 22，所以max3tan23 22=。故选：B。二、6.【答案】4 6 高中数学 必修第四册 3/10 【解析】设 G 是 CD 中点，由于 E，F，H 分别是棱 PB，BC，PD 的中点，所以EFPC，12EFPC=，HGPC，12HGPC=，所以EFHG，EFHG=，所以四边形 EFGH 是平行四边形，由于PA平面ABCD，所以PABD，而BDAC，PAACA=，所以BD平面PAC，所以BDPC，由于FGBD，所以BGPC，也即FGEF，所以四边形 AFGH 是矩形。而12 32EFPC=，12 22FGBD=，从而2 3 2 24 6EFGHS=，故答案为：4 6。7.【答案】【解析】项，截面PQMN为正方形，则有QMPQ且PQ MN，所以/PQ平面DAC，又PQ面ABC，CDAABACC=面面，所以/PQ AC，又PQ平面PQMN，AC 平面PQMN，所以/AC平面PQMN，故项正确；项，由项得出ACBD，但不能得出ACBD=，故项是错误的；项，截面PQMN为正方形，则有PNQM，所以/PN平面BDC，又PN 面 ABD，DDBABBCD=面面，所以/PN BD，又PN 平面PQMN，BD平面PQMN，所以/BD平面PQMN，故项正确；项，由，可得/PQ AC，/PN BD，又PQPN，所以ACBD，故正确；故答案为：。8.【答案】2 17【解析】CDCAABBD=+，所以()()222222CDCAABBDCAABBDCA ABCA BDAB BD=+=+21636642 06 8 cos011648683=+=，所以2 17CD=，故填：2 17。高中数学 必修第四册 4/10 三、9.【答案】（1）因为 E，F 分别是 AB，AA1的中点，所以1EFAB，因为1EFABD平面，11ABABD平面，所以1EFABD平面。（2）在直三棱柱 ABCA1B1C1中，1111BBABC平面，因为1111ADABC平面，所以11BBAD，因为1111ABAC=，且 D 是 B1C1的中点，所以111ADBC，因为1111BBBCB，B1C1，111BBBBCC平面，所以111ADBBCC平面，因为11ADABD平面，所以平面111ABDBBCC平面。10.【答案】（1）底面 ABCD 是菱形，ABCD，又AB面PCD，CD面PCD，AB面PCD，又A，B，E，F 四点共面，且平面ABEF平面PCDEF=，ABEF；（2）在正方形ABCD中，CDAD，又平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCDAD=，CD平面PAD，又AF 平面PAD，CDAF，由（1）可知AB EF，又ABCD，CDEF，由点 E 是棱 PC 中点，点 F 是棱 PD 中点，在PAD中，PAAD=，AFPD，又PDCDD=，AF平面PCD；（3）若存在符合题意的点M：EM 平面PCD，EM 平面PBC，平面PBC 平面PCD，而这与题意矛盾了，不存在。提升练习提升练习 一、1.【答案】D【解析】由已知的三点 P、Q、R，确定截面的一条边 PQ，延长 PQ 交 BC 于一点，连接该点与点 R 即可得到与棱 BB1的交点 M，利用公理 3 确定交线 RM，PM，同样的方法找出其它交线，即可得到截面如图所示：故选：D。2.【答案】B【解析】中ACBE，由题意及图形知，11ACDD B B面，故可得出ACBE，此命题正确；高中数学 必修第四册 5/10 EFABCD平面，由正方体 ABCDA1B1C1D1的两个底面平行，EF 在其一面上，故 EF 与平面 ABCD 无公共点，故有EFABCD平面，此命题正确；三棱锥 ABEF 的体积为定值，由几何体的性质及图形知，三角形 BEF 的面积是定值，A 点到面 DD1B1B 距离是定值，故可得三棱锥 ABEF 的体积为定值，此命题正确；由图形可以看出，B 到线段 EF 的距离与 A 到 EF 的距离不相等，故AEF的面积与BEF的面积相等不正确。3.【答案】A【解析】由题意在棱长为l的正方体1111ABCDABC D中，点1P，2P分别是线段1,AB BD上的动点，且线段12PP平行于平面11121,A ADDPPBADB，设1,(0,1)PBx x=，即122PPx=，2P到平面11AAB B的距离为x，所以四棱锥121PP AB的体积为2111(1)1()326Vxxxx=，当12x=时，体积取得最大值124，故选 A。4.【答案】D【解析】11ACAC，过1A在空间作平面，使平面与直线AC和1BC所成的角都等于60，即过点1A在空间作平面，使平面与直线11AC和1BC所成的角都等于60，连接1AB，1AB，设它们的交点为O，连接1OC，易得11111160C ABC BAAC B=，由题意可得O为1AB的中点，则11OCAB，高中数学 必修第四册 6/10 故要使平面与直线11AC和1BC所成的角都等于60，只要满足1OC 平面即可，符合题意的只有 1 个平面，故选：D。5.【答案】C【解析】A 选项：因为 E，F 分别为AD和 BD 两边中点，所以EFAB，即EF平面A BC，A 正确；B 选项：因为平面ABD平面 BCD，交线为 BD，且CDBD，所以CD 平面ABD，即CDA B，故 B 正确；C 选项：取 CD 边中点 M，连接 EM，FM，则EMAC，所以FEM为异面直线 EF 与AC所成角，又1EF=，2EM=，3FM=，即90FEM=，故 C 错误，D 选项：连接,A F CF，则A FBD，平面ABD平面 BCD，故A F 平面BCD，故A CF为直线AC与平面 BCD 所成的角，2A F=，6CF=，故3tan3A CF=，30A CF=，D 正确；故选：C。二、6.【答案】14【解析】由已知ABAC，BDAB，即0AB BD=，0AB AC=，AC，45BD=，CDCAABBD=+，222222cos135CDCAABBDCAABBDCA BD=+=+，24 162244514cos=+=，14CD=。7.【答案】高中数学 必修第四册 7/10 【解析】对于命题，连接 AC、BD 交于点 M，取 BE 的中点 M、N，连接 MN、FN，如下图所示：则12AFDE=且/AF DE，四边形ABCD是矩形，且ACBDM=，M为BD的中点，N为BE的中点，/MN DE且12MNDE=，/MN AF且MNAF=，四边形AFNM为平行四边形，/AM FN，即/AC FN，AC 平面BEF，FN 平面BEF，/AC平面BEF，命题正确；对于命题，/BC AD，BC 平面ADEF，AD平面ADEF，/BC平面ADEF，若四点B、C、E、F共面，则这四点可确定平面，则BC，平面平面ADEFEF=，由线面平行的性质定理可得/BC EF，则/EF AD，但四边形ADEF为梯形且AD、EF为两腰，AD与EF相交，矛盾，所以，命题错误；对于命题，连接DF、CF，设ADAFa=，则2DEa=，在RtADF中，ADAFa=，2DAF=，则ADF为等腰直角三角形，且4AFDADF=，2DFa=，4EDF=，且2DEa=，由余弦定理得22222cos2EFDEDFDE DFEDFa=+=，222DFEFDE+=，DFEF，又EFCF，DFCFF=，EF平面CDF，CD 平面CDF，CDEF，CDAD，AD、EF为平面ADEF内的两条相交直线，所以，CD 平面ADEF，高中数学 必修第四册 8/10 CD 平面ABCD，平面ADEF 平面ABCD，命题正确；对于命题，假设平面BCE与平面BEF垂直，过点F在平面BEF内作FGBE，平面BCE 平面BEF，平面BCE平面BEFBE=，FGBE，FG 平面BEF，FG平面BCE，BC 平面BCE，BCFG，ADAB，ADAF，/BC AD，BCAB，BCAF，又ABAFA=，BC平面ABF，BF 平面ABF，BCBF，FGBFF=，BC平面BEF，EF 平面BEF，BCEF，/AD BC，EFAD，显然EF与AD不垂直，命题错误，故答案为：。8.【答案】6 55【解析】取 AB 的中点 H，连接 B1H，D1H，D1B1，BF，如图，由正方体性质可得11BD 平面11ACC A，所以11B DCF，又因为 F 是线段 AA1的中点，所以1ABFBB H，可知1BHBF，又因为CB 平面11AAB B，所以1CBB H，又因为CBBFB=，所以1B H 平面BCF，所以1BHCF，又因为1111B HB DB=，所以CF 平面11D B H，则点 E 在直线1B H上，所以当11DEB H时，线段1D E的值最小，由题知112 2DB=，15BH=，13DH=，所以222111111111859cos210221052D BB HD HHB DD BB H+=，高中数学 必修第四册 9/10 所以211113 10sin1cos10HB DHB D=，所以1min11113 1026 5sin5210D EB DHB D=，故答案为：6 55。三、9.【答案】（1）平面ABCD平面ABEF，CBAB，平面ABCD平面ABEFAB=，CB 平面ABEF，AF 平面ABEF，AFCB，又AB为圆O的直径，AFBF，AF 平面CBF，AF 平面ADF，平面DAF 平面CBF（2）根据（1）的证明，有AF 平面CBF，FB为AB在平面CBF内的射影，因此，ABF为直线AB与平面CBF所成的角，/ABEF，四边形ABEF为等腰梯形，过点F作FHAB，交AB于H，2,1ABEF=，则122ABEFAH=，在RtAFB中，根据射影定理2AFAH AB=，得1AF=，1sin2AFABFAB=，030ABF=，直线AB与平面CBF所成角的大小为 30。10.【答案】（1）取 BE 中点 N，连 MN,CN，又 M 为 AE 的中点，MNAB，12MNAB=，在正方形 ABCD 中，P 是 CD 中点，CPMN，CPMN=，四边形 CPMN 为平行四边形，MPCN，MP平面BCE，CN 平面BCE，PM平面BCE；（2）设2ABAE=，ABE是等腰直角三角形，ABAE=，AEAB，平面ABCD平面ABEF，平面ABCD平面ABEFAB=，AE 平面ABEF，高中数学 必修第四册 10/10 AE平面ABCD，过 F 做/FQAE，交 AB 于 Q，FQ平面ABCD，FAFE=，45AEF=，EFAF，45EAF=，2AF=，45FAQ=，在RtAFQ中，1,3FQAQBQ=，过 Q 做QOBD垂足为 O，连 FO，FQ平面,ABCDFQBD，FQOQQ=，BD平面,FOQ BDOF，FOQ为二面角FBDA的平面角，在RtBOQ中，3 23,45,2BQOBQOQ=，在RtFOQ中，22222OFFQOQ=+=，22sin11FQFOQOF=，二面角FBDA所成角的正弦值2211。高中数学 必修第四册 1/6 第十一章综合测试第十一章综合测试 基础练习基础练习 一、单选题一、单选题 1.如图，四棱锥PABCD，ACBDO=，M是PC的中点，直线AM交平面PBD于点N，则下列结论正确的是（）A.O，N，P，M 四点不共面 B.O，N，M，D 四点共面 C.O，N，M 三点共线 D.P，N，D 三点共线 2.如图，直三棱柱111ABCABC中，1AAABACBC=，则异面直线1AB和1BC所成角的余弦值为（）A.12 B.12 C.14 D.14 3.如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为（）A.ACBD B.AC截面PQMN C.ACBD=D.异面直线PM与BD所成的角为45 4.设 E，F 分别是正方体 ABCDA1B1C1D1的棱 DC 上两点，且2AB=，1EF=，给出下列四个命题：高中数学 必修第四册 2/6 三棱锥11DB EF的体积为定值；异面直线11D B与EF所成的角为45；11DB 平面1B EF；直线11D B与平面1D EF所成的角为60。其中正确的命题为（）A.B.C.D.5.在如图的正方体ABCDA B C D 中，3AB=，点M是侧面BCC B 内的动点，满足AMBD，设AM与平面BCC B 所成角为，则tan的最大值为（）A.22 B.2 C.43 D.34 二、填空题二、填空题 6.在四棱锥PABCD中，底面 ABCD 为正方形，PA面 ABCD，4PAAB=，E，F，H 分别是棱 PB，BC，PD 的中点，过 E，F，H 的平面交棱 CD 于点 G，则四边形 EFGH 面积为_。7.如图，在四面体 ABCD 中，若截面 PQMN 是正方形，则在下列命题中，正确的是_。AC面 PQMN；ACBD=；BD面 PQMN；ACBD 高中数学 必修第四册 3/6 8.已知：如图，在60的二面角的棱上有 A、B 两点，直线 AC、BD 分别在这个二面用的两个半平面内，且都垂直 AB，已知4,6,8ABACBD=，则CD=_。三、解答题三、解答题 9.如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，D，E，F 分别是 B1C1，AB，AA1的中点。（1）求证：EF平面 A1BD；（2）若1111ABAC=，求证：111ABDBBCC平面平面。10.如图，在四棱锥PABCD中，底面 ABCD 是正方形，点 E 是棱 PC 的中点，平面 ABE 与棱 PD 交于点F。（1）求证：AB EF；（2）若PAAD=，且平面PAD平面ABCD，试证明AF 平面PCD；（3）在（2）的条件下，线段 PD 上是否存在点 M，使得EM平面PCD？（直接给出结论，不需要说明理由）高中数学 必修第四册 4/6 提升练习提升练习 一、单选题一、单选题 1.正方体 ABCDA1B1C1D1中，PQR 分别是 AB、AD、B1C1的中点，那么正方体的过 P、Q、R 的截面图形是（）A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形 2.如图，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，线段 B1D1上有两个动点 E、F，且12EF=，则下列结论中正确的个数为 ACBE；EFABCD平面；三棱锥 ABEF 的体积为定值；AEF的面积与BEF的面积相等。A.4 B.3 C.2 D.1 3.在棱长为l的正方体1111ABCDABC D中，点 P1，P2分别是线段 AB1，BD1（不包括端点）上的动点，且线段12PP平行于平面11A ADD，则四面体121PP AB的体积的最大值是（）A.124 B.112 C.16 D.12 4.已知正方体1111ABCDABC D，过顶点1A作平面，使得直线AC和1BC与平面所成的角都为60，这样的平面可以有（）A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 5.如图，平面四边形 ABCD 中，E，F 是 AD，BD 中点，2ABADCD=，2 2BD=，90BDC=，将ABD沿对角线 BD 折起至A BD，使平面ABD平面 BCD，则四面体A BCD中，下列结论不正确的是（）高中数学 必修第四册 5/6 A.EF平面A BC B.异面直线 CD 与AB所成的角为90 C.异面直线 EF 与AC所成的角为60 D.直线AC与平面 BCD 所成的角为30 二、填空题二、填空题 6.如图，045的二面角的棱上有两点 A，B，直线 AC，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知2AB=，2AC=，4BD=，则CD=_。7.如图所示，在直角梯形 BCDF 中，90CBFBCE=，A、D 分别是 BF、CE 上的点，/AD BC，且22ABDEBCAF=（如图），将四边形 ADEF 沿 AD 折起，连接 BE、BF、CE（如图），在折起的过程中，则下列表述：/AC平面BEF；四点B、C、E、F可能共面；若EFCF，则平面ADEF 平面ABCD；平面BCE与平面BEF可能垂直，其中正确的是_。8.在边长为 2 的正方体1111ABCDABC D中，点E平面11AAB B，点F是线段1AA的中点，若1D ECF，则线段1D E的最小值为_。三、解答题三、解答题 9.如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，/ABEF，矩形ABCD和圆O所在的平面互相垂直，已知2AB=，1EF=。高中数学 必修第四册 6/6 （）求证：平面DAF 平面CBF；（）求直线AB与平面CBF所成角的大小；10.如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，ABE是等腰直角三角形，ABAE=，FAFE=，45AEF=。（1）设线段CDAE、的中点分别为PM、，求证：PM平面BCE；（2）求二面角FBDA所成角的正弦值。