2022届高考数学一轮复习第4章三角函数解三角形第4讲正余弦定理及解三角形作业试题2含解析新人教版202106302131.docx
第四讲正、余弦定理及解三角形1.2021湖北省四地七校联考在一幢20 m高的楼顶测得对面一座塔吊顶的仰角为60°,塔基的俯角为45°,如图4-4-1,那么这座塔吊的高是()A.20(1+33) m B.20(1+3) mC.10(6+2) m D.20(6+2) m 图4-4-12.2021南京市学情调研在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若2bcos C2a-c,则角B的取值范围是()A.(0,3 B.(0,23 C.3,) D.23,)3.多选题在ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,C为钝角,且c-b=2bcos A,则下列结论中正确的是()A.a2=b(b+c) B.A=2B C.0<cos A<12D.0<sin B<124.多选题在ABC中,D在线段AB上,且AD=5,BD=3,若CB=2CD,cosCDB=-55,则()A.sinBCD=310B.ABC的面积为8C.ABC的周长为8+45D.ABC为钝角三角形5.2020大同市高三调研在ABC中,B=4,BC边上的高等于13BC,则sinBAC=. 6.2021洛阳市统考在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若2c-ba=sin Ctan A-cos C.(1)求A;(2)若b=32,c=2,点D为BC的中点,求a及AD.7.2020长春市质检ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btanA,a>b.(1)求证:ABC是直角三角形.(2)若c=10,求ABC的周长的取值范围.8.2020惠州市模拟已知ABC的内角A,B,C满足sinA-sinB+sinCsinC=sinBsinA+sinB-sinC .(1)求角A;(2)若ABC的外接圆的半径为1,求ABC的面积S的最大值.9.2021江西重点中学第二次联考在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin Bsin C=3sin A,ABC的面积为332,a+b=33,则c=()A.21B.3C.21或3D.21或310.2021晋南高中联考平面四边形ABCD为凸四边形,且A=60°,ADDC,AB=3,BD=2,则BC的取值范围为()A.72,2) B.(72,2)C.(2,7)D.72,7)11.2021福建五校第二次联考锐角ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c且a=1, bcos A-cos B=1,若A,B变化时,sin B-2sin2A存在最大值,则正数的取值范围是()A.(0,33)B.(0,12)C.(33,22)D.(12,1)12.2020四川五校联考在ABC中,角A的平分线交BC于点D,BD=2CD=2,则ABC面积的最大值为()A.32B.22C.3D.413.2020陕西省百校联考在ABC中,D为AC的中点,若AB=463,BC=2,BD=5,则cosABC=,sin C=. 14.2020福建宁德模拟海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象,被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”,我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞.若要测量如图4-4-2所示的海洋蓝洞的口径(即A,B两点间的距离),现取两点C,D,测得CD=80 m,ADB=135°,BDC=DCA=15°,ACB=120°,则图4-4-2中海洋蓝洞的口径为m. 图4-4-215.2021陕西百校联考已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.(1)若A2,且csin 2A=4cos Asin C,求a的值;(2)若sin A,sinB,sin C成等差数列,求B的最大值.16.在ABC中,角A与角B的内角平分线交于点I,且5+4cos(A+B)=4sin2C.(1)求角C的大小;(2)若ABC的外接圆半径为4,求ABI周长的最大值.17.在ABC中,AB=4,BC=3,则当函数f(B)=cos 2B-cos(B+3)-3sin(B+3)+5取得最小值时,AC=()A.13B.23C.4D.218.在ABC中,若sin(2-B)=cos 2A,则AC-BCAB的取值范围为()A.(-1,12)B.(13,12)C.(12,23)D.(13,23)19.2020洛阳市联考已知a,b,c分别是ABC的内角A,B,C的对边,且满足(a+b+c)(sin B+sin C-sin A)=bsin C.(1)求角A的大小;(2)设a=3,S为ABC的面积,求S+3cos Bcos C的最大值.答 案第四讲变换正、余弦定理及解三角形1.B由题图知BE的长度即所求塔吊的高.易知四边形ABCD为正方形,CD=BC=AD=20 m.在RtDCE中,EDC=60°,EC=CD·tanEDC=203(m),这座塔吊的高BE=BC+CE=(20+203) =20(1+3)(m).故选B.2.A由2bcos C2a-c及余弦定理,得2b·a2+b2-c22ab2a-c,整理,得a2+c2-b2ac1,即2cos B1,所以cos B12,所以B(0,3,故选A.3.ABD因为c-b=2bcos A,所以由余弦定理得c-b=2b·b2+c2-a22bc,因此c(c-b)=b2+c2-a2,整理得a2=b(b+c),故A选项正确;因为c-b=2bcos A,所以由正弦定理得sin C- sin B=2sin Bcos A,即sin(A+B)-sin B=2sin Bcos A,所以sin Acos B-sin Bcos A=sin B,所以sin(A-B)=sin B,由于C是钝角,所以A-B=B,即A=2B,故B选项正确;由于A=2B,且C>90°,所以0°<A<60°,0°<B<30°,因此1>cos A>12,0<sin B<12,故C选项错误,D选项正确.综上,正确的结论是ABD.4.BCD设CD=x(x>0),则CB=2x,cosCDB=9-3x26x=3-x22x=-55,得x=5.所以CD=5,CB=25,因为cosCDB=-55,所以sinCDB=1-(-55)2=255,由正弦定理得sinBCD=BD·sinBDCBC=35,故A错误;由余弦定理,得cosCBD=32+(25)2-(5)22×3×25=255,sinCBD=1-(255)2=55,故SABC=12CB·BA·sinCBD=8,故B正确;在ABC中,由余弦定理得AC=AB2+BC2-2·AB·BC·cosCBD=25,所以ABC的周长为8+45,故C正确;在ABC中,由余弦定理得cosACB=BC2+AC2-AB22BC·AC=-35,所以ACB为钝角,所以ABC为钝角三角形,故D正确.5.31010解法一记内角A,B,C的对边分别为a,b,c,作ADBC交BC于点D,则AD=13a,ABC的面积S=12×a×13a=12acsin B,可得a=322c.由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得b=102c.由正弦定理得322csinBAC=102csinB,所以sinBAC=31010.解法二作ADBC交BC于点D,则AD=13BC,设BC=3,则AD=1.由B=4,可知BD=1,则DC=2,AC=5.由正弦定理得sinBACsin4=35,所以sinBAC=35×22=31010.6.(1)由题意及正弦定理,原式可化为2sin C-sin B=sin A(sin Ctan A-cos C),即2sin C-sin (A+C)=sin A(sin Ctan A-cos C),所以2sin C-sin Acos C-cos Asin C=sin Csin2AcosA-sin Acos C,化简可得2sin C-cos Asin C=sin Csin2AcosA,因为sin C0,(此条件不能省略)所以sin2AcosA+cos A=2,即sin2A+cos2A=2cos A,所以cos A=22,又0<A<,所以A=4.(2)由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A=18+4-12=10,所以a=10.解法一因为D是BC的中点,所以BD=a2=102.又cos B=a2+c2-b22ac=-1010,所以AD2=AB2+BD2-2AB·BD·cos B=172,所以AD=172=342.解法二因为D为BC中点,所以AD=12(AB+AC),所以AD2=14(AB+AC)2,即AD2=14(AB2+AC2+2AB·AC)=14(4+18+2×32×2×22)=344,所以AD=342.7.(1)在ABC中,由正弦定理可知sin A=sin B·sinAcosA,因为sin A0,所以sin B=cos A.所以sin B=sin(A+2),所以B=A+2或B+A+2=,由a>b,知A>B,所以B+A+2=,即A+B=2,所以ABC是直角三角形.(2)ABC的周长L=10+10sin A+10cos A=10+102sin(A+4),由a>b可知,4<A<2,因此22<sin(A+4)<1,即20<L<10+102.故ABC的周长的取值范围为(20,10+102).8.(1)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则由正弦定理和已知条件,得a-b+cc=ba+b-c,化简得b2+c2-a2=bc,由余弦定理得cos A=b2+c2-a22bc=12,0<A<,A=3.(2)记ABC外接圆的半径为R,由正弦定理得asinA=2R,得a=2Rsin A=2sin3=3,由余弦定理得a2=3=b2+c2-bc2bc-bc=bc,即bc3(当且仅当b=c时取等号),故S=12bcsin A12×3×32=334(当且仅当b=c时取等号).即ABC的面积S的最大值为334.9.D因为sin Bsin C=3sin A,sin B0,所以sin C=3sinAsinB=3ab,又ABC的面积为332,所以12absin C=32a2=332,解得a=3.又a+b=33,所以b=23,sin C=32,当0<C<,所以cos C=12或cos C=-12.当cos C=12时,c=a2+b2-2abcosC=3,当cos C=-12时,c=a2+b2-2abcosC=21.故选D.10.D在ABD中,设AD=x,则由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2AB·ADcosA,即x2-3x-1=0,得AD=x=3+72.已知ADCD,A=60°,延长AB,DC交于点E,所以在RtADE中,E=30°,AE=2AD=3+7,因为AB=3,所以BE=7,所以当BCCD时,BC最短,此时,在RtBCE中,BC=12BE=72.在BDE中,BD=2,BE=7,所以BC<BE=7,所以BC的取值范围是72,7).故选D.11.Aa=1,bcos A-acos B=a,由正弦定理得sin B·cos A-sin A·cos B=sin A,即sin(B-A)=sin A,B-A=A或B-A=-A,B=2A或B=(舍).ABC为锐角三角形,0<A<2,0<B=2A<2,2<A+B=3A<,解得6<A<4.解法一sin B-2sin2A=sin 2A-(1-cos 2A)=sin 2A+cos 2A-=1+2sin(2A+)-(其中tan =).3<2A<2,要使sin B-2sin2A取得最大值,只需存在,满足2A+=2,0<<6,tan 0<=tan <tan 6,即0<<33.故选A.解法二sin B-2sin2A=sin 2A-2sin2A,令f(A)=sin 2A-2sin2A(6<A<4),则f '(A)=2cos 2A-2sin 2A=2cos 2A(1-tan 2A).当tan 2A<1时,f '(A)>0,f(A)单调递增,当tan 2A>1时,f '(A)<0,f(A)单调递减,当tan 2A=1时,f(A)取得最大值,1=tan 2A(3,+),(0,33),故选A.12.C如图D 4-4-3,由BD=2CD=2,知BC=3,由角平分线定理,得ABAC=BDCD=2,设AC=x,BAC=2,(0,2),则AB=2x,由余弦定理,得32=4x2+x2-2·2x·x·cos 2,即x2=95-4cos2.图D 4-4-3SABC=12·2x·x·sin 2=x2·sin 2=9sin25-4cos2=9×2sincos5-4×(cos2-sin2)=9×2tan1+tan25-4×1-tan21+tan2=18tan1+9tan2=181tan+9tan1821tan×9tan=3,当且仅当1tan=9tan ,即tan =13时取等号.故ABC面积的最大值为3.13.66210521依题意得BD=12(BA+BC),所以BD2=14(BA+BC)2,即BA2+BC2+2BA·BC=4BD2,即(463)2+22+2×463×2cosABC=4×(5)2,解得cosABC=66,所以sinABC=306.因为(BA+BC)2+(BA-BC)2=2(BA2+BC2),所以4×(5)2+|CA|2=2(463)2+22,解得|CA|=2213.由正弦定理ABsinC=ACsinABC,得sin C=AB·sinABCAC=210521.14.805由已知得,在ACD中,ACD=15°,ADC=150°, 所以DAC=15°,由正弦定理得AC=80sin150°sin15°=406-24=40(6+2)(m).在BCD中,BDC=15°,BCD=135°,所以DBC=30°,由正弦定理CDsinCBD=BCsinBDC,得BC=CDsinBDCsinCBD=80×sin15°12=160sin 15°=40(6-2)(m).在ABC中,由余弦定理,得AB2=1 600×(8+43)+1 600×(8-43)+2×1 600×(6+2)×(6-2)×12=1 600×16+1 600×4=1 600×20=32 000,解得AB=805 m.故题图中海洋蓝洞的口径为805 m.15.(1)因为csin 2A=4cos Asin C,所以2csin Acos A=4cos Asin C,因为A2,所以cos A0,所以csin A=2sin C,所以c=2sinCsinA=2ca,所以a=2.(2)因为sin A,sinB,sin C成等差数列,所以2sin B=sin A+sin C,由正弦定理可得2b=a+c,由余弦定理可得cos B=a2+c2-b22ac=a2+c2-(a+c2)22ac=3a24+3c24-ac22ac=38(ca+ac)-14.因为ca>0,ac>0,所以cos B=38(ca+ac)-1438×2ca·ac-14=12,当且仅当ca=ac,即a=c时,“=”成立.因为cos B<1,所以cos B12,1),因为B(0,),(角B的范围要写上)所以B(0,3,所以B的最大值为3.16.(1)A+B+C=,A+B=-C,cos(A+B)=-cos C.5+4cos(A+B)=4sin2C,5-4cos C=4(1-cos2C),即4cos2C-4cos C+1=0,解得cos C=12,又0<C<,C=3.(2)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,ABC的外接圆半径为4,由正弦定理得csinC=8.C=3,c=43,ABC+BAC=23,又角A与角B的内角平分线交于点I,ABI+BAI=3,AIB=23.设ABI=,则0<<3,BAI=3-.在ABI中,由正弦定理BIsin(3-)=AIsin=ABsinAIB=8,得BI=8sin(3-),AI=8sin ,ABI的周长为43+8sin(3-)+8sin =8sin(+3)+43.0<<3,3<+3<23,当+3=2,即=6时,ABI的周长取得最大值,为8+43,ABI周长的最大值为8+43.17.A由题意知函数f(B)=2cos2B-1-2cos(B+3-3)+5=2cos2B-2cos B+4=2(cos B-12)2+72,所以当cos B=12时,函数f(B)取得最小值,此时,由余弦定理,得AC=AB2+BC2-2AB·BCcosB=42+32-2×4×3×12=13.18.B因为sin(2-B)=cos 2A,所以cos B=cos 2A,又A,B,C为ABC的内角,所以B=2A,A3.由正弦定理得AC-BCAB=sinB-sinAsinC=sinB-sinAsin(A+B)=sin2A-sinAsinAcos2A+cosAsin2A=2sinAcosA-sinAsinA(2cos2A-1)+2sinAcos2A=2cosA-14cos2A-1=12cosA+1,由0<B<,0<C<,得0<2A<,0<-3A<,得0<A<3,故12<cos A<1,所以AC-BCAB的取值范围为(13,12),故选B.19.(1)(a+b+c)(sin B+sin C-sin A)=bsin C,由正弦定理,得(a+b+c)(b+c-a)=bc,即b2+c2-a2=-bc.由余弦定理,得cos A=b2+c2-a22bc=-12.又A(0,),A=23.(2)根据a=3,A=23及正弦定理可得bsinB=csinC=asinA=332=2,b=2sin B,c=2sin C,S=12bcsin A=12×2sin B×2sin C×32=3sin Bsin C,S+3cos Bcos C=3sin Bsin C+3cos Bcos C=3cos(B-C).故当B=C,B+C=3,即B=C=6时,S+3cos Bcos C取得最大值3.
