2021_2022学年新教材高中数学第5章函数应用1.1利用函数性质判定方程解的存在性课后训练巩固提升含解析北师大版必修第一册20210604245.docx
1.1利用函数性质判定方程解的存在性课后训练·巩固提升一、A组1.若函数y=f(x)是R上的增函数,则函数y=f(x)的零点()A.至少有一个B.至多有一个C.有且只有一个D.可能有无数个解析:由于函数y=f(x)是R上的增函数,所以函数的图象最多与x轴有一个交点,即函数y=f(x)的零点至多有一个.故选B.答案:B2.函数y=x+1的图象与x轴的交点坐标及其零点分别是()A.-1,(-1,0)B.(-1,0),0C.(-1,0),-1D.-1,-1解析:由y=x+1=0,得x=-1,故交点坐标为(-1,0),零点是-1.答案:C3.已知函数f(x)的图象是连续不断的,且x,f(x)有如下的对应值表:x123456f(x)123.5621.45-7.8211.57-53.76-126.49则函数f(x)在区间1,6上的零点有()A.两个B.3个C.至多两个D.至少3个解析:由x,f(x)的对应值表可知f(2)·f(3)<0,f(3)·f(4)<0,f(4)·f(5)<0.由零点存在定理,可知f(x)在区间(2,3),(3,4),(4,5)上均存在零点,故f(x)在区间1,6上至少有3个零点.答案:D4.已知函数f(x)=ax2+bx+c,若f(1)>0,f(2)<0,则f(x)在(1,2)上零点的个数为()A.至多有一个B.有一个或两个C.有且仅有一个D.一个也没有解析:若a=0,则f(x)=bx+c是一次函数,由f(1)·f(2)<0得零点只有一个;若a0,则f(x)=ax2+bx+c为一元二次函数,若f(x)在区间(1,2)上有两个零点,则必有f(1)·f(2)>0,与已知矛盾.故f(x)在区间(1,2)上有且仅有一个零点.答案:C5.若函数f(x)唯一的零点在区间(1,3)或区间(1,4)或区间(1,5)内,则函数f(x)的零点在区间(1,2)或区间(2,3)内;函数f(x)在区间(3,5)内无零点;函数f(x)在区间(2,5)内有零点;函数f(x)在区间(2,4)内不一定有零点;函数f(x)的零点必在区间(1,5)内.以上说法错误的是.(将序号填在横线上) 解析:由于三个区间是包含关系,而区间(1,5)范围最大,所以零点可能在区间(1,5)的任何一个子区间内,故错误.答案:6.函数f(x)=2x-3的零点在区间(k,k+1)内,则整数k的值为. 解析:由题意得f(k)f(k+1)=(2k-3)(2k-1)<0,解得12<k<32.又因为k为整数,故k=1.答案:17.已知函数f(x)=3mx-4,若在区间-2,0上存在x0,使f(x0)=0,则实数m的取值范围是. 解析:因为函数f(x)在区间-2,0上存在零点x0使f(x0)=0,且f(x)单调,所以f(-2)·f(0)0,即(-6m-4)×(-4)0,解得m-23.所以,实数m的取值范围是-,-23.答案:-,-238.若方程ax-x-a=0(a>0,且a1)有两个实数解,则实数a的取值范围是. 解析:在同一平面直角坐标系中画出函数y=ax与函数y=x+a的图象(图略),由图象可知,当a>1时,它们有两个交点,即方程ax-x-a=0有两个实数解.当0<a<1时,它们有一个交点,即方程有一个实数根.故实数a的取值范围是(1,+).答案:(1,+)9.(1)求函数y=4x+3·2x-4的零点;(2)已知函数f(x)=x2-|x|+3+a有4个零点,求实数a的取值范围.解:(1)令y=0,得4x+3·2x-4=0,即(2x)2+3·2x-4=0,所以(2x-1)(2x+4)=0,则2x=1,或2x=-4,因为2x>0,所以2x=1,得x=0,即函数y=4x+3·2x-4的零点是0.(2)设g(x)=x2-|x|+3,则g(x)=x2-x+3,x0,x2+x+3,x<0.画出其图象如图.函数f(x)有4个零点,即方程g(x)+a=0有4个实根,即函数y=g(x)与y=-a的图象有4个交点,由图知114<-a<3,解得-3<a<-114.故实数a的取值范围为-3,-114.10.已知函数f(x)=-3x2+2x-m+1.(1)当m为何值时,函数f(x)有两个零点、一个零点、无零点?(2)若函数恰有一个零点在原点处,求m的值.解:(1)函数f(x)有两个零点,则对应方程-3x2+2x-m+1=0有两个不相等的实数根,易知>0,即4+12(1-m)>0,解得m<43;由=0,可解得m=43;由<0,可解得m>43.故当m<43时,函数f(x)有两个零点;当m=43时,函数f(x)有一个零点;当m>43时,函数f(x)无零点.(2)因为0是对应方程的根,所以有1-m=0,解得m=1.二、B组1.已知a是函数f(x)=3x-log13x的零点,若0<x0<a,则f(x0)的值满足()A.f(x0)<0B.f(x0)>0C.f(x0)=0D.f(x0)的符号不确定解析:因为f(x)=3x-log13x=3x+log3x,所以f(x)在区间(0,+)上是增函数.又因为0<x0<a,所以f(x0)<f(a)=0.故选A.答案:A2.函数y=f(x)=x2+2x-3,x0,-2+lnx,x>0零点的个数为()A.1B.2C.3D.4解析:画出函数f(x)=x2+2x-3,x0,-2+lnx,x>0的图象如图所示.由图可知,f(x)的零点个数为2.答案:B3.函数y=f(x)与函数y=2x-3的图象关于直线y=x对称,则函数y=f(x)与直线y=x的一个交点位于区间()内.A.(-2,-1)B.(2,3)C.(1,2)D.(-1,0)解析:y=2x-3的反函数为y=log2(x+3)(x>-3),即函数y=f(x)=log2(x+3)(x>-3),在同一平面直角坐标系中,画出函数f(x)=log2(x+3)(x>-3)和函数y=x的图象,如图,由图可得,两函数图象的交点分别位于区间(-3,-2与区间(2,3)内,故选B.答案:B4.已知函数f(x)=x,x0,x2-x,x>0,若函数g(x)=f(x)-m有3个不同的零点,则实数m的取值范围为. 解析:令g(x)=f(x)-m=0,得f(x)=m.由题意,函数f(x)与y=m的图象有3个不同的交点.在同一平面直角坐标系中,画出函数f(x)与y=m的图象,如图.由图可知,当-14<m<0时,两函数图象有3个不同的交点,故实数m的取值范围为-14<m<0.答案:-14<m<05.已知符号函数sgn(x)=1,x>0,0,x=0,-1,x<0,则函数f(x)=sgn(lnx)-lnx的零点有个. 解析:由题意知f(x)=1-lnx,x>1,0,x=1,-1-lnx,0<x<1.其图象如图,由图象可知,函数f(x)有3个零点.答案:36.已知y=f(x)是定义域为R的奇函数,当x0,+)时,f(x)=x2-2x.(1)写出函数y=f(x)的解析式;(2)若方程f(x)=a恰有3个不同的解,求实数a的取值范围.解:(1)当x(-,0)时,-x(0,+),因为y=f(x)是奇函数,所以当x(-,0)时,f(x)=-f(-x)=-(-x)2-2(-x)=-x2-2x,所以f(x)=x2-2x,x0,-x2-2x,x<0.(2)当x0,+)时,f(x)=x2-2x=(x-1)2-1,最小值为-1;当x(-,0)时,f(x)=-x2-2x=1-(x+1)2,最大值为1.所以据此可画出函数y=f(x)的图象,如图所示.由图可得,若方程f(x)=a恰有3个不同的解,实数a的取值范围是(-1,1).7.已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx(kR)为偶函数.(1)求k的值;(2)若方程f(x)=log4(a·2x-a)有且仅有一个根,求实数a的取值范围.解:(1)因为f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x).即log4(4-x+1)-kx=log4(4x+1)+kx,所以log44x+14x-log4(4x+1)=2kx,所以(2k+1)x=0,因为x不恒为0,所以k=-12.(2)由(1)知,f(x)=log4(4x+1)-12x,所以f(x)=log4(a·2x-a),即log4(4x+1)-12x=log4(a·2x-a),整理得log4(4x+1)=log4(a·2x-a)2x,所以4x+1=(a·2x-a)·2x,(*)令t=2x>0,则(*)变为(1-a)t2+at+1=0(*)只需其仅有一正根.当a=1时,t=-1不合题意;当(*)式有一正一负根时,需有=a2-4(1-a)>0,11-a<0,得a>1.当(*)式有两相等的正根时,需有=a2-4(1-a)=0,-a1-a>0,解得a=-2-22.综上所述,实数a的取值范围为a|a>1,或a=-2-22.8.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c.(1)若a>b>c,且f(1)=0,试证明f(x)必有两个零点;(2)设x1,x2R,x1<x2,且f(x1)f(x2),若方程f(x)=12f(x1)+f(x2)有两个不等实根,试证明必有一个实根属于区间(x1,x2).证明:(1)f(1)=0,a+b+c=0.又a>b>c,a>0,c<0,即ac<0.=b2-4ac-4ac>0.方程ax2+bx+c=0必有两个不等实根,f(x)必有两个零点.(2)令g(x)=f(x)-12f(x1)+f(x2),则g(x1)=f(x1)-12f(x1)+f(x2)=12f(x1)-f(x2),g(x2)=f(x2)-12f(x1)+f(x2)=12f(x2)-f(x1).g(x1)g(x2)=-14f(x1)-f(x2)2,且f(x1)f(x2),g(x1)g(x2)<0.g(x)=0在区间(x1,x2)内必有一实根.即方程f(x)=12f(x1)+f(x2)必有一个实根属于区间(x1,x2).
