数学试题的命制方法一例(《中学数学教学参考》投稿).doc

命题工作富有挑战性、富有开创性，是艰辛而漫长创造的过程.教师应该学会赏析试题，学习命制试题.可谓，解题难，命题更难，且做且珍惜！一道质检试题的命制心路与随想“从特殊到一般，再从一般到特殊”是常见的数学试题命制方法，也就是说从一些特例归纳出一般性结论，再从一般性结论出发构造特例问题.笔者参与了泉州市2014届高中毕业班质检的命题工作，在一道创新型试题的命制历程中，感触颇深.下面谈谈该试题的命制心路与感想，与同行们交流探讨.1试题内容再现1.1题目如图1，对于曲线所在平面内的点，若存在以为顶点的角，使得对于曲线上的任意两个不同的点恒成立，则称角为曲线的相对于点的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线的相对于点的“确界角”.已知曲线：（其中是自然对数的底数），为坐标原点，则曲线的相对于点的“确界角”为（）ABCD 1.2解析由“确界角”的定义可知，曲线相对于点的“确界角”的两边所在直线就是它的渐近线或经过点曲线的切线.（1）当时，方程可化为，所对应的曲线是双曲线的一部分，其渐近线为直线，设其倾斜角为，则；（2）当时，曲线存在过点的切线，设切点，则又，所以，整理得.令，则，所以在上为增函数，且，从而关于的方程的根为.所以过点曲线的切线的斜率.设切线的倾斜角为，则，因为曲线相对点的“确界角”的大小，且.又由，所以曲线相对点的“确界角”的大小，所以答案是B.2试题命制心路2.1归纳从具体到抽象，从特殊到一般笔者在命题过程中，考虑到试卷的权重，需要一个考查有关双曲线的试题，计划安排在选择题的最后一题，具有一定的“压轴”效果.左思右想，分析了双曲线的性质与图形特征，注意到双曲线的渐近线刻画了其“开口”的大小，从而产生一个想法，以渐近线的这个几何特征下一个有关角的新定义，以这个定义为基础考查双曲线与其它知识融合交汇.通过研究，发现如果一条曲线在由一个定点引出的角的内部，则这样的角有无数多个，而且必定存在一个最小角.此时，突然想到这个最小角的特征与数学中的“上确界”的概念类似，从而引入了“确界角”的概念，初步作如下定义.如图1，若曲线在顶点为的角的内部，分别是曲线上相异的任意两点，且，我们把满足条件的最小角叫做曲线相对于点的“确界角”.2.2演绎从抽象到具体，从一般到特殊2.2.1类比双曲线，构造“新”的曲线作为具有压轴作用的试题，应该具有较高度的知识交汇，因此设想以分段函数的图象为背景，构造曲线，其中曲线的一部分是双曲线，另一部分也是存在渐近线的曲线.首先进入脑海的是函数.从而考虑在“确界角”的概念基础上，结合双曲线和函数命制试题，得到题目1.题目1如图1，若曲线在顶点为的角的内部，分别是曲线上相异的任意两点，且，我们把满足条件的最小角叫做曲线相对于点的“确界角”.已知为坐标原点，曲线的方程为，那么它相对点的“确界角”等于（）ABCD2.2.2 变换曲线形式，加大试题难度考虑到基础较好的学生可能很熟悉上述曲线的方程形式，达不到压轴的效果，因此，设想将曲线变换为关于直线对称的曲线，得到形式较新的曲线，同时也考查了化归与转化思想，以及学生思维的灵活性，得到题目2.题目2如图1，若曲线在顶点为的角的内部，分别是曲线上相异的任意两点，且，我们把满足条件的最小角叫做曲线相对于点的“确界角”.已知为坐标原点，曲线的方程为，那么它相对点的“确界角”等于（）ABCD2.2.3研读考试说明，变换考查内容研讨考试说明，笔者和命组老师认为考查“对勾”函数有超纲嫌疑，应该考查主干知识.因此我们设想从圆和二次函数两个角度构造曲线，从而得到了题目3和题目4.题目3如图1，若曲线在顶点为的角的内部，分别是曲线上相异的任意两点，且，我们把满足条件的最小角叫做曲线相对于点的“确界角”.已知为坐标原点，曲线的方程为，那么它相对点的“确界角”等于（）ABCD设计意图：考查双曲线、直线与圆以及直线的斜率与倾斜角等知识；考查函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想及有限与无限思想等；考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等.题目4如图1，若曲线在顶点为的角的内部，分别是曲线上相异的任意两点，且，我们把满足条件的最小角叫做曲线相对于点的“确界角”.已知为坐标原点，曲线的方程为，那么它相对点的“确界角”等于（）ABCD设计意图：考查双曲线、二次函数、导数、直线的斜率与倾斜角等知识，可利用导数或方程思想解决切线问题，让学生在求解时多一点思维空间.考查函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想及有限与无限思想等；考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等.2.2.4定位思想方法，加大试题难度题目3和题目4虽然在知识与方法的考查上定位在主干知识上，但在难度方面有所欠缺.因此，笔者又想到在考查知识的基础上，注意思想方法的考查，使该题具有压轴的“份量”.于是，设想设置“确界角”的两边所在的直线的倾斜角为“一般角”，且“确界角”为特殊角，同时也要考虑方程的“形式美”，使得一个试题不但具有考查价值，而且具有欣赏价值.基上以上设想，笔者努力地探寻一个凹（凸）函数，它满足：是一个整数；也是一个整数；的图象在点的切线恰好过原点.通过对不断地探究，发现具备以上条件.从而最终得到题目.2.2.5推敲文字表述，规范“确界角”的概念在确定试题承载的曲线后，笔者再仔细地推敲文字表述，感觉对“确界角”的定义表述不够通顺简洁，“确界角”的概念应明确顶点和大小，所以对“新定义”的表述形式作了修正，最终成题.3试题编命制后随想3.1试题的评价功能本题考查了双曲线的渐近线、导数的几何意义、直线的斜率与倾斜角、三角函数等知识；考查数形结合思想、函数与方程思想、分类与整合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想、有限与无限思想及创新意识等；考查了学生的数学素养等.具有一定的难度，能够起到“压轴”的效果.3.2试题的导向功能3.2.1重视数学的本质数学的学习应重视数学的本质，试题的命制源于双曲线，“高于”双曲线.试图从双曲线的渐近线本质特征出发，“自然地”抽象出“确界角”的概念，达到“青出于蓝而胜于蓝”的效果.3.2.2重视基本数学思想试题考查了数形结合思想、函数与方程思想、分类与整合思想、化归与转化思想及创新意识等数学思想与方法，体现了“多思少算”的高考命题理念.3.2.3重视创新意识与自学能力试题中提出了“确界角”的新概念，学生在作答时首先必须准确理解这一新概念，并利用新概念进行解题.从而引导我们在教学活动中应培养学生的创新意识与自学能力.3.3试题的命制方法命题是数学老师们平时教学活动的一个重要环节，也是艰辛而又富有挑战性的工作.一份好的试卷或一个好的题倘若能发挥出其应有的功能，往往对提高教学的有效性是大有裨益的.那么，试题的命制有什么一般的方法吗？从以上试题的命制实例中，可以看出，充分利用并挖掘教材，“从特殊到一般，再从一般到特殊”，这是常用的试题命制方法之一.也就是说，我们往往先研究某类对象，从中抽象这类对象的特征，得到一般性结论，再将一般性结论具体化或特殊化，编制出新的试题.