数学论文《导数题中“任意、存在”型的归纳辨析》.doc

导数题任意以及存在的分类解析 导数题是高考题中的常客，而且大都以压轴题的面目出现，所以拿下导数题是迈入高分段的标志。导数题虽年年有，但却悄然之中发生着些改变。这其中，尤以关于“任意”、“存在”的内容最为明显。“任意”、“存在”可以说是导数题最为明显的特色，从早期单一型，发展到现今的混合型。下面对此作一归纳。 一单一函数单一“任意”型例1已知函数的最小值为,其中。(1)求的值；(2)若对任意的,有成立,求实数的最小值。解析：(1)，在单调递减，在单调递增，所。（2）设，则问题等价于对恒成立，即。因为当时，时，所以。由，若，则当时，单调递减，矛盾。从而，解得。即实数的最小值是。 点评：“任意”的意思是不管取给定集合中的哪一个值，得到的函数值都要满足给定的不等式，它有两种形式：“对任意的，恒成立”等价于“当时，”；“对任意的，恒成立”等价于“当时，”。二单一函数单一“存在”型例2. 已知函数()，若存在，使得成立，求实数的取值范围。解析：。，且等号不能同时取，所以，即，因而，令，又，当时，从而（仅当x=1时取等号），所以在上为增函数，故的最小值为，所以a的取值范围是点评：“存在”的意思是取遍给定集合中的每一个值，都至少有一个函数值满足给定的不等式，它有两种形式：“存在，使得成立”等价于“当时，”；“存在，使得成立”等价于“当时，”。三单一函数双“任意”型例3. 设函数。（1）当时，讨论函数的单调性；（2）若对任意及任意，恒有 成立，求实数的取值范围。解析：（1），当，即时， 在上是减函数；当，即时，令，得或；令得。当，即时，令得或 令得。综上，当时，在定义域上是减函数；当时，在和单调递减，在上单调递增；当时，在和单调递减，在上单调递（2）由（1）知，当时，在上单调递减，当时，有最大值，当时，有最小值， 由得，所以。点评：“任意，恒有”等价于“大于 ”，而。例4.已知函数。（1）讨论函数的单调性；（2）设.如果对任意，求的取值范围。解析：（1）的定义域为（0，+）. ，当时，0，故在（0，+）单调增加；当时，0，故在（0，+）单调减少；当-10时，令=0，解得。则当时，0；时，0。故在单调增加，在单调减少。（2）不妨假设，而-1，由（）知在（0，+）单调减少，从而，等价于，。（*）令，则（*）等价于在单调递减，即 。从而故a的取值范围为。 点评：本题容易得出的错误。因为等式两边都有变量，一边变化会引起另一边变化，这种情况要将等式两边移至一边，通过分离变量，来构造新的函数以达到解题的目的。四单一函数双“存在”型例5设是函数的一个极值点。（1）求与的关系式（用表示），并求的单调区间；（2）设，。若存在使得成立，求的取值范围。解析：（1），则，解得。，令，得，由于是极值点，所以，得。所以当时，在上单调递减，在上单调递增减，在上单调递增减；当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减。（2）由（1）可知，当时，在区间上的单调递增，在区间上单调递减，那么在区间上的值域是，而，那么在上的值域为。又在上是增函数，所以它在上的值域是，由于，所以只须且只须且，解得。故的取值范围是。点评：“存在使得”等价于“”，而要通过与的值域来得到。五双函数“任意”+“存在”型： 例5已知函数，若存在，对任意，总有成立，求实数m的取值范围。解析：题意等价于在上的最大值大于或等于在上的最大值。，由得，或，当时， ，当时，所以在（0，1）上，。又在上的最大值为，所以有，所以实数的取值范围是。点评：，使得成立。同样，使得成立。例6设函数（1）求的单调区间（2）设，函数若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围解析：（1） ，令，即，解得：，的单增区间为；单调减区间为和。（2）由（1）可知当时，单调递增，当时，即；又，且，当时，单调递减，当时，即，又对于任意，总存在，使得成立， 即，解得：点评：“对任意，存在，使得成立”等价于“的值域包含于的值域”。六双函数“任意”+“任意”型例7设，（1）如果存在，使得成立，求满足上述条件的最大整数；（2）如果对任意的，都有成立，求实数的取值范围。解析：（1）存在，使得成立等价于。由，可得在单调递减，在上单调递增，所以=，所以，从而满足条件的最大整数。（2）由，得在上的最大值为1.则对任意的，都有成立等价于对恒成立，也等价于对恒成立。记，。记，由于，, 所以在上递减，当时，时，即函数在区间上递增，在区间上递减，所以，所以。点评：，使得成立七双函数“存在”+“存在”型例8已知函数，。若存在，使，求实数取值范围。解析：，在上单调递增，在上单调递减，。依题意有，所以。又，从而或，解得。即实数取值范围是。 点评：，使得成立，同样，使得成立。例9已知函数，。是否存在实数，存在，使得成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.解析：在上是增函数，故对于，.设，当时，。要存在，使得成立，只要，考虑反面，若，则 或，解得或。从而所求为点评：“，使得成立”等价于“的值域与的值域相交非空”。从以上例题可以看出，导数题的发展轨迹是从单一函数往双函数发展，从单一变量往双变量甚至是多变量发展，从单一任意或存在往任意存在混合上发展。不管怎样发展，它们的基础还是单函数的任意与存在性问题。对于两个函数的问题，虽然以上例题归纳得很清楚，但真正解题中，往往还是容易迷惑。我们知道，面对两个或多个变量的时候，可以先把其中的一个当成是变量，其它的当成是常量，这样就把问题转化为单变量的常规题了。这里同样可以采取类似的方法，在和中，依次把一个当成是常量，另一个当成是变量，这样就把问题转化成了前面熟悉的单函数单任意（或存成）题了。比如“，使得成立”，就可以先把当成是常量，“，使得成立”等价于，再反过来，再把当成是常量，“，使得成立”等价于，综合以上两方面，就得出了“，使得成立”的正确结论。