微专题09 函数的单调性问题（解析版）.docx

微专题09 函数的单调性问题参考答案与试题解析一选择题（共7小题）1（2020秋威远县校级期中）已知函数，若函数在上单调递增，则实数的取值范围是ABCD【解答】解：在上单调递增，解得，的取值范围是故选：2（2020秋徐州期中）已知是上的增函数，则的取值范围是A，BCD，【解答】解：是上的增函数，解得，的取值范围是故选：3（2020西湖区校级模拟）已知函数是定义在上的单调函数，且，则（1）的值为A1B2C3D4【解答】解：根据题意，设（1），令，则（1）（1），即，再令，则，即（1），是定义在，上的单调函数，解得或，（1），（1），故舍去（1），故选：4（2021春赤峰期末）定义在上的函数满足：对于定义域上的任意，当时，恒有，则称函数为“理想函数”给出下列四个函数：； ；能被称为“理想函数”的有个A0B1C2D3【解答】解：由，内，设，可得，函数上单调递增中，而这个函数在为减函数，与函数上单调递增矛盾，所以不正确；中，所以函数上单调递增，符合“理想函数”的定义，所以正确；中，在为减函数，与题意矛盾，所以不正确；中，在为增函数，符合题意，所以正确；易知符合条件，故选：5（2020秋靖远县期末）已知函数在区间上既没有最大值也没有最小值，则实数的取值范围是A，B，C，D，【解答】解：函数在区间上既没有最大值也没有最小值根据二次函数的性质可知，函数在区间上是单调函数或或故选：6（2020西湖区校级模拟）设在定义域上是单调函数，当时，都有，则（3）的值为A2B3CD【解答】解：是定义在上的单调函数，且，是常数，设，则，解得，故选：7（2020秋浙江期中）已知函数，当，时，恒有成立，则实数的取值范围是AB，CD，【解答】解：函数，在上是单调递增函数，且满足，当，时，恒有成立，在，恒成立，即在，恒成立，即实数的取值范围是故选：二多选题（共1小题）8已知函数的图象关于对称，且对，当，时，成立，若对任意的恒成立，则的可取值为ABC1D【解答】解：因为函数的图象关于对称，所以的图象关于对称即为偶函数，因为当，时，成立，所以在，上单调递减，根据偶函数对称性可知，在上单调递增，因为，所以恒成立，当时，不等式恒成立，当时，恒成立，因为，当且仅当即时取等号，所以，即故选：三填空题（共9小题）9（2020秋郑州期中）若函数是上的单调函数，则实数的取值范围为【解答】解：根据题意函数是上的单调减函数，则要求每一段都是减的，而且每一段分段点处的函数值满足左端点函数值右端点函数值，解得，故答案为：10（2020春浦东新区校级月考）函数的递减区间是，【解答】解：，其图象如图所示，结合图象可知，函数的单调递减区间，故答案为：，11（2020秋宁波期中）若函数在区间，上是增函数，在区间，上是减函数，则实数的取值范围是【解答】解：在区间，上是增函数，故，在区间，上是减函数，对称中心在，所以，故答案为：12（2020秋余姚市校级期中）已知函数，若对任意，当时都有，则实数的最小值为【解答】解：当 时都有即：当 时都有，令：故需满足在，上是增函数即可，时，对称轴 0，解得：时，对称轴，解得：综上：故答案为：13（2020南通模拟）已知函数，则的解集是【解答】解：当时，当时，作出的图象，可得在上递增，不等式即为，或，解得或，即有则解集为故答案为：14（2013秋土默特右旗校级期中）已知函数，则满足不等式的的取值范围是，（用区间表示）【解答】解：由函数的解析式可得，函数在上是增函数，由不等式，可得，解得，故答案为：，15（2013秋红旗区校级期中）已知函数是定义在上的减函数，则满足不等式的取值范围是【解答】解：根据函数是定义在上的减函数，则由不等式，可得，解得，故答案为：16（2013秋天元区校级月考）已知函数，则满足不等式（1）的的范围是【解答】解：函数，则函数在，上是增函数，最小值为1，当时，再由不等式（1），可得，求得，故答案为：17（2020秋汉阳区校级期中）函数，在定义域上满足对任意实数都有，则的取值范围是，【解答】解：若在定义域上满足对任意实数都有，则函数，在定义域上为减函数，则，解得：，故答案为：，四解答题（共12小题）18讨论函数在的单调性，其中为非零常数【解答】解：设，且，则：；，；时，；在上为减函数；时，；在上为增函数19（2020秋东湖区校级月考）已知函数，其中为非零常数（1）若（2），求实数的值；（2）若，判断函数在区间上的单调性并证明【解答】解：（1）因为，所以（2），（2），解可得，或，证明：（2）若，则，设，则，因为，所以，所以，所以，在区间上的单调递增20（2020秋义乌市期末）定义在上的函数对于任意的，总有，且当时，且（e）（1）求（1）的值；（2）判断函数在上的单调性，并证明；【解答】解：（1）因为，令，则有（1）（1）（1），故（1）；（2）在上单调递减，证明如下：令，有，可得，则，故对任意，若，则，所以在上单调递减；21（2020秋浙江期中）已知函数，其中若，判断函数在，上的单调性，并用定义加以证明；【解答】解：（）当，函数在，上的单调递减用定义证明如下：设，则，当，函数在，上的单调递减，22已知函数对任意，总有，且当时，（1）（1）求；（2）求证：在上是减函数；（3）求在，上的最大值和最小值【解答】解：（1）令，则；（2）令，则，在上任意取，且，则，又时，即，由定义可知函数在上为单调递减函数（3）在上是减函数，在，上也是减函数又（3）（2）（1）（1）（1）（1），由可得（3），故在，上最大值为2，最小值为23（2011秋思明区校级期中）设二次函数满足条件：当时，且；在上的最小值为0（1）求（1）的值及的解析式；（2）若在，上是单调函数，求的取值范围；（3）求最大值，使得存在，只要，就有【解答】解：（1）在上恒成立，即（1），函数图象关于直线对称，（1），又在上的最小值为0，即，由，解得，；（2）由（1）得，对称轴方程为，在，上是单调函数，或，解得或或，的取值范围是或或（3）假设存在满足条件，由（1）知，且，在，上恒成立在，上递减，在，上递减，的最大值为924（2020秋桂林期末）已知函数（1）求实数的值；（2）用定义证明的单调性，并求出其最大值和最小值【解答】解：（1）（3），（2）设是区间，上的任意两个实数，则，由，得，于是，即，所以，函数在区间，上是减函数，因此，函数在区间，的两个端点分别取得最大值和最小值，即在时取得最大值，最大值是2，在时取得最小值，最小值是0.425（2020秋天津期中）已知函数，且（1）（2）（）求；（）用定义证明在区间，上单调递增【解答】解：由（1）（2）可得，解得，设，则，在区间，上单调递增26（2020浙江模拟）设函数的定义域为，其中（1）当时，写出函数的单调区间（不要求证明）；（2）若对于任意的，均有成立，求实数的取值范围【解答】解：（1）单调递增区间，单调递减区间是，（2）时，不等式成立，时，成立，等价于设时，在，上单调递增，（2），即，当时，在，上单调递增，在，上单调递减，在，上单调递增（2），（2），；当时，在，上单调递增，在，上单调递减，在上单调递减，在，上单调递增，在，上单调递增，（1）（2），且，（2），且当时，；当时，综上所述，当时，；当时，27（2020浙江校级模拟）设，（）若，求的单调区间；（）求的最小值【解答】解：（）首先，因为当时，在，上是增函数，在，上也是增函数所以当时，在，上是增函数；（）当时，由（）知，（1），当时，在，上是增函数，在，上是减函数，在，上是增函数又（1），（a），且（1）（a），解得所以当时，（1），当时，（a）综上可知，28（2020秋思明区校级期中）已知函数（1）判断函数在上的单调性，并用单调性的定义加以证明；（2）若，求函数在上的值域【解答】解：（1）根据题意，函数，设，则；当时，则，得，函数在上是减函数；同理可得，当时，函数在上是增函数；（2）当时，由（1）得在上是减函数函数在，上也是减函数，其最小值为，最大值为，由此可得，函数在，上的值域为，29（2020秋浙江期中）已知函数，其中（）当时，写出函数的减区间（）若函数在区间上既有最大值又有最小值，求，的取值范围（用表示）【解答】解：（）当时，即，所以函数的递减区间是；（），即，（图象如下）要使函数在区间内既有最大值又有最小值，则最小值一定在处取得，最大值在处取得；而（a），在区间内，函数值为时，所以；又，而在区间内函数值为时，所以（注：若答案写成，至少扣5分） 学科网（北京）股份有限公司