再谈等轴双曲线的性质.doc

再谈等轴双曲线的典型性质 江西师范大学中学数学研究月刊2000年第5期曾刊登了本人的拙作等轴双曲线的几个典型性质及其证明，文中给出并证明了具有高度对称美的等轴双曲线所独有的五个典型性质。经过本人的进一步研究，发现等轴双曲线还有另外几个典型性质。下面一一列出，并加以证明。性质一 等轴双曲线上关于实轴对称的两点分别与此双曲线两个顶点的连线互相垂直。证明：如图1，设等轴双曲线方程为两顶点为、，双曲线上关于实轴对称的两点为、，则，且、诸直线的斜率分别为：，。,，即，。性质二 等轴双曲线上一点张直角之弦平行于过此点的法线。证明：设等轴双曲线的参数方程为 ，点P的坐标为，在点P张直角之弦的两端点、的坐标分别为、，则的斜率为。同理，、的斜率分别为，。，。而过点P的法线PN的斜率为过点P的切线斜率的负倒数，。故。性质三 过等轴双曲线上任意一点的法线截实轴、虚轴所得线段中点的轨迹是此等轴双曲线本身。证明：如图2 ，设等轴双曲线上任意一点M的坐标为，则。过点M的切线方程为。由于双曲线在同一点上的切线与法线互相垂直，故可令过点M的法线方程为，将M点坐标代入，可得，此法线方程为。且此法线与实轴、虚轴都相交，故，。由此可得法线与实轴、虚轴的交点分别为、。设线段KL的中点坐标为，则，。，即线段KL的中点轨迹是等轴双曲线本身。性质四 等轴双曲线中通过焦点且平行于一对共轭直径的两条弦彼此相等。证明：如图3，设等轴双曲曲线方程为，过焦点分别与两共轭直径平行的两弦、的倾角为、（其中不妨设为锐角），则两共轭直径的斜率之积为（见“注（2）”），即，从而。设的方程为 将代入双曲线方程，得，的长度 。同理可证 的长度。所以的长度和的长度相等。注：（1）双曲线不与渐近线平行的平行弦系中点的轨迹称为双曲线的直径；（2）若双曲线的一条直径为，则其共轭直径为（限于篇幅，这里不作证明），故两条共轭直径的斜率之积为。 性质五 若等轴双曲线经过直角三角形的三个顶点，则直角顶点处的切线垂直于斜边。证明：如图4，设等轴双曲线方程为，直角三角形ABC的三顶点在等轴双曲线上，设直角顶点A的坐标为，其余两顶点为、，则直线AB、AC、BC的斜率分别为，。，。过点A的切线为，此切线的斜率为，即直角顶点A处的切线垂直于斜边BC。性质六 若等轴双曲线经过一个三角形的三个顶点，则它也经过此三角形的垂心。证明：如图5，设等轴双曲线的方程为，三个顶点在双曲线上，坐标分别为、。过点A、B的直线方程为：，AB边上的高所在直线的为：，即。同理，BC边上的高所在直线为：。从、式可以解得垂心H的坐标为，它满足等轴双曲线方程，故等轴双曲线经过这个三角形的垂心。最后，需要指出的是：将等轴双曲线的方程设成一般式还是参数式（或者），会影响到变形的繁简程度，故要视不同的条件、结论来选定。