6.2平面向量的运算-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第二册同步讲义（机构专用）.doc

6.2 平面向量的运算 知识梳理1、向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则(1)交换律：(2)结合律：减法求与的相反向量的和的运算叫做与的差三角形法则数乘求实数与向量的积的运算；当0时，的方向与的方向相同；当0时，的方向与的方向相反；当0时，；2、向量加法的多边形法则多个向量相加，利用三角形法则，应首尾顺次连接，表示从始点指向终点的向量，只关心始点、终点.3、向量（）与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使4、平面向量数量积的有关概念（1）向量的夹角：已知两个非零向量a和b，记a，b，则AOB(0180)叫做向量a与b的夹角.（2）数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则a与b的数量积(或内积)ab|a|b|cos.规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0a0.（3）数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos的乘积（4）两个向量a，b的夹角为锐角ab>0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角ab<0且a，b不共线.5、平面向量数量积的运算律（1）abba(交换律).（2）ab(ab)a(b)(结合律).（3）(ab)cacbc(分配律).6、平面向量数量积运算的常用公式（1）(ab)(ab)a2b2（2）(ab)2a22abb2（3）(ab)2a22abb2知识典例题型一 平面向量的加减法例 1如图，在平行四边形中，下列结论中错误的是（ ）ABCD【答案】C【分析】根据向量的定义及运算法则一一分析选项正误即可.【详解】在平行四边形中,显然有,故A,D正确;根据向量的平行四边形法则,可知,故B正确;根据向量的三角形法,故C错误;故选:C.巩固练习列四式不能化简为的是（ ）ABCD【答案】A【分析】根据向量的加法和减法运算，结合排除法，即可得答案；【详解】对B，故B正确；对C，故C正确；对D，故D正确；故选：A.题型二 数乘运算例 2若，为已知向量，且，则_.【答案】【分析】根据向量的数乘运算法则计算即可.【详解】，化简得，.故答案为：.巩固练习化简：（1）；（2）；（3）【详解】（1）原式；（2）原式；（3）原式题型三 共线问题例 3在中，且，则_.【答案】4【分析】利用平面向量的线性运算，求得，由此求得的值.【详解】因为，所以，所以.又，所以，所以.故答案为：4巩固练习设是不共线的两个非零向量，己知，若三点共线，则的值为( )A1B2C-2D-1【答案】D【解析】【分析】因为，故存在实数，使得，利用平面向量基本定理可得关于的方程组，从而可求.【详解】因为，故存在实数，使得，又，所以，故，故选D.题型四 投影问题例 4已知为一个单位向量，与的夹角是.若在上的投影向量为，则_.【答案】4【分析】根据平面向量数量积定义,结合投影概念即可求解.【详解】为一个单位向量,与的夹角是由平面向量数量积定义可得,根据平面向量投影定义可得,.故答案为:4巩固练习设向量满足，且，则向量在向量上的投影的数量为( )A1BCD【答案】D【分析】根据利用垂直数量积为0求得,再根据投影的公式代入求解即可.【详解】,.,向量在向量上的投影的数量为.故选：D.题型四 数量积例 4已知向量，其中，且，则向量和的夹角是_【答案】【分析】利用得，可求出，从而求出向量和的夹角.【详解】，解得:， 所以夹角为故答案为：巩固练习已知，为单位向量，且，则_【答案】【分析】根据向量的夹角公式及数量积的运算计算即可求解.【详解】因为，又，所以，故答案为：题型五 向量与三角形形状例 5点是所在平面上一点，满足，则的形状是（ ）A等腰直角三角形B直角三角形C等腰三角形D等边三角形【答案】B【分析】根据平面向量的线性运算与模长公式，可以得出，由此可判断出的形状.【详解】点是所在平面上一点，满足，则，可得，即，等式两边平方并化简得，因此，是直角三角形.故选：B.巩固练习在中，已知向量与满足且，则是( )A三边均不相同的三角形B直角三角形C等腰非等边三角形D等边三角形【答案】D【解析】【分析】和是两个单位向量，设，则是的平分线，由此可得，从而确定三角形是等腰三角形，再由，求出即可判断【详解】设，和是两个单位向量，是的平分线，由题意，是等腰三角形，即，是等边三角形，故选：D题型六 “五心”问题例 6是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，则点的轨迹一定经过的（ ）A外心B内心C重心D垂心【答案】B【分析】先根据、分别表示向量、方向上的单位向量，确定的方向与的角平分线一致，再由可得到，可得答案【详解】解：、分别表示向量、方向上的单位向量，的方向与的角平分线一致，又，向量的方向与的角平分线一致点的轨迹一定经过的内心.故选：B巩固练习已知O为内一点，若分别满足；(其中为中，角所对的边).则O依次是的( )A内心、重心、垂心、外心B外心、垂心、重心、内心C外心、内心、重心、垂心D内心、垂心、外心、重心【答案】B巩固提升1、如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，则（ ）AB0CD【答案】A【分析】根据向量加法运算法则即可求解.【详解】连接OB.由正六边形的性质，可知与都是等边三角形，四边形OABC是平行四边形，故选:A.2、在中，为的重心，为上一点，且满足，则（ ）ABCD【答案】B【分析】首先根据为的重心得到，结合以及向量的线性运算，求得的表达式.【详解】因为为的重心，所以.又，所以，所以，故选：B.3、已知，均为单位向量，它们的夹角为，那么等于（ ）ABCD4【答案】A【分析】先根据题意求出，再求出，最后求即可.【详解】解：因为，均为单位向量，它们的夹角为，所以，所以故选：A4、已知，且，则向量与向量的夹角为（ ）ABCD【答案】B【分析】根据向量垂直数量积为零，代值计算即可.【详解】因为，故可得，即，代值可得，故可得向量与向量的夹角为.故选：B.5、已知平面向量满足与的夹角为，且，则实数的值为（ ）ABCD【答案】D【分析】由已知可得，结合向量数量积的运算律，建立方程，求解即可.【详解】依题意得由，得即，解得.故选:.6、已知为单位向量，且满足，与的夹角为，则实数_.【答案】或【分析】将已知等式移项，可得，再两边平方，运用向量的数量积的定义和性质，向量的平方即为模的平方，化简整理，解方程即可得到所求值【详解】由，可得，则.由为单位向量，得，则，即，解得或.7、在中，设，则动点M的轨迹必通过的（ ）A垂心B内心C重心D外心【答案】D【分析】根据已知条件可得，整理可得，若为中点，可知，从而可知在中垂线上，可得轨迹必过三角形外心.【详解】设为中点，则 为的垂直平分线轨迹必过的外心本题正确选项：8、已知向量，且（1）求，；（2）求与的夹角及与的夹角【答案】（1），；（2），【分析】（1）由、，结合平面向量数量积的运算即可得解；（2）记与的夹角为，与的夹角为，由平面向量数量积的定义可得、，即可得解.【详解】（1）因为向量，且，所以，所以，又，所以；（2）记与的夹角为，与的夹角为，则，所以，所以9、设、满足，且与的夹角为，求：（1）；（2）；（3）.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）利用平面向量数量积的定义可计算出结果;（2）利用平面向量数量积的运算律可计算出结果;（3）由题意得出，利用平面向量数量积的运算律可得出结果.【详解】（1）由平面向量数量积的定义可得；（2）；（3）由题意得10、已知，.（1）求与的夹角；（2）求.【答案】（1）；（2）【分析】（1）由题意结合平面向量数量积的运算律可得，再由平面向量数量积的定义即可得，即可得解；（2）由题意结合平面向量数量积的知识可得，运算即可得解.【详解】（1）因为，所以，因为，所以，解得，又，所以；（2）由题意，所以.11、已知向量，满足，且，的夹角为.（1）求；（2）若，求实数的值.【答案】（1）；（2）【分析】（1）先求出，进而将展开，结合，的模，可求出答案；（2）由，将展开，并结合的值，及，的模，进而可求出的值.【详解】（1）由题意，.（2），.12、已知与的夹角为120（1）求与的值；（2）x为何值时，与垂直？【答案】（1）；（2）当时，与垂直【分析】（1）先由数量积的定义求出，由数量积的运算性质可得，将条件及的值代入，可得答案.（2）由与垂直，可得，将条件代入可求出x的值.【详解】（1）（2）因为，所以，即所以当时，与垂直