8.3列联表与独立性检验-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册同步讲义（机构专用）.doc

8.3 列联表与独立性检验 知识梳理1、简单随机抽样得到了X和Y的抽样数据列联表XY合计Y=0Y=1X=0X=1合计2、基于小概率值的检验规则是：当时，我们就推断不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过当时，我们没有充分证据推断不成立，可以认为X和Y独立这种利用的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验3、应用独立性检验解决实际问题大致应包括以下几个主要环节：（1）提出零假设：X和Y相互独立，并给出在问题中的解释；（2）根据抽样数据整理出22列联表，计算的值，并与临界值比较（3）根据检验规则得出推断结论（4）在X和Y不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析X和Y间的影响规律知识典例题型一 变量关系例 1为了判断两个分类变量X、Y是否有关系，应用独立性检验的方法算得的观测值为5，则下列说法中正确的是( )A有95%的把握认为“X和Y有关系”B有95%的把握认为“X和Y没有关系”C有99%的把握认为“X和Y有关系”D有99%的把握认为“X和Y没有关系”【答案】A【分析】利用的观测值与临界值进行比较得解.【详解】因为，所以有的把握认为“和有关系”.故选：A巩固练习若由一个列联表中的数据计算得，那么有（ ）把握认为两个变量有关系.0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828ABCD【答案】A【分析】由可对照临界值表得到结果.【详解】，有的把握认为两个变量有关系.故选：A.题型二 列联表例 2如表是一个22列联表：则表中a，b的值分别为（ ）y1y2合计x1a2173x2222547合计b46120A94，72B52，50C52，74D74，52【答案】C【分析】根据表中数据简单计算即可.【详解】a=73-21=52，b=a+22=52+22=74.故选：C.巩固练习下面是一个列联表:总计35a70151530总计50b100其中处填的值分别为_【答案】，.【分析】由列联表易得结果.【详解】由，得，得.故答案为：，.题型三 独立性检验应用例 32016年3月9日至15日，谷歌人工智能系统“阿尔法”迎战围棋冠军李世石，最终结果“阿尔法”以总比分比战胜李世石.许多人认为这场比赛是人类智慧的胜利，也有许多人持反对意见，有网友为此在某大学进行了调查，参加调查的共位学生，调查数据的列联表如下所示:持反对意见赟同总计男女总计（1）请将列联表补充完整;请根据表中数据判断，能否有的把握认为是否持反对意见与性别有关;（2）若表中持反对意见的个女学生中，个是大三学生，个是大四学生.现从这个学生中随机选个学生进行进一步调查，求这个学生是同一年级的概率.附参考公式及数据:，其中.【答案】（1）列联表见解析，有的把握认为是否持反对意见与性别有关；（2）.【分析】由已知数据得出列联表；由题可知，计算的观测值，可得出结论； 记个大三学生分别为，个大四学生分别为运用列举法列出所有事件，由古典概率公式可得答案.【详解】持反对意见赟同总计男女总计由题可知，的观测值所以有的把握认为是否持反对意见与性别有关. 记个大三学生分别为，个大四学生分别为则从中抽取个的基本事件有:，共个，其中抽取的人是同一年级的基本事件有共个，则这个学生是同一年级的概率为.巩固练习这一年来人类与新型冠状病毒的“战争”让人们逐渐明白一个道理，人类社会组织模式的差异只是小事情，病毒在地球上存在了三四十亿年，而人类的文明史不过只有几千年而已，人类无法消灭病毒，只能与之共存，或者病毒自然消亡，在病毒面前，个体自由要服从于集体或者群体生命的价值在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体内或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期，因此我们应该注意做好良好的防护措施和隔离措施某研究团队统计了某地区10000名患者的相关信息，得到如表表格：潜伏期（天）人数6001900300025001600250150（1）新冠肺炎的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与年龄的关系，通过分层抽样从10000名患者中抽取200人进行研究，完成下面的22列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为潜伏期与患者年龄有关？潜伏期天潜伏期天总计60岁以上（含60岁）15060岁以下30总计200（2）依据上述数据，将频率作为概率，且每名患者的潜伏期是否超过8天相互独立为了深入研究，该团队在这一地区抽取了20名患者，其中潜伏期不超过8天的人数最有可能是多少？附：0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）表格见解析，能；（2）16名.【分析】（1）由表中数据可知，求得潜伏期大于8天的人数，列出22列联表，利用公式求得的值，结合附表，即可得到结论；（2）求得该地区10000名患者中潜伏期不超过8天的人数，求得潜伏期不超过8天的概率，进而抽取的20名患者中潜伏期不超过8天的人数【详解】（1）由表中数据可知，潜伏期大于8天的人数为人，补充完整的22列联表如下，潜伏期天潜伏期天总计60岁以上（含60岁）1302015060岁以下302050总计16040200所以，故能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为潜伏期与患者年龄有关（2）该地区10000名患者中潜伏期不超过8天的人数为名，将频率视为概率，潜伏期不超过8天的概率为，所以抽取的20名患者中潜伏期不超过8天的人数最有可能是名巩固提升1、为了研究高中学生对乡村音乐的态度(喜欢和不喜欢两种态度)与性别的关系，运用22列联表进行独立性检验，经计算得x27.01，则认为“喜欢乡村音乐与性别有关系”的把握约为（ ）0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.828A0.1%B1%C99%D99.9%【答案】C【分析】由x27.01>6.635，对照临界值表求解即可.【详解】易知x27.01>6.635，对照临界值表知，有99%的把握认为喜欢乡村音乐与性别有关系故选：C2、某班主任对全班50名学生进行了作业量的评价调查，所得数据如表所示：认为作业量大认为作业量不大总计男生18927女生81523总计262450则认为作业量的大小与学生的性别有关的犯错误的概率不超过（ ）A0.01B0.05C0.10D无充分证据【答案】B【分析】计算，再进行判断.【详解】因为，又所以认为作业量的大小与学生的性别有关的犯错误的概率不超过0.05.故选：B3、（多选）有关独立性检验的四个命题，其中正确的是（ ）A两个变量的22列联表中，对角线上数据的乘积相差越大，说明两个变量有关系成立的可能性就越大B对分类变量X与Y的随机变量的观测值k来说，k越小，“X与Y有关系”的可信程度越小C从独立性检验可知：有95%的把握认为秃顶与患心脏病有关，我们说某人秃顶，那么他有95%的可能患有心脏病D从独立性检验可知：有99%的把握认为吸烟与患肺癌有关，是指在犯错误的概率不超过1%的前提下认为吸烟与患肺癌有关【答案】ABD【分析】根据独立性检验的原理与知识，对选项中的命题判断正误即可【详解】选项A，两个变量的22列联表中，对角线上数据的乘积相差越大，则观测值越大，两个变量有关系的可能性越大，所以选项A正确；选项B，根据的观测值越小，原假设“X与Y没关系”成立的可能性越大，则“X与Y有关系”的可信度越小，所以选项B正确；选项C，从独立性检验可知：有95%的把握认为秃顶与患心脏病有关，不表示某人秃顶他有95%的可能患有心脏病，所以选项C不正确；选项D，从独立性检验可知：有99%的把握认为吸烟与患肺癌有关，是指在犯错误的概率不超过1%的前提下认为吸烟与患肺癌有关，是独立性检验的解释，所以选项D正确.故选：ABD.4、为了判断某高中学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下22列联表：理科文科男1310女720已知P(x23.841)0.05，P(x26.635)0.01.根据表中数据，得到x24.844，则认为选修文科与性别有关系出错的概率约为_【答案】0.05【分析】直接根据表中数据计算的x2值与P(x23.841)0.05比较判断，即得结果.【详解】因为x24.844>3.841，而P(x23.841)0.05，故认为选修文科与性别有关系出错的概率约为0.05.故答案为：0.05.5、调查者通过询问72名男、女大学生在购买食品时是否看营养说明得到的数据如下表所示:大学生的性别和是否看营养说明之间_(填“有”或“没有”)关系.看营养说明不看营养说明总计男大学生28836女大学生162036总计442872【答案】有【分析】由表中的数据直接计算卡方，从而可得结论【详解】解：因为，所以有的把握认为大学生性别与购买食品时是否看营养说明之间有关，故答案为：有6、某高校统计课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表:为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到=4.844>3.841，所以有_的把握判定主修统计专业与性别有关系.专业性别非统计专业统计专业男1310女720附：【答案】95%【分析】根据独立性检验的基本思想，因为的观测值4.844>3.841，参考临界值表即可得出【详解】根据表格数据得的观测值=4.844，所以有95%的把握判定主修统计专业与性别有关系.故答案为:95%7、某学生对其30名亲属的饮食习惯进行了一次调查，依据统计所得数据可得到如下的列联表：喜欢吃蔬菜喜欢吃肉类总计50岁以下850岁以上16218总计30根据以上列联表中的数据，可得的观测值_，_（填“有”或“没有”）的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关 参考公式：，其中参考数据：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】10 有 【分析】根据列联表，求得的值，利用公式，求得的值，结合附表，即可得到结论.【详解】由列联表可得，可得，所以有的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关故答案为：；有.8、2017年3月27日，一则“清华大学要求从2017级学生开始，游泳达到一定标准才能毕业”的消息在体育界和教育界引起了巨大反响游泳作为一项重要的求生技能和运动项目受到很多人的喜爱其实，已有不少高校将游泳列为必修内容某中学为了解2018届高三学生的性别和喜爱游泳是否有关，对100名高三学生进行了问卷调查，得到如下列联表：喜欢游泳不喜欢游泳总计男生10女生20总计已知在这100人中随机抽取1人，抽到喜欢游泳的学生的概率为.（1）请将上述列联表补充完整；（2）判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关附：x20.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）表格见解析；（2）有.【分析】（1）根据概率补全列联表即可；（2）计算，再进行判断即可.【详解】（1）因为在100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为所以喜欢游泳的学生人数为.其中女生有20人，男生有40人，列联表补充如下：喜欢游泳不喜欢游泳合计男生401050女生203050合计6040100（2）因为所以有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关9、某班主任对全班50名学生的学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，得出以下列联表：积极参加班级工作不太主动参加班级工作总计学习积极性高18725学习积极性一般25总计50如果随机抽查该班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是（1）求，的值（2）试运用独立性检验的思想方法分析：能否有的把握认为学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系？并说明理由参考公式：，其中参考数据：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1），；（2）有.【分析】（1）由抽到积极参加班级工作的学生的概率是，可求出的值，然后根据表中的数据可求出的值；（2）直接利用公式求解，然后根临界值表判断即可【详解】解：（1）积极参加班级工作的学生有人，总人数为50，由抽到积极参加班级工作的学生的概率，解得，所以所以，（2）由列联表知，由，可得有的把握认为学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系