2.5直线与圆、圆与圆的位置关系-【新教材】人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册同步讲义.doc

2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系 知识梳理1、直线与圆的位置关系设圆C：(xa)2(yb)2r2，直线l：AxByC0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d，由消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为.方法位置关系几何法代数法相交d<r>0相切dr0相离d>r<02、圆与圆的位置关系设两个圆的半径分别为R，r，Rr，圆心距为d，则两圆的位置关系可用下表来表示：位置关系相离外切相交内切内含几何特征dRrdRrRrdRrdRrdRr代数特征无实数解一组实数解两组实数解一组实数解无实数解公切线条数432103、判断直线与圆的位置关系的常见方法（1）几何法：利用d与r的关系.（2）代数法：联立方程之后利用判断.（3）点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题.4、圆的切线方程（1）过圆x2y2r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0xy0yr2.（2）过圆(xa)2(yb)2r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2.（3）过圆x2y2r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0xy0yr2.（4）过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法：当斜率存在时，设为k，则切线方程为yy0k(xx0)，即kxyy0kx00，由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程；当斜率不存在时，要加以验证. 5、弦长的两种求法（1）代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程.在判别式0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长.（2）几何方法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l2.知识典例题型一弦长问题例 1已知圆截直线所得弦的长度为4，则实数（ ）A-2B-4C-6D-8【答案】B【解析】【分析】【详解】由题意：圆心，设圆心到直线的距离为，巩固练习1、（多选）已知圆的一般方程为，则下列说法正确的是（ ）A圆的圆心为B圆被轴截得的弦长为8C圆的半径为5D圆被轴截得的弦长为6【答案】ABCD【解析】【分析】将圆一般方程化为标准方程，可求得圆心和半径，即可判断AC是否正确，再令和，算出弦长可判断BD是否正确.【详解】由圆的一般方程为，则圆，故圆心为，半径为，则AC正确；令，得或，弦长为6，故D正确；令，得或，弦长为8，故B正确.故选：ABCD.2、圆截直线所得的弦长为_【答案】8题型二直线与圆例 2已知圆C的圆心为(1，1)，直线与圆C相切.（1）求圆C的标准方程；（2）若直线过点(2，3)，且被圆C所截得的弦长为2，求直线的方程.【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）利用点到直线的距离可得：圆心到直线的距离根据直线与圆相切，可得即可得出圆的标准方程（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程：，即：，可得圆心到直线的距离，又，可得：即可得出直线的方程当的斜率不存在时，代入圆的方程可得：，解得可得弦长，即可验证是否满足条件【详解】（1）圆心到直线的距离直线与圆相切，圆的标准方程为：（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程：，即：，又，解得：直线的方程为：当的斜率不存在时，代入圆的方程可得：，解得，可得弦长，满足条件综上所述的方程为：或巩固练习1、已知，则直线过定点_；若直线与圆恒有公共点，则半径r的取值范围是_.【答案】 【解析】【分析】将直线化简成点斜式的形式得：，可得直线的斜率为且经过定点，利用定点在圆内或圆上，从而得到答案【详解】解：将直线化简为点斜式，可得，直线经过定点，且斜率为即直线过定点恒过定点和圆恒有公共点，即半径的最小值是1，故答案为：；2、已知圆的方程为（1）求过点且与圆相切的直线的方程；（2）直线过点，且与圆交于、两点，若，求直线的方程；【答案】(1)或 （2）或【解析】【分析】（1）当斜率不存在时，满足题意；当斜率存在时，设，利用圆心到直线距离等于半径可构造方程求得；综合两种情况得到结果；（2）由（1）知斜率存在，设，由垂径定理可知，从而构造出关于的方程，解方程求得结果.【详解】（1）当斜率不存在时，直线方程为，与圆相切，满足题意；当斜率存在时，设直线方程为：，即圆圆心坐标为，半径圆心到直线的距离，解得：直线方程为，即综上所述：过点且与圆相切的直线的方程为：或（2）由（1）知，直线斜率存在，可设其方程为设圆心到直线距离为 即，解得：或直线的方程为或，即或题型三圆与圆例 3圆与圆内切，则的值为_.【答案】或【分析】首先根据题中圆的标准方程求出圆的圆心与半径，再根据两圆相切求出的值为.【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，所以两圆的圆心距，又因为两圆内切，有，解得或.故答案为：或.巩固练习1、两圆和的位置关系是（ ）A内切B外离C外切D相交【答案】D【解析】【分析】根据两圆方程求解出圆心和半径，从而得到圆心距；根据得到两圆相交.【详解】由题意可得两圆方程为：和则两圆圆心分别为：和；半径分别为：和则圆心距：则 两圆相交本题正确选项：2、以圆C1：x2y212x2y130和圆C2：x2y212x16y250公共弦为直径的圆的方程为_【答案】x2y24x4y170题型四圆中性质应用例 4 已知直线：与曲线有两个公共点，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【解析】【分析】画出图像,当直线过点时,求出值;当直线与曲线相切时.求出,即可得出的取值范围.【详解】画出如下图像：当直线过点时,此时直线与曲线有两个公共点;直线与曲线相切时,因此当时，直线与曲线有两个公共点.故选B巩固练习（多选）实数，满足，则下列关于的判断正确的是（ ）A的最大值为B的最小值为C的最大值为D的最小值为【答案】CD【解析】【分析】由题意可得方程为圆心是，半径为1的圆，则为圆上的点与定点的斜率的值，由点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系可得选项【详解】由题意可得方程为圆心是，半径为1的圆，则为圆上的点与定点的斜率的值，设过点的直线为，即，则圆心到到直线的距离，即，整理可得，解得，所以，即的最大值为，最小值为.故选：CD.巩固提升1、已知半径为1的动圆与圆(x5)2(y7)216相外切，则动圆圆心的轨迹方程是 ( )A(x5)2(y7)225B(x5)2(y7)29C(x5)2(y7)215D(x5)2(y7)225【答案】A【解析】设动圆圆心为，且半径为1，又圆的圆心为，半径为4，由两圆相外切，得，即动圆圆心的轨迹是以为圆心、半径为5的圆，其轨迹方程为；故选A.2、直线与圆相切，则实数等于（ ）A或B或C或D或【答案】C3、若圆的圆心到直线的距离为，则的值为_.【答案】4或2【解析】【分析】利用圆心到直线的距离构建关于的方程，解方程后可得的值.【详解】圆的圆心为，它到直线的距离为，故或.故答案为：4或2.4、过点引圆的切线，则切线长为_【答案】4.【解析】【分析】求出点到圆心的距离和圆的半径，利用勾股定理求得切线长【详解】由圆的标准方程，得到圆心坐标，半径，又点与的距离，由直线为圆的切线，得到为直角三角形，根据勾股定理得：则切线长为故答案为：45、已知圆的方程为，若圆过点，则_若圆心在直线上则_【答案】1 2 【解析】【分析】通过点的坐标代入圆的方程，得到m值；求出圆的圆心代入直线方程，即可得到m值即可.【详解】解：圆C的方程为x2+y22x2my0，若圆C过点（0，2），则44m0，解得m1；圆的圆心（1，m），圆心C在直线2xy0上，可得2m0，解得m2；故答案为：1；2.6、已知相交两圆，圆，公共弦所在直线方程为_，公共弦的长度为_.【答案】 7、已知以点为圆心的圆与直线：相切，过点的动直线与圆相交于、两点，是的中点.（1）求圆的方程；（2）当时，求直线的方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）设出圆的半径，根据以点为圆心的圆与直线相切点到直线的距离等于半径，我们可以求出圆的半径，进而得到圆的方程；（2）根据半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，满足勾股定理，我们可以结合直线过点，求出直线的斜率，进而得到直线的方程.【详解】（1）设圆的半径为，由于圆与直线相切，圆的方程为；（2）当直线与轴垂直时，易知符合题意；当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，即，连接，则，则由，得，直线故直线的方程为或.8、已知圆求该圆的圆心坐标；过点做该圆的切线，求切线的方程【答案】（1）圆心的坐标为；（2）切线的方程为【解析】【分析】根据题意，将圆的方程变形为标准方程，分析可得圆心坐标，即可得答案；根据题意，由圆的方程分析可得点恰好在圆上，求出直线AC的斜率，分析可得切线的斜率，据此分析可得答案【详解】解：根据题意，圆，其标准方程为，则其圆心的坐标为；根据题意，圆的方程为，而点恰好在圆上，又由，则切线的斜率，则切线的方程为9、已知圆过点，且与圆关于直线对称.（1）求圆的方程；（2）若直线过点,且与圆C相交于、两点，当时，求直线的方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）设圆心的坐标,由圆心与圆心关于直线对称,列出方程组求出圆心,再求半径,即可写出圆的方程;（2）设过的直线方程为,由圆心到切线的距离,与半径和代入勾股定理,即可求出斜率,再写出切线方程.【详解】解：（1）设圆心,则解得则圆C的方程为,将点代入得,故圆C的方程为;（2）设过的直线方程为,即：由圆心到直线的距离,半径和代入,解得或;所以直线的方程为或.【点睛】本题考查了直线和圆的方程的应用问题,也考查了点到直线的距离公式以及关于直线对称的圆的方程问题,是综合性题目.10、已知曲线表示一个圆.（1）求实数m的取值范围；（2）当时，若圆C与直线交于A，B两点（其中C为圆心），是直角三角形，求实数a的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据方程表示圆的条件，列式即可解出；（2）先由圆的方程求出圆心和半径，再根据题意以及圆的几何知识可知，圆心到直线的距离为，列式即可解出【详解】（1）由题意可知， 即，（2），即可知圆心坐标为，半径是直角三角形， 即，化简得