10.1随机事件与概率-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册同步讲义（机构专用）.doc

10.1 随机事件与概率 知识梳理1、我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间，用表示样本空间，用表示样本点。2、将样本空间的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件，随机事件一般用大写字母A，B，C，.表示。在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生。作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以总会发生，我们称为必然事件。而空集不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称为不可能事件。3、事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件（或和事件），记作4、事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件（或积事件），记作5、如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说是一个不可能事件，即，则称事件A与事件B互斥（或互不相容）6、如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即，且，那么称事件A与事件B互为对立。事件A的对立事件记为7、总结：8、古典概型（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（2）各基本事件的出现是等可能的，即它们发生的概率相同我们把具有这两个特征的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型注意：在“等可能性”概念的基础上，很多实际问题符合或近似符合这两个条件，可以作为古典概型来看待（3）P(A).例如：掷一骰子正面向上点数是3的倍数的概率是知识典例题型一 事件例 1（多选）下列事件中，是随机事件的是（ ）A年月日，北京市不下雨B在标准大气压下，水在时结冰C从标有，的张号签中任取一张，恰为号签D若，则【答案】AC【分析】根据事件的概念进行判断，在某次实验中可能发生也可能不发生的事件成为随机事件【详解】A选项与C选项为随机事件，B为不可能事件，D为必然事件故选：AC巩固练习给出下列四个命题：“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件；“当x为某一实数时，可使x20”是不可能事件；“明天天津市要下雨”是必然事件；“从100个灯泡(含有10个次品)中取出5个，5个全是次品”是随机事件其中正确命题的个数是（ ）A0B1C2D3【答案】C【分析】利用必然事件的概念可以判断是正确的命题，是偶然事件，利用不可能事件的概念判断正确，利用随机事件的概念判断正确.【详解】对于，三个球全部放入两个盒子，有两种情况：1+2和3+0，故必有一个盒子有一个以上的球，所以该事件是必然事件，正确；对于，x=0时x2=0，所以该事件不是不可能事件，错误；对于，“明天天津市要下雨”是偶然事件，所以该事件是随机事件，错误；对于，“从100个灯泡(含有10个次品)中取出5个，5个全是次品”，发生与否是随机的，所以该事件是随机事件，正确故正确命题有2个.故选：C题型二 样本空间例 2笼子中有4只鸡和3只兔，依次取出一只，直到3只兔全部取出.记录剩下动物的脚数.则该试验的样本空间_.【答案】【分析】由取动物的次数来确定样本点。【详解】解析：最少需要取3次，最多需要取7次，那么剩余鸡的只数最多4只，最少0只，所以剩余动物的脚数可能是8，6，4，2，0.故答案为：巩固练习在掷骰子的试验中，记一枚骰子向上的点数为样本点，则样本空间，的子集可以确定一系列随机事件.问题（1）此随机试验中的基本事件有哪些？（2）设事件出现的点数大于3，如何用基本事件表示事件D？（3）设事件出现的点数大于3，事件出现的点数小于5，如何用基本事件表示事件？【答案】（1）见解析；（2）;（3）.【分析】（1）基本事件就是向上的点数，用大括号括起来可得；（2）点数为4,5,6和事件组成，可用（1）中的相加；（3）既大于3又小于5的点数只有4，由此可知【详解】（1）基本事件有，共6个.（2）事件D可由基本事件的和表示，即.（3）.题型三 互斥事件与对立事件例 3(多选)从装有大小和形状完全相同的5个红球和3个白球的口袋内任取3个球,那么下列各对事件中,互斥而不对立的是（ ）A至少有1个红球与都是红球B至少有1个红球与至少有1个白球C恰有1个红球与恰有2个红球D至多有1个红球与恰有2个红球【答案】CD【分析】根据互斥不对立事件的定义辨析即可.【详解】根据互斥事件与对立事件的定义判断.A中两事件不是互斥事件,事件“3个球都是红球”是两事件的交事件;B中两事件能同时发生,如“恰有1个红球和2个白球”,故不是互斥事件;C中两事件是互斥而不对立事件;至多有1个红球,即有0个或1个红球,与恰有2个红球互斥,除此还有3个都是红球的情况,因此它们不对立,D符合题意.故选：CD巩固练习某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，那么下列对立的两个事件是（ ）A“至少1名男生”与“至少有1名是女生”B恰好有1名男生”与“恰好2名女生”C“至少1名男生”与“全是男生”D“至少1名男生”与“全是女生”【答案】D【解析】从3名男生和2名女生中任选2名学生参加演讲比赛，“至少1名男生”与“至少有1名是女生”不互斥；“恰好有1名男生”与“恰好2名女生”是互斥不对立事件；“至少1名男生”与“全是男生”不互斥；“至少1名男生”与“全是女生”是对立事件；故选D题型四 古典概型例 4某服务电话，打进的电话响第1声时被接的概率是0.1；响第2声时被接的概率是0.2；响第3声时被接的概率是0.3；响第4声时被接的概率是0.35.（1）打进的电话在响5声之前被接的概率是多少？（2）打进的电话响4声而不被接的概率是多少？【答案】（1）； （2）.【分析】（1）利用互斥事件有一个发生的概率加法公式求得结果；（2）利用对立事件的概率公式进行求解即可得结果.【详解】（1）设事件“电话响第声时被接”为，那么事件彼此互斥，设“打进的电话在响5声之前被接”为事件，根据互斥事件概率加法公式，得 .（2）事件“打进的电话响4声而不被接”是事件“打进的电话在响5声之前被接”的对立事件，记为.根据对立事件的概率公式，得.巩固练习在抛掷一颗骰子的试验中，事件A表示“不大于4的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则事件A+发生的概率为_（表示的对立事件）【答案】【分析】由题意知试验发生包含的所有事件是6，事件和事件是互斥事件，求出事件和事件包含的基本事件数，根据互斥事件和古典概型概率公式得到结果【详解】随机抛掷一颗骰子一次共有6中不同的结果，其中事件 “出现不大于4的偶数点”包括2，4两种结果，事件 “出现小于5的点数”的对立事件，且事件和事件是互斥事件，故答案为：巩固提升1、（多选）在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，下列事件中，概率为0.7的事件是（ ）A恰有一件一等品B至少有一件一等品C至多有一件一等品D至少有一件二等品【答案】CD【分析】根据已知条件依次计算选项中事件的概率，即得结果.【详解】将3件一等品编号为1，2，3，2件二等品编号为4，5，从中任取2件有10种取法:(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，样本空间共包含10个样本点.A选项中，恰有1件一等品的取法有(1，4)，(1，5)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，恰有1件一等品的概率为P1=0.6；B选项中，恰有2件一等品的取法有(1，2)，(1，3)，(2，3)，故恰有2件一等品的概率为P2=0.3；其对立事件是“至多有一件一等品”，即选项C，概率为P3=1-P2=0.7，满足题意；D选项中，至少有一件二等品的取法(1，4)，(1，5)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，故至少有一件二等品的概率为P4=0.7，符合题意.故选：CD. 2、（多选）下列命题为真命题的是（ ）A将一枚硬币抛两次，设事件M：“两次出现正面”，事件N：“只有一次出现反面”，则事件M与N互为对立事件B若事件A与B互为对立事件，则事件A与B为互斥事件C若事件A与B为互斥事件，则事件A与B互为对立事件D若事件A与B互为对立事件，则事件AB为必然事件【答案】BD【分析】根据互斥事件和对立事件的概念和性质，逐个分析判断即可得解.【详解】对A，一枚硬币抛两次，共出现正，正，正，反，反，正，反，反四种结果，则事件M与N是互斥事件，但不是对立事件，故A错；对B，对立事件首先是互斥事件，故B正确；对C，互斥事件不一定是对立事件，如A中两个事件，故C错；对D，事件A，B为对立事件，则一次试验中A，B一定有一个要发生，故D正确故选：BD.3、抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件，“向上的点数是2或3”为事件，则（ ）ABC表示向上的点数是1或2或3D表示向上的点数是1或2或3【答案】C【分析】根据题意，可得，求得，即可求解【详解】由题意，可知，则，表示向上的点数为1或2或3故选：C.4、下列事件中，随机事件的个数为()在学校明年召开的田径运动会上，学生张涛获得100米短跑冠军；在体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，抽到李凯；从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签；在标准大气压下，水在4C时结冰A1B2C3D4【答案】C【分析】由随机事件的定义判断事件是否即有可能发生也有可能不发生即可.【详解】张涛获得冠军有可能发生也有可能不发生，所以为随机事件；抽到的学生有可能是李凯，也有可能不是，所以为随机事件；有可能抽到1号签也有可能抽不到，所以为随机事件；标准大气压下，水在4C时不会结冰，所以是不可能事件，不是随机事件.故选C.5、若,则事件A与B的关系是( )A事件A与B互斥B事件A与B对立C事件A与B相互独立D事件A与B相互斥又独立【答案】C【分析】先求得，然后通过计算得到，从而判断出事件相互独立.【详解】，.事件A与B相互独立，不是互斥、对立事件.故选：C6、某人练习射击，他脱靶的概率为0.20，命中6环、7环、8环、9环、10环的概率依次为0.10，0.20，0.30，0.15，0.05，则该人射击命中的概率为（ ）A0.50B0.60C0.70D0.80【答案】D【分析】某人射击命中的对立事件是脱靶，根据对立事件概率，即可求解,【详解】某人练习射击，他脱靶的概率为0.20，该人射击命中的概率.故选:D.7、抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“不小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A或事件B至少有一个发生的概率为（ ）ABCD【答案】A【分析】由古典概型概率公式分别计算出事件A和事件B发生的概率，又通过列举可得事件A和事件B为互斥事件，进而得出事件A或事件B至少有一个发生的概率即为事件A和事件B的概率之和【详解】事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“不小于5的点数出现”，P(A)，P(B)，又小于5的偶数点有2和4，不小于5的点数有5和6，所以事件A和事件B为互斥事件，则一次试验中，事件A或事件B至少有一个发生的概率为P（AB）P(A)+P(B)，故选：A8、从一批羽毛球中任取一个，其质量小于的概率为0.3，质量大于的概率为0.32，那么质量在（单位：）范围内的概率是( )A0.62B0.38C0.02D0.68【答案】B【分析】根据互斥事件对立事件概率加法公式，即可求解.【详解】记“质量小于”为事件，“质量大于”为事件，“质量在（单位：）范围内”为事件，所以.故选：9、已知随机事件和互斥，且,.则（ ）ABCD【答案】D【分析】根据互斥事件的概率公式可求得，利用对立事件概率公式求得结果.【详解】与互斥 本题正确选项：10、将一枚骰子抛掷两次.（1）写出试验的样本空间；（2）用集合表示事件“向上的点数之和大于8”.【答案】（1）.（2）【解析】【分析】（1）方法一：用表示先后抛掷的点数，并列举所有的实验结果，方法二：（树状图法）画图表示；（2）分别通过上述两种方法找到满足条件的基本事件.【详解】方法一（列举法）：（1）用表示试验的结果，其中表示第1次抛掷后向上的点数，表示第2次抛掷后向上的点数，则样本空间.（2）.方法二（树状图法）：把一枚骰子抛掷两次的所有可能结果用树状图表示，如图所示：（1）由图，知样本空间.（2）事件包含10个样本点（已用“”标记出），故.