5.3导数在研究函数中的应用-【新教材】人教A版（2019）高中数学选择性必修二同步讲义.doc

5.3 导数在研究函数中的应用 知识梳理1、函数的单调性与导数的关系函数yf(x)在某个区间内可导，则：（1）若>0，则f(x)在这个区间内单调递增；（2）若<0，则f(x)在这个区间内单调递减；（3）若0，则f(x)在这个区间内是常数函数.注意：函数f(x)在区间(a，b)上递增，则0，“>0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件.2、求函数单调区间的步骤：（1）确定函数f(x)的定义域；（2）求；（3）在定义域内解不等式>0，得单调递增区间；（4）在定义域内解不等式<0，得单调递减区间.（5）若所求函数的单调区间不止一个时，用“，”与“和”连接.3、运用导数求可导函数yf(x)的极值的一般步骤：（1）先求函数yf(x)的定义域，再求其导数；（2）求方程0的根；（3）检查导数在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值.（4）特别注意：导数为零的点不一定是极值点.4、利用导数求函数f(x)在a，b上的最值的一般步骤：（1）求函数在(a，b)内的极值；（2）求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)；（3）将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.（4）求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值知识典例题型一 单调性例1函数的单调减区间是（ ）ABCD【答案】A【分析】依题意，可求得，由即可求得函数的单调减区间【详解】解：，令由图得：，函数的单调减区间是，故选：巩固练习已知函数，求函数的单调区间.【答案】单调递增区间为，单调递减区间为.【分析】对函数求导，求得、的解集即可得解.【详解】函数的定义域为R，单调递增，令可得，当时，；当时，；所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.题型二 极值例 2函数有（ ）A极大值，极小值B极大值，极小值C极大值，无极小值D极小值，无极大值【答案】C【分析】利用导函数的正负可确定原函数的单调性，由单调性可知当时，函数取极大值，无极小值；代入可求得极大值，进而得到结果.【详解】当时，函数单调递增；当时，函数单调递减当时，函数取极大值，极大值为；无极小值故选：巩固练习已知且，则函数（ ）A有极大值，无极小值B有极小值，无极大值C既有极大值，又有极小值D既无极大值，又无极小值【答案】C【分析】先求导数，再求导函数零点，根据零点分析导数符号，进而确定极值.【详解】,又在上单调递增，所以在上有且仅有一个零点，设为，因为则，所以导函数有两个不同零点，因此函数既有极大值，又有极小值，选C.题型三 最值例 3函数在区间1，1上的最大值是（ ）A4B2C0D2【答案】B【分析】先求得函数在区间上的极值，然后比较极值点和区间端点的函数值，由此求得函数在区间上的最大值.【详解】令，解得或.，故函数的最大值为，所以本小题选B.巩固练习已知函数在与处都取得极值(1)求函数的解析式及单调区间；(2)求函数在区间的最大值与最小值【答案】（1），单调增区间是，减区间是（2），【分析】（1）对求导，根据在与处都取得极值，得和，建立方程组求得a,b的值，得到的解析式，再分析取得正负时x的范围，从而得出相应的单调区间，得解；（2）根据（1）可得出的极值点，再求出边界点和的值，与极值点的函数值比较大小可得解.【详解】（1）因为，所以,因为在与处都取得极值，所以，即，解得即，所以，令或，令，所以的单调增区间是，减区间是.（2）由（1）可知，1+0-0+单调递增极大值单调递减极小值单调递增的极小值，的极大值，而，可得时，.故得解.题型四 函数图象与导函数图象例 4如图是函数yf（x）的导数yf（x）的图象，则下面判断正确的是（ ）A在（3，1）内f（x）是增函数B在x1时，f（x）取得极大值C在（4，5）内f（x）是增函数D在x2时，f（x）取得极小值【答案】C【分析】根据图形，利用单调性和极值的几何特征逐一判断即可.【详解】解：根据题意，依次分析选项：对于A，在（3，）上，f（x）0，f（x）为减函数，A错误；对于B，在（，2）上，f（x）0，f（x）为增函数，x1不是f（x）的极大值点，B错误；对于C，在（4，5）上，f（x）0，f（x）为增函数，C正确；对于D，在（，2）上，f（x）0，f（x）为增函数，在（2，4）上，f（x）0，f（x）为减函数，则在x2时f（x）取得极大值，D错误；故选：C巩固练习设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数的图象可能为（ ）ABCD【答案】D【分析】根据的图象可得的单调性，从而得到在相应范围上的符号和极值点，据此可判断的图象.【详解】由的图象可知，在上为增函数，且在上存在正数，使得在上为增函数，在为减函数，故在有两个不同的零点，且在这两个零点的附近，有变化，故排除A，B.由在上为增函数可得在上恒成立，故排除C.故选：D.题型五 函数图象例 5函数的图象大致为（ ）ABCD【答案】B【分析】利用导数求得函数的单调性，进而排除；根据上的最大值可排除，从而得到结果.【详解】由得：，即定义域为则当时，；当和时，即在上单调递增，在和上单调递减，可排除又 在上的最大值小于零，可排除故选：巩固练习已知函数f(x)ex(x1)2(e为2.718 28)，则f(x)的大致图象是（ ）ABCD【答案】C【分析】利用特殊值代入，可排除A、D,根据导数判断函数的单调性可排除B，即可得出结果.【详解】函数，当时，故排除A、D，又，当时，所以在为减函数，故排除B,故选：C.题型六 单调性中的参数问题例 6 如果函数在区间上是减函数，那么实数的取值范围是（ ）A BCD【答案】A【分析】根据开口向上的二次函数在对称轴左边单调递减，即可求出的取值范围【详解】的对称轴为 ，又开口向上，即在上单调递减即即 故选A巩固练习已知f（x）x3ax在1，+）上是单调增函数，则a的最大值是( )A0B1C2D3【答案】D【分析】由f（x）x3ax在1，+）上是单调增函数，得到在1，+）上，f（x）0恒成立，从而解得a3，故a的最大值为3【详解】解：f（x）x3ax在1，+）上是单调增函数f（x）3x2a0在1，+）上恒成立即a3x2x1，+）时，3x23恒成立a3a的最大值是3故选D题型七 参数问题例 7 已知函数f(x)ln x，g(x)axb.(1)若f(x)与g(x)在x1处相切，求g(x)的表达式；(2)若(x)f(x)在1，)上是减函数，求实数m的取值范围【答案】（1）g(x)x1；（2）(，2.【解析】试题分析：（1）求出函数f（x）的导数，得到关于a的方程，求出a的值，计算g（1）=0，求出b的值，从而求出g（x）的解析式即可；（2）求出函数的导数，问题转化为2m2x+，x1，+），根据函数的单调性求出m的范围即可解析：(1)由已知得f(x)，所以f(1)1，a2.又因为g(1)0ab，所以b1，所以g(x)x1.(2)因为(x)f(x)ln x在1，)上是减函数所以 在1，)上恒成立即x2(2m2)x10在1，)上恒成立，则2m2x，x1，)，因为x2，)，所以2m22，m2.故数m的取值范围是(，2巩固练习已知函数yf（x）。（1）求yf（x）的最大值；（2）设实数a>0，求函数F（x）af（x）在a，2a上的最小值。【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）令0，求得极值点，因此可得到单调区间，从而得到最大值；（2）根据（1）可知F（x）的单调性，得到F（x）在a，2a上的最小值为F（a）和F（2a）之中的较小者，作差讨论即可得到结果.试题解析：（1）.令0得xe.因为当x（0，e）时，>0，f（x）在（0，e）上为增函数；当x（e，）时，<0，f（x）在（e，）上为减函数，所以f（x）maxf（e）。（2）因为a0，由（1）知，F（x） 在（0，e）上单调递增，在（e，）上单调递减，所以F（x） 在a，2a上的最小值F（x）minminF（a），F（2a）。因为F（a）F（2a），所以当0<a2时，F（a）F（2a）0，F（x）minF（a）ln a，当a>2时，F（a）F（2a）>0，F（x）minF（2a）ln2a题型八 函数构造例 8 若函数f（x）在R上可导，且满足f（x）xf（x），则（ ）A3f（1）f（3）B3f（1）f（3）C3f（1）=f（3）Df（1）=f（3）【答案】A【解析】试题分析：根据条件f（x）xf（x）可构造函数g（x）=，然后得到函数的单调性，从而得到所求解：设g（x）=，g（x）=f（x）xf（x），g（x）=0即g（x）在（0，+）上单调递减函数即3f（1）f（3）故选A巩固练习已知定义在实数集上的函数满足，且的导函数，则不等式的解集为（ ）ABCD【答案】A【解析】设t=lnx，则不等式f（lnx）3lnx+1等价为f（t）3t+1，设g（x）=f（x）3x1，则g（x）=f（x）3，f（x）的导函数f（x）3，g（x）=f（x）30，此时函数单调递减，f（1）=4，g（1）=f（1）31=0，则当x1时，g（x）g（1）=0，即g（x）0，则此时g（x）=f（x）3x10，即不等式f（x）3x+1的解为x1，即f（t）3t+1的解为t1，由lnx1，解得0xe，即不等式f（lnx）3lnx+1的解集为（0，e），故选A巩固提升1、函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（）A1个B2个C3个D4个【答案】A【分析】直接利用函数极小值点的定义求解.【详解】由导函数在内的图象知：函数在开区间内有极小值点1个，故选：A2、已知函数，则函数的单调递增区间是（ ）A和B和C和D【答案】C【分析】先求出函数的定义域，再求导，根据导数大于0解得x的范围，继而得到函数的单调递增区间【详解】函数f(x)x25x2ln x的定义域是(0，)，令f(x)2x50，解得0x或x2，故函数f(x)的单调递增区间是，(2，)故选C3、函数的导函数的图象如图所示，则（ ）A是最小值点B是极小值点C是极小值点D函数在上单调递增【答案】C【解析】由图象得： 在 递增，在递减，在 递增， 是极小值点，故选C.4、已知函数在上是单调函数，则实数a的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【分析】求得函数的导数，根据函数在上是单调函数，利用，即可求解，得到答案【详解】由题意，函数，则，因为函数在上是单调函数，所以，即，解得，即实数的取值范围是，故选C5、（多选）已知函数的定义域为且导函数为，如图是函数的图像，则下列说法正确的是（ ）A函数的增区间是B函数的增区间是C是函数的极小值点D是函数的极小值点【答案】BD【分析】先由题中图像，确定的正负，得到函数的单调性；从而可得出函数极大值点与极小值点，进而可得出结果.【详解】由题意，当时，；当，；当时，；当时，；即函数在和上单调递增，在上单调递减，因此函数在时取得极小值，在时取得极大值；故A错，B正确；C错，D正确.故选：BD.6、设、在上可导，且，则当时有（ ）ABCD【答案】D【分析】构造函数，利用导数推导函数在区间上的单调性，进而可得出结果.【详解】设，当时，则，所以，函数在区间上是增函数，当时，所以，即；，即.故选：D.7、（多选）对于函数，下列说法正确的有（ ）A在处取得极大值B有两不同零点CD若在上恒成立，则【答案】ACD【分析】对于A，先对函数求导，令导函数等于零，然后再判其极值即可；对于B，令，则可得函数的零点；对于C，由选项A的解答过程可知，当时，函数为减函数，所以，而，从而可得结果；对于D，由在上恒成立，得，令，再利用导数求此函数的最大值即可【详解】函数的导数，令得，则当时，函数为增函数，当时，函数为减函数，则当时，函数取得极大值，极大值为，故正确，由，得，得，即函数只有一个零点，故错误， 由时，函数为减函数知，故成立，故正确，若在上恒成立，则，设，则，当时，单调递增，当时，单调递减，即当时，函数取得极大值同时也是最大值，成立，故正确.故选：ACD8、函数在区间内最小值是_，最大值是_.【答案】 0 【分析】对函数求导，由导数确定单调区间，由单调性确定极值，再比较极值与函数端点值，即可确定函数最值.【详解】，令，或2，当时，单调递增；当时，单调递减，而，函数的最小值是，最大值为0.故答案为：；0.9、若函数f (x)ex(x22xa)在区间a，a1上单调递增，则实数a的最大值为_.【答案】【解析】由f (x)在区间a，a1上单调递增，得f (x)ex(x2a2)0，xa，a1恒成立，即(x2a2)min0，xa，a1.当a时，a2a20，则1a；当a>时，(a1)2a20，则<a，所以实数a的取值范围是1a，a的最大值是.填10、对于函数有下列命题：在该函数图象上一点（2，f（2）处的切线的斜率为；函数f(x)的最小值为；该函数图象与x轴有4个交点；函数f(x)在（，1上为减函数，在（0，1上也为减函数.其中正确命题的序号是_.【答案】【分析】求出导数代入-2可得判断；利用函数的单调性求出极值可判断；分别求函数等于零的根可判断.【详解】x0时，f(x)2xex，f(x)2（1+x）ex，故f（2），正确；且f(x)在（，1）上单调递减，在（1，0）上单调递增，故x0时，f(x)有最小值f（1），x0时，f(x)在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增，故x0时，f(x)有最小值f（1）故f(x)有最小值，正确；令得，令得，故该函数图象与x轴有3个交点，错误；故答案为：11、若函数在处取极值，则 【答案】3【解析】试题分析：=因为f（x）在1处取极值，所以1是f（x）=0的根，将x=1代入得a=3故答案为3 .12、已知函数f(x)(x2ax)ex(xR)，a为实数(1)当a0时，求函数f(x)的单调增区间；(2)若f(x)在闭区间1,1上为减函数，求a的取值范围【答案】（1）(0，)和(，2)； （2） .【分析】(1)利用导数求函数f(x)的单调增区间.(2)先求导得f(x)(2xa)ex(x2ax)exx2(2a)xaex，记g(x)x2(2a)xa.依题意知，x1,1时，g(x)0恒成立数形结合分析得到，解不等式即得a的取值范围.【详解】(1)当a0时，f(x)x2ex，f(x)2xexx2ex(x22x)ex.由f(x)>0x>0或x<2.故f(x)的单调增区间为(0，)和(，2)(2)由f(x)(x2ax)ex，xRf(x)(2xa)ex(x2ax)exx2(2a)xaex.记g(x)x2(2a)xa.依题意知，x1,1时，g(x)0恒成立结合g(x)的图像特征得，即a，所以a的取值范围是 .13、已知函数.（1）求函数的单调区间（2）当时，有，求的范围.【答案】(1)单调减区间是.(2) .【解析】分析：（1）求，判断的符号，从而找出该函数的单调区间；（2）先根据的范围，求出 和 的范围，并确定出 和 属于单调区间，根据单调性列不等式求解即可.详解：(1) ，函数在上单调减，所以函数的单调减区间是.(2) 时，即和都在的单调减区间上，所以由得，解得或，又，所以，所以的取值范围是.14、已知函数在处有极值（1）求a,b的值；（2）求的单调区间【答案】(1),(2) 单调减区间是,单调增区间是【分析】（1）先对函数求导，得到，再由题意，列出方程组，求解，即可得出结果；（2）由（1）的结果，得到，对其求导，解对应的不等式，即可得出单调区间.【详解】解：（1）又在处有极值,即解得,（2）由（1）可知,其定义域是,由,得；由,得函数的单调减区间是,单调增区间是15、已知函数在处取得极值.（1）求实数的值；（2）当时，求函数的最小值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）求导，根据极值的定义可以求出实数的值；（2）求导，求出时的极值，比较极值和之间的大小的关系，最后求出函数的最小值.【详解】（1），函数在处取得极值，所以有；（2）由（1）可知：，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，故函数在处取得极大值，因此，故函数的最小值为.16、已知aR，函数f(x)(x2ax)ex(xR)(1)当a2时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在(1，1)上单调递增，求a的取值范围【答案】（1）见解析（2），+）【分析】（1）求出a=2的函数f（x）的导数，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间；（2）求出f（x）的导数，由题意可得f（x）0在（1，1）上恒成立，即为ax2+（a2）x0，即有x2（a2）xa0，再由二次函数的图象和性质，得到不等式组，即可解得a的范围【详解】（1）a=2时，f（x）=（x2+2x）ex的导数为f（x）=ex（2x2），由f（x）0，解得x，由f（x）0，解得x或x即有函数f（x）的单调减区间为（，），（，+），单调增区间为（，）（2）函数f（x）=（x2+ax）ex的导数为f（x）=exax2+（a2）x，由函数f（x）在（1，1）上单调递增，则有f（x）0在（1，1）上恒成立，即为ax2+（a2）x0，即有x2（a2）xa0，则有1+（a2）a0且1（a2）a0，解得a则有a的取值范围为，+）