8.5空间直线、平面的平行-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第二册同步讲义（机构专用）.doc

8.5 空间直线、平面的平行 知识梳理一、判定定理：定理表示线面平行的判定定理面面平行的判定定理文字叙述平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行符号表示图形表示二、性质定理：线面平行的性质定理面面平行的性质定理文字语言一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行符号语言图形语言作用线面平行线线平行面面平行线线平行知识典例题型一 线面平行判定例 1如图，四棱锥中，底面为梯形，点在棱上.求证：平面【详解】因为，平面，平面，所以平面；巩固练习已知三棱柱中，平面ABC，M为AC中点.证明:直线平面【分析】连接交于点O，再证明，得证；【详解】证明：连接交于点O，连接OM， 为平行四边形，为的中点，又M为AC的中点，.又平面，平面.平面.题型二 面面平行判定例 2如图，在三棱柱中，、分别是、的中点.（1）求证：、四点共面；（2）求证：平面平面；（3）若、分别为、的中点，求证：平面平面.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【分析】（1）证明出，即可证明出、四点共面；（2）证明，可得平面，证明四边形是平行四边形，可得出，可证明出平面，再利用面面平行的判定定理可证明出结论；（3）连接交于点，可得出，可证明出平面，证明出四边形为平行四边形，可得出，可得出平面，然后利用面面平行的判定定理可证明出结论.【详解】（1）是的中位线，.在三棱柱中，且，则四边形为平行四边形，因此，、四点共面；（2）、分别为、的中点，.平面，平面，平面.在三棱柱中，且，则四边形为平行四边形，且，、分别为、的中点，且，四边形是平行四边形，则，平面，平面，平面.，且平面，平面，平面平面；（3）如图所示，连接，设与的交点为，连接，四边形是平行四边形，是的中点，为的中点，.平面，平面，平面.由（1）知，四边形为平行四边形，则且，、分别为、的中点，所以，且，四边形为平行四边形，又平面，平面，平面.又，平面，平面，平面平面.巩固练习如图为一简单组合体，其底面为正方形，棱与均垂直于底面，求证：平面平面.【答案】见解析【分析】由正方形的性质得出，可得出平面，由线面垂直的性质定理得出，可得出平面，再利用面面平行的判定定理可证得结论.【详解】由于四边形是正方形，平面，平面，平面，平面，平面，平面，平面，平面，平面平面.题型三 性质应用例 3如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，是的中点，在上取一点，过点和作平面，交平面于，点在线段上.求证：.【答案】证明见解析【分析】连接交于点，连接，推导出从而平面由线面平行的性质定理可证明【详解】证明：如图，连接，设交于点，连接四边形是平行四边形，是的中点又是的中点，.又平面，平面BDM，平面又平面，平面平面，巩固练习如图，过正方体的顶点、与棱的中点的平面与底面所在平面的交线记为，则与的位置关系为_.【答案】【分析】利用面面平行的性质定理可得出与的位置关系.【详解】如图所示，连接、，在正方体中，平面平面，且平面平面，平面平面，所以.故答案为：.题型四 翻折问题例 4如图甲，在直角梯形中，、分别为、的中点，现将沿折起，如图乙.求证：平面平面.【答案】证明见解析【分析】分别证明出平面，平面，然后利用面面平行的判定定理可得出平面平面.【详解】翻折前，在图甲中，翻折后，在图乙中，仍有，、分别为、的中点，平面，平面，平面.平面，平面，平面.又，平面平面.巩固练习如图，在平面四边形中，分别在，上，且，现将四边形沿折起，使.若，在折叠后的线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】存在；【分析】存在，使得平面，此时，易知，过作，与交，则，可证四边形为平行四边形，得到，因此平面成立【详解】在折叠后的线段上存在一点，使得平面ABEF，此时以下为证明过程：当时，过点作，交于点，连接，则有.，.又，四边形为平行四边形，又平面，平面，平面成立.题型五 比值求解例 5如图所示，已知，都是平面，且，两条直线l，m分别与平面，相交于点A，B，C和点D，E，F. 求证：.【答案】证明见解析【分析】连接DC，设DC与平面相交于点G，连，根据面面平行的性质定理，可得，利用三角形相似关系，即可证明结论.【详解】证明：连接DC，设DC与平面相交于点G，则平面ACD与平面，分别相交于直线AD，BG，平面DCF与平面，分别相交于直线GE，CF.因为，所以，因此，因此.同理可得.因此.巩固练习已知：如图，三棱柱中，点D，分别为AC，上的点若平面平面，求的值【答案】1【分析】连接交于点O，连接，由平面平面，得到，由平面平面，得到，是平行四边形，根据，得到，所以得到.【详解】如图，连接交于点O，连接由棱柱的性质，知四边形为平行四边，所以点O为的中点因为平面平面，且平面平面，平面平面，所以，所以为线段的中点，所以因为平面平面，且平面平面，平面平面，所以又因为，所以四边形是平行四边形，所以，所以巩固提升1、如图，在四面体中，是的中点，是的中点，点在线段上，且求证：平面.【答案】证明见解析【分析】取的中点，在线段上取点，使得，连接、，证明出四边形为平行四边形，可得出，再利用直线与平面平行的判定定理可证明出平面.【详解】如下图所示，取的中点，在线段上取点，使得，连接、.，且.、分别为、的中点，且.为的中点，.且，四边形是平行四边形，.平面，平面，平面.2、如图所示，在正方体中，、分别为、的中点，求证：（1）、四点共面；（2）平面平面【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）利用中位线的性质得出，再证明出，利用平行线的传递性得出，即可证明出、四点共面；（2）连接、，证明四边形是平行四边形，可得出，利用直线与平面平行的判定定理可证明出平面，同理可证明出平面，最后利用平面与平面平行的判定定理可证明出平面平面【详解】（1）、分别是、的中点，在正方体中，四边形为平行四边形，因此，、四点共面；（2）如下图所示，连接、，在正方体中，、分别为、的中点，则四边形为平行四边形，则四边形为平行四边形，平面，平面，平面，同理可证平面，平面平面.3、如图，在三棱柱中，、分别是棱，的中点，求证：（1）平面；（2）平面平面【答案】（1）见证明；（2）见证明【分析】（1）设与的交点为，连结，证明，再由线面平行的判定可得平面； （2）由为线段的中点，点是的中点，证得四边形为平行四边形，得到，进一步得到平面再由平面，结合面面平行的判定可得平面平面【详解】证明：（1）设与的交点为，连结，四边形为平行四边形，为中点，又是的中点，是三角形的中位线，则，又平面，平面，平面；（2）为线段的中点，点是的中点，且，则四边形为平行四边形，又平面，平面，平面又平面，且平面，平面，平面平面4、已知底面是平行四边形的四棱锥中，点在上，且，在棱上是否存在一点，使平面？证明你的结论.【答案】见解析【解析】【分析】连接交于，连接，过点作的平行线交于点，过点作，交于点，连接，利用线面平行的判定定理，证得平面，同理平面，证得平面平面，得到平面，进而得到，即可得到答案【详解】在棱上存在点，使平面，证明：如图所示，连接交于，连接，过点作的平行线交于点，过点作，交于点，连接，因为，平面，平面，所以平面，同理，平面，又，所以平面平面，所以平面，因为，是的中点，所以是的中点，又因为，所以是的中点，而，所以为的中点，综上可知，当点是的中点时，平面.5、如图所示，已知四边形是正方形，四边形是矩形，是线段的中点.求证：平面.【答案】证明见解析【分析】设与的交点为，连接，利用线面平行的判定定理，即可证明结果.【详解】证明：如图，记与的交点为，连接. 分别是的中点，四边形是矩形，且，四边形是平行四边形，.又平面BDE，平面BDE，平面BDE.6、如图，在直三棱柱中，分别是和的中点.求证：平面.【答案】证明见解析【分析】取的中点D，由中位线定理和平行线的传递性可证四边形为平行四边形，可得，再根据线面平行的判定定理即可证明结果.【详解】证明：取的中点D，连接，.M，D分别为AC，的中点，且.又为的中点，且，且，四边形为平行四边形，.平面平面，平面.7、如图，在斜三棱柱中，为上的点当为何值时，平面？【答案】当时，平面.【分析】先由题意，判断出结果；再连接交于点，连接，根据线面平行的判定定理，证明平面即可.【详解】当时，平面.如图，连接交于点，连接.由三棱柱的性质知，四边形为平行四边形，所以点为的中点.在中，分别为的中点，.又平面，平面，平面，当时，平面.