2021_2022学年高中数学第2章圆锥曲线与方程模块复习课第3课时圆锥曲线中的最值范围定点定值问题课后篇巩固提升含解析新人教A版选修2_1.docx
模块复习课第3课时圆锥曲线中的最值、范围、定点、定值问题课后篇巩固提升1.已知椭圆C的短轴长为2,左、右焦点为F1、F2.椭圆C上一点与两焦点构成的三角形的周长为25+4.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设P为椭圆C上一动点,求PF1·PF2的取值范围.解(1)由题意可得2b=2,a2=b2+c2,2a+2c=25+4,解得a=5,b=1,c=2,故椭圆的方程为x25+y2=1.(2)设P(5cos,sin),F1(-2,0),F2(2,0),则PF1=(-2-5cos,-sin),PF2=(2-5cos,-sin),PF1·PF2=5cos2-4+sin2=-3+4cos2.0cos21,-3-3+4cos21,故PF1·PF2的取值范围为-3,1.2.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22,焦点分别为F1,F2,点P是椭圆C上的点,PF1F2面积的最大值是2.(1)求椭圆C的方程;(2)设直线l与椭圆C交于M,N两点,点D是椭圆C上的点,O是坐标原点,若OM+ON=OD,判定四边形OMDN的面积是否为定值?若为定值,求出定值;如果不是,请说明理由.解(1)由ca=22,bc=2,a2=b2+c2,解得a=2,b=c=2,得椭圆C的方程为x24+y22=1.(2)当直线l的斜率不存在时,直线MN的方程为x=-1或x=1,此时四边形OMDN的面积为6.当直线l的斜率存在时,设直线l方程是y=kx+m,联立椭圆方程y=kx+m,x24+y22=1(1+2k2)x2+4kmx+2m2-4=0,=8(4k2+2-m2)>0,x1+x2=-4km1+2k2,x1x2=2m2-41+2k2,y1+y2=k(x1+x2)+2m=2m1+2k2,|MN|=1+k2×224k2+2-m21+2k2,点O到直线MN的距离是d=|m|1+k2,由OM+ON=OD,得xD=-4km1+2k2,yD=2m1+2k2,因为点D在曲线C上,所以有(-4km1+2k2) 24+(2m1+2k2) 22=1,整理得1+2k2=2m2.由题意四边形OMDN为平行四边形,所以四边形OMDN的面积为S四边形OMDN=|MN|d=1+k2×224k2+2-m21+2k2×|m|1+k2=22|m|4k2+2-m21+2k2,由1+2k2=2m2得S四边形OMDN=6,故四边形OMDN的面积是定值,其定值为6.3.抛物线y2=2px(p>0)与直线y=x+1相切,A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2)是抛物线上两个动点,F为抛物线的焦点,且|AF|+|BF|=8.(1)求p的值.(2)线段AB的垂直平分线l与x轴的交点是否为定点?若是,求出交点坐标;若不是,说明理由.(3)求直线l的斜率的取值范围.解(1)因为抛物线y2=2px(p>0)与直线y=x+1相切,所以由y2=2px,y=x+1得y2-2py+2p=0(p>0)有两个相等实根,所以=4p2-8p=4p(p-2)=0,解得p=2.(2)抛物线y2=4x的准线x=1.且|AF|+|BF|=8,所以由定义得x1+x2+2=8,则x1+x2=6.设直线AB的垂直平分线l与x轴的交点C(m,0).由C在AB的垂直平分线上,从而|AC|=|BC|,即(x1-m)2+y12=(x2-m)2+y22,所以(x1-m)2-(x2-m)2=y22-y12,即(x1+x2-2m)(x1-x2)=4x2-4x1=-4(x1-x2).因为x1x2,所以x1+x2-2m=-4.又因为x1+x2=6,所以m=5.所以点C的坐标为(5,0).即直线AB的垂直平分线l与x轴的交点为定点(5,0).(3)设直线l的斜率为k1,由(2)可设直线l方程为y=k1(x-5).设AB的中点M(x0,y0),由x0=x1+x22=3,可得M(3,y0).因为直线l过点M(3,y0),所以y0=-2k1.又因为点M(3,y0)在抛物线y2=4x的内部,所以y02<12.即4k12<12,则k12<3.因为x1x2,则k10.所以k1的取值范围为(-3,0)(0,3).4.如图所示,A,B分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右顶点,F为其右焦点,2是|AF|与|FB|的等差中项,3是|AF|与|FB|的等比中项.点P是椭圆C上异于A,B的任一动点,过点A作直线lx轴.以线段AF为直径的圆交直线AP于点A,M,连接FM交直线l于点Q.(1)求椭圆C的方程;(2)试问在x轴上是否存在一个定点N,使得直线PQ必过该定点N?若存在,求出点N的坐标,若不存在,说明理由.解(1)由题意得|AF|=a+c,|FB|=a-c,即(a+c)+(a-c)=2,(a+c)·(a-c)=(3)2,解得a=2,c=1,b2=4-1=3.所求椭圆的方程为x24+y23=1.(2)假设在x轴上存在一个定点N(n,0),使得直线PD必过定点N(n,0).设动点P(x0,y0),由于P点异于A,B,故y00,x0±2,由点P在椭圆上,故有x2a2+y2b2=1,y02=3(4-x02)4.又由(1)知A(-2,0),F(1,0),直线AP的斜率kAP=y0x0+2.又点M是以线段AF为直径的圆与直线AP的交点,APFM.kAP·kMF=-1kMF=-1kAP=-x0+2y0.直线FM的方程y=-x0+2y0(x-1).联立FM,l的方程y=-x0+2y0,x=-2,得交点Q-2,3(x0+2)y0.P,Q两点连线的斜率kPQ=y0-3(x0+2)y0x0+2=y02-3(x0+2)y0(x0+2),将式代入式,并整理得kPQ=-3(x0+2)4y0,又P,N两点连线的斜率kPN=y0x0-n.若直线QP必过定点N(n,0),则必有kPQ=kPN恒成立,即-3(x0+2)4y0=y0x0-n,整理得4y02=-3(x0+2)(x0-n),将式代入式,得4×3(4-x02)4=-3(x0+2)(x0-n),解得n=2,故直线PQ过定点(2,0).4
