2021_2022学年新教材高中数学第1章直线与方程第2章圆与方程单元素养评价含解析苏教版选择性必修第一册.doc

单元素养评价(一)(第1，2章)(120分钟150分)一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1方程x2y22axbyc0表示圆心为C(2，2)，半径为2的圆，则a，b，c的值依次为()A2，4，4 B2，4，4C2，4，4 D2，4，4【解析】选B.配方得(xa)2a2c，所以解得a2，b4，c4.2若直线xya0是圆x2y22y0的一条对称轴，则a的值为()A1 B1 C2 D2【解析】选B.圆x2y22y0化为x2(y1)21，圆心坐标为(0，1)，因为直线xya0是圆x2y22y0的一条对称轴，所以01a0，即a1.3已知圆C：(x1)2(y1)21与直线kxy10相交于A，B两点，若CAB为等边三角形，则k2的值为()A3 B4 C5 D6【解析】选A.圆C：(x1)2(y1)21的圆心为C(1，1)，半径为1，故CBCA1，又CAB为等边三角形，所以点C到直线kxy10的距离为，即，解得k23.4点P与圆x2y24上任一点连线的中点的轨迹方程是()A1B4C4D1【解析】选A.设圆上任一点为Q，PQ中点为M，根据中点坐标公式，得因为Q在圆x2y24上，所以xy4，即4，化为1.5过点的直线l被圆(x1)2y24所截得的弦长最短时，直线l的斜率为()A1 B1 C D【解析】选A.点在2y24圆内，要使得过点的直线l被圆2y24所截得的弦长最短，则该弦以为中点，与圆心和连线垂直，而圆心和连线的斜率为1，所以所求直线斜率为1.6已知直线l：xay10(aR)是圆C：x2y24x2y10的对称轴过点A作圆C的一条切线，切点为B，则AB()A2 B4 C6 D2【解析】选C.圆C标准方程为(x2)2(y1)24，圆心为C(2，1)，半径为r2，因此2a×110，a1，即A(4，1)，AB6.7圆M：x2y22ay0(a0)截直线xy0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x1)2(y1)21的位置关系是()A内切 B相交C外切 D相离【解析】选B.化简圆M：x2(ya)2a2(a0)M(0，a)，r1aM到直线xy0的距离d2a2a2M(0，2)，r12，又N(1，1)，r21MN|r1r2|MN|r1r2|两圆相交8已知P是直线kx4y100(k>0)上的动点，过点P作圆C：x2y22x4y40的两条切线，A，B是切点，C是圆心，若四边形PACB面积的最小值为2，则k的值为()A B C2 D3【解析】选D.圆的标准方程为221，则圆心为C，半径为1，则直线与圆相离，如图：S四边形PACBSPACSPBC，而SPACPA·CAPA，SPBCPB·CBPB，又PAPB，所以当PC取最小值时PAPB取最小值，即SPACSPBC取最小值，此时，CPl，四边形PACB面积的最小值为2，SPACSPBC，所以PA2，所以CP3，所以3，因为k>0，所以k3.二、多选题(本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)9已知圆C1：(x1)2y21和圆C2：x2(yb)21，且2b2，则两圆的位置关系可能是()A内切 B相交 C外切 D外离【解析】选BCD.由2<b<2，圆心距1，).所以两圆的位置关系可能是相交、外切和外离10若圆22r2上有且仅有两个点到直线4x3y20的距离为1，则半径r的取值可以是()A4 B5 C D6【解析】选BC.易求圆心(3，5)，到直线4x3y20的距离d5，由已知得d1<r<d1，即4<r<6.11已知圆C：(x1)2(y2)22，P点的坐标为(2，1)，过点P作圆C的切线，则切线方程可以是()A7xy150 Bxy10Cx2 Dxy10【解析】选AB.由已知得过点P的圆的切线斜率的存在，设切线方程为y1k(x2)，即kxy2k10.则圆心C(1，2)到直线的距离为，即，所以k26k70，所以k7或k1.所以所求直线的切线方程为y17(x2)或y1(x2)，即7xy150或xy10.12如图A(2，0)，B(1，1)，C(1，1)，D(2，0)，是以OD为直径的圆上一段圆弧，是以BC为直径的圆上一段圆弧，是以OA为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线W.则下述正确的是()A.曲线W与x轴围成的面积等于2B曲线W上有5个整点(横纵坐标均为整数的点)C所在圆的方程为：x2(y1)21D与的公切线方程为：xy1【解析】选BCD.曲线W与x轴构成的图形为以(0，1)圆心、1为半径的半圆加上以(1，0)为圆心，1为半径的圆，加上以(1，0)为圆心，1为半径的圆，加上长为2，宽为1的矩形构成，可得其面积为222，故A错误；曲线W上有(2，0)，(1，1)，(0，2)，(1，1)，(2，0)共5个整点，故B正确；是以(0，1)为圆心，1为半径的圆，其所在圆的方程为x2(y1)21，故C正确；设与的公切线方程为ykxt(k0，t0)，由直线和圆相切的条件可得1，解得k1，t1(1舍去)，则其公切线方程为yx1，即xy1，故D正确三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13已知圆C(C为圆心，且点C在第一象限)经过A(0，0)，B(2，0)，且ABC为直角三角形，则圆C的标准方程是_【解析】设圆C的半径为R，因为CACBR，ABC为直角三角形，所以C90°.因为点A(0，0)，B(2，0)，C在第一象限，所以C(1，1)，且R，故圆C的标准方程为(x1)2(y1)22.答案：(x1)2(y1)2214平面内动点P到两点A，B距离之比为常数(0，且1)，则动点P的轨迹叫作阿波罗尼斯圆，若已知A(2，0)，B(2，0)，则此阿波罗尼斯圆的方程为_【解析】由题意，设P(x，y)，则，化简可得x2y2x40.答案：x2y2x4015已知直线l：xy40与圆C：x2y22mx6y10，若直线l将圆C分割成面积相等的两部分，则m_【解析】圆C的方程可化为(xm)2(y3)28m2，圆心C(m，3).因为直线l将圆C分割成面积相等的两部分，所以l：xy40过圆心(m，3)，所以m340，解得m7.答案：716已知直线ykxb与圆x2y21和圆(x4)2y21均相切，则k_；b_【解析】方法一：因为直线ykxb(k>0)与圆x2y21，圆(x4)2y21都相切，所以1，得k，b.方法二：因为直线ykxb(k>0)与圆x2y21，圆(x4)2y21都相切，所以直线ykxb必过两圆心连线的中点，所以2kb0.设直线ykxb的倾斜角为，则sin ，又k>0，所以，所以ktan ，b2k.答案：四、解答题(本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)求与x轴相切，圆心C在直线3xy0上，且截直线xy0得的弦长为2的圆的方程【解析】因为圆心C在直线3xy0上，设圆心坐标为(a，3a)，圆心(a，3a)到直线xy0的距离为d.又圆与x轴相切，所以半径r3|a|，设圆的方程为(xa)2(y3a)29a2，设弦AB的中点为M，则AM.在RtAMC中，由勾股定理，得2()2(3|a|)2，解得a±1，r29.故所求的圆的方程是(x1)2(y3)29，或(x1)2(y3)29.18(12分)已知圆C：x2y22x4y30.(1)求圆心C的坐标及半径r的大小；(2)已知不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴、y轴上的截距相等，求直线l的方程【解析】(1)圆C的方程变形为(x1)2(y2)22，所以圆心C的坐标为，半径为.(2)因为直线l在两坐标轴上的截距相等且不为零，所以设直线l的方程为xya0(a0)，所以a1或a3，所以所求直线l的方程为xy10或xy30.19(12分)在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2y212x14y600上一点A.(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x6上，求圆N的标准方程；(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BCOA，求直线l的方程【解析】(1)由圆心N在直线x6上，可设N.因为圆N与x轴相切，与圆M外切，所以0<y0<7，于是圆N的半径为y0，从而7y05y0，解得y01.因此，圆N的标准方程为221.(2)因为直线lOA，所以直线l的斜率为2.设直线l的方程为y2xm，即2xym0，则圆心M到直线l的距离d，因为BCOA2，而MC2d22，所以255，解得m5或m15.故直线l的方程为2xy50或2xy150.20(12分)已知ABC的三个顶点A(1，0)，B(1，0)，C(3，2)，其外接圆圆心为H.(1)求圆H的方程；(2)若直线l过点C，且被圆H截得的弦长为2，求直线l的方程；(3)对于线段BH上的任意一点P，若在以C为圆心的圆上都存在不同的两点M，N，使得点M是线段PN的中点，求圆C的半径r的取值范围【解析】(1)设圆H的方程为x2y2DxEyF0，则有解得则圆H的方程为x2y26y10.(2)由直线与圆位置关系得：半径，半弦长，圆心到直线距离构成勾股定理，即12d210，因此d3，又直线l过点C，故利用直线方程点斜式求解，注意先讨论斜率不存在的情况：若lx轴，直线方程为x3，满足题意；若l的斜率存在，设l的方程为yk(x3)2，圆心到直线的距离为d3，解得k，直线方程为4x3y60，综上，直线l的方程为x3或4x3y60.(3)结合图象(图略)由题意得：0<CPr2r，即r<CP3r恒成立，所以从而r<.21(12分)已知圆C过点P(1，1)，且与圆M：(x2)2(y2)2r2(r0)关于直线xy20对称(1)求圆C的方程；(2)设Q为圆C上的点，且·4，求Q点坐标【解析】(1)设圆心C(a，b)，由已知得M(2，2)，则解得则圆C的方程为x2y2r2，将点P的坐标代入得r22，故圆C的方程为x2y22.(2)设Q(x，y)，则x2y22，·(x1，y1)·(x2，y2)x2y2xy4xy24.所以解得所以Q点的坐标为Q(1，1).22(12分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限，半径为2的圆C与直线yx相切于坐标原点O.(1)求圆C的方程；(2)试求圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到定点F(4，0)的距离等于线段OF的长？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【解析】(1)设圆C的圆心为C(a，b)，则圆C的方程为(xa)2(yb)28.因为直线yx与圆C相切于原点O，所以O点在圆C上，且OC垂直于直线yx，于是有解得或由于点C(a，b)在第二象限，故a<0，b>0，所以圆C的方程为(x2)2(y2)28.(2)假设存在点Q符合要求，设Q(x，y)，则有解得x或x0(舍去).所以存在点Q，使Q到定点F(4，0)的距离等于线段OF的长- 11 -