2016高考数学大一轮复习5.2平面向量基本定理及坐标表示教师用书理苏教版.doc

§5.2平面向量基本定理及坐标表示1平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|.(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，|.3平面向量共线的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0.abx1y2x2y10.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底(×)(2)在ABC中，向量，的夹角为ABC.(×)(3)若a，b不共线，且1a1b2a2b，则12，12.()(4)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示()(5)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件可表示成.(×)(6)已知向量a(1sin ，1)，b(，1sin )，若ab，则等于45°.(×)1(2014·福建改编)在下列向量组中，可以把向量a(3,2)表示出来的是_e1(0,0)，e2(1,2)；e1(1,2)，e2(5，2)；e1(3,5)，e2(6,10)；e1(2，3)，e2(2,3)答案解析由题意知，中e10，中两向量均共线，都不符合基底条件，故正确(事实上，a(3,2)2e1e2)2已知A(3,0)，B(0,2)，O为坐标原点，点C在AOB内，OC2，且AOC，设 (R)，则的值为_答案解析过C作CEx轴于点E.由AOC，知OECE2，所以，即，所以(2,0)(3,0)，故.3已知向量a(，1)，b(0，1)，c(k，)若a2b与c共线，则k_.答案1解析因为a2b(，1)2(0，1)(，3)与c(k，)共线，所以3k×，因此k1.4在ABCD中，AC为一条对角线，(2,4)，(1,3)，则向量的坐标为_答案(3，5)解析，(1，1)，(3，5).题型一平面向量基本定理的应用例1(1)在梯形ABCD中，ABCD，AB2CD，M，N分别为CD，BC的中点，若，则_.(2)如图，在ABC中，P是BN上的一点，若m，则实数m的值为_答案(1)(2)解析(1)因为()22，所以，所以.(2)设k，kR.因为kk()k()(1k)，且m，所以1km，解得k，m.思维升华(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决已知ABC中，点D在BC边上，且2，rs，则rs的值是_答案0解析，.又rs，r，s，rs0.题型二平面向量的坐标运算例2已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)设a，b，c，且3c，2b，(1)求3ab3c；(2)求满足ambnc的实数m，n；(3)求M、N的坐标及向量的坐标解由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8)(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42)(2)mbnc(6mn，3m8n)，解得(3)设O为坐标原点，3c，3c(3,24)(3，4)(0,20)M(0,20)又2b，2b(12,6)(3，4)(9,2)，N(9,2)(9，18)思维升华向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则(1)已知平面向量a(1,1)，b(1，1)，则向量ab_.(2)在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若(2,4)，(1,3)，则_.答案(1)(1,2)(2)(3，5)解析(1)a(，)，b(，)，故ab(1,2)(2)由题意得()2(1,3)(4,8)(3，5)题型三向量共线的坐标表示例3(1)已知平面向量a(1,2)，b(2，m)，且ab，则2a3b_.(2)(2014·陕西)设0<<，向量a(sin 2，cos )，b(cos ，1)，若ab，则tan _.答案(1)(4，8)(2)解析(1)由a(1,2)，b(2，m)，且ab，得1×m2×(2)即m4.从而b(2，4)，那么2a3b2(1,2)3(2，4)(4，8)(2)因为ab，所以sin 2cos2，2sin cos cos2.因为0<<，所以cos >0，得2sin cos ，tan .思维升华(1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件是x1y2x2y10；若ab(b0)，则ab.(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解(1)已知梯形ABCD，其中ABCD，且DC2AB，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为_(2)ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若p(ac，b)，q(ba，ca)，且pq，则角C_.答案(1)(2,4)(2)60°解析(1)在梯形ABCD中，DC2AB，2.设点D的坐标为(x，y)，则(4,2)(x，y)(4x,2y)，(2,1)(1,2)(1，1)，(4x,2y)2(1，1)，即(4x,2y)(2，2)，解得故点D的坐标为(2,4)(2)因为pq，则(ac)(ca)b(ba)0，所以a2b2c2ab，所以，结合余弦定理知，cos C，又0°<C<180°，所以C60°.忽视平面向量基本定理的条件致误典例：已知a，b，c，d，e，设tR，如果3ac,2bd，et(ab)，那么t为何值时，C，D，E三点在一条直线上？易错分析本题利用向量共线的充要条件列出等式后，易忽视平面向量基本定理的使用条件，出现漏解，漏掉了当a，b共线时，t可为任意实数这个解规范解答解由题设，知dc2b3a，ec(t3)atb.C，D，E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得k，即(t3)atb3ka2kb，整理得(t33k)a(2kt)b.若a，b共线，则t可为任意实数；若a，b不共线，则有解之得t.综上，可知a，b共线时，t可为任意实数；a，b不共线时，t.温馨提醒平面向量基本定理是平面向量知识体系的基石，在解题中有至关重要的作用，在使用时一定要注意两个基向量不共线这一条件.方法与技巧1平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键2平面向量共线的坐标表示(1)两向量平行的充要条件若a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0，则ab的充要条件是ab，这与x1y2x2y10在本质上是没有差异的，只是形式上不同(2)三点共线的判断方法判断三点是否共线，先求由三点组成的任两个向量，然后再按两向量共线进行判定失误与防范1要区分点的坐标和向量的坐标，向量坐标中包含向量大小和方向两种信息；两个向量共线有方向相同、相反两种情况2若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件不能表示成，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2x2y10.3使用平面向量基本定理时一定要注意两个基向量不共线.A组专项基础训练(时间：40分钟)1(2013·辽宁改编)已知点A(1,3)，B(4，1)，则与向量A同方向的单位向量为_答案解析AOO(4，1)(1,3)(3，4)，与A同方向的单位向量为.2在ABC中，点P在BC上，且2，点Q是AC的中点，若(4,3)，(1,5)，则_.答案(6,21)解析33(2)63(6,30)(12,9)(6,21)3已知向量a(1,2)，b(1,0)，c(3,4)若为实数，(ab)c，则_.答案解析ab(1，2)，c(3,4)，且(ab)c，.4已知ABC和点M满足0.若存在实数m，使得m成立，则m_.答案3解析 0，M为ABC的重心连结AM并延长交BC于D，则D为BC的中点.又()，()，即3，m3.5.如图，在OAB中，P为线段AB上的一点，xy，且2，则x_，y_.答案解析由题意知，又2，所以()，所以x，y.6若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b) (ab0)共线，则的值为_答案解析(a2，2)，(2，b2)，依题意，有(a2)(b2)40，即ab2a2b0，所以.7已知向量(1，3)，(2，1)，(k1，k2)，若A，B，C三点能构成三角形，则实数k应满足的条件是_答案k1解析若点A，B，C能构成三角形，则向量，不共线(2，1)(1，3)(1,2)，(k1，k2)(1，3)(k，k1)，1×(k1)2k0，解得k1.8已知A(3,0)，B(0，)，O为坐标原点，C在第二象限，且AOC30°，则实数的值为_答案1解析由题意知(3,0)，(0，)，则(3，)，由AOC30°知，以x轴的非负半轴为始边，OC为终边的一个角为150°，tan 150°，即，1.9已知A(1,1)、B(3，1)、C(a，b)(1)若A、B、C三点共线，求a、b的关系式；(2)若2，求点C的坐标解(1)由已知得(2，2)，(a1，b1)A、B、C三点共线，2(b1)2(a1)0，即ab2.(2)2，(a1，b1)2(2，2)，解得，点C的坐标为(5，3)10.如图，G是OAB的重心，P，Q分别是边OA、OB上的动点，且P，G，Q三点共线(1)设，将用，表示；(2)设x，y，证明：是定值(1)解()(1).(2)证明一方面，由(1)，得(1)(1)xy；另一方面，G是OAB的重心，×().而，不共线，由，得解得3(定值)B组专项能力提升(时间：25分钟)1已知向量a(2,3)，b(1,2)满足向量manb与向量a2b共线，则_.答案解析manb(2mn,3m2n)，a2b(4，1)，且(manb)(a2b)，(2mn)(1)4(3m2n)，即14m7n，.2如图，平面内有三个向量、，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且|1，|2，若(、R)，则的值为_答案6解析过点C作与的平行线与直线OB、OA相交，可得平行四边形，由已知得BOC90°，AOC30°，|2，得平行四边形的边长为2和4，故42，即246.3已知A(7,1)、B(1,4)，直线yax与线段AB交于C，且2，则实数a_.答案2解析设C(x，y)，则(x7，y1)，(1x,4y)，2，解得C(3,3)又C在直线yax上，3a·3，a2.4设(2,4)，(a,2)，(b,0)，a>0，b>0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则的最小值为_答案解析由已知得(a2，2)，(b2，4)，又，所以(a2，2)(b2，4)，即整理得2ab2，所以(2ab)()(3)(32).(当且仅当ba时，等号成立)5给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上运动若xy，其中x，yR，求xy的最大值解以O为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(1,0)，B(，)，设AOC(0，)，则C(cos ，sin )，由xy，得所以xcos sin ，ysin ，所以xycos sin 2sin()，又0，所以当时，xy取得最大值2.12