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第三章静电场第1页，共72页，编辑于2022年，星期二3.1.3.1.电位与等位面电位与等位面 Electricpotential静电场是无旋场，可引入一个标量函数的梯度来描述静电场，静电场是无旋场，可引入一个标量函数的梯度来描述静电场，式中式中 称为称为电位函数电位函数，通常简称为电位。，通常简称为电位。电位的参考点电位的参考点 由由电电位位的的定定义义可可知知，电电位位函函数数 不不是是唯唯一一确确定定的的，可可以以相相差差一一个个任任意意常常数数，即即为了使场中每一点的电位具有确定的值，必须选择场中某一固定点作为了使场中每一点的电位具有确定的值，必须选择场中某一固定点作为电位的参考点，即规定该点的电位值为零。为电位的参考点，即规定该点的电位值为零。定义：定义：第2页，共72页，编辑于2022年，星期二关于电位参考点的说明：关于电位参考点的说明：1)1)电位参考点的选择具有一定的任意性，但要使电位的表达式有意义，电位参考点的选择具有一定的任意性，但要使电位的表达式有意义，即除个别特殊的点即除个别特殊的点外，不能出现无穷大的电位值；外，不能出现无穷大的电位值；3)3)同一个问题中只能选择一个电位参考点。同一个问题中只能选择一个电位参考点。2)应使电位的表达式尽可能简单。当电荷分布在有限区域内时，应使电位的表达式尽可能简单。当电荷分布在有限区域内时，通常选择无穷远处为电位参考点；通常选择无穷远处为电位参考点；说明说明：1)1)电位函数为电场的辅助函数，是一个标量函数；电位函数为电场的辅助函数，是一个标量函数；2)“2)“”表示电场指向电位减小最快的方向；表示电场指向电位减小最快的方向；3)3)在直角坐标系中在直角坐标系中第3页，共72页，编辑于2022年，星期二点电荷产生的电位表达式点电荷产生的电位表达式:点电荷在空间任意点激发的电位为点电荷在空间任意点激发的电位为 N个点电荷个点电荷q1 1、qn n 、qN N 、所组成的系统，在空间任意点、所组成的系统，在空间任意点激发的电位为激发的电位为 式中式中 是点电荷的位置矢量。是点电荷的位置矢量。连续分布电荷系统产生的电场连续分布电荷系统产生的电场:连续分布于体积连续分布于体积V V中的电荷（体电荷）在空间任意点激发的电位为中的电荷（体电荷）在空间任意点激发的电位为 第4页，共72页，编辑于2022年，星期二面电荷和线电荷产生的电位面电荷和线电荷产生的电位分别为分别为 第5页，共72页，编辑于2022年，星期二若选择无穷远处为电位参考点，则场中任一点若选择无穷远处为电位参考点，则场中任一点P的电位为的电位为 电位差电位差 将将两边点乘两边点乘dl，则有，则有对上式两端从点对上式两端从点P到点到点Q沿任意路径进行积分，则得到沿任意路径进行积分，则得到P、Q两点间的两点间的电位差电位差 意义：意义：A A、B B两点间的电位差等于将单位点电荷从两点间的电位差等于将单位点电荷从B B点移动到点移动到A A点过程中电场力所作的功。点过程中电场力所作的功。第6页，共72页，编辑于2022年，星期二电位方程电位方程电位的泊松电位的泊松(Poisson)方程方程。如果介质中无自由电荷存在如果介质中无自由电荷存在,即即v=0,则得则得电位的拉普拉斯电位的拉普拉斯(Laplace)方程。方程。第7页，共72页，编辑于2022年，星期二由于电场强度的方向为电位梯度的负方向，而梯度方向总是垂直由于电场强度的方向为电位梯度的负方向，而梯度方向总是垂直于等位面，因此，于等位面，因此，电场线与等位面一定处处保持垂直电场线与等位面一定处处保持垂直。若规定相邻的。若规定相邻的等位面之间的电位差保持恒定，那么等位面密集处表明电位变化较快，因等位面之间的电位差保持恒定，那么等位面密集处表明电位变化较快，因而场强较强。这样，等位面分布的疏密程度也可表示电场强度的强弱。而场强较强。这样，等位面分布的疏密程度也可表示电场强度的强弱。电位相等的曲面称为电位相等的曲面称为等位面等位面，其方程为，其方程为电场线等位面式中常数式中常数 C 等于电位值。等于电位值。E E等位面等位面 Equipotentialsurfaces第8页，共72页，编辑于2022年，星期二电位电位满足的边界条件满足的边界条件第9页，共72页，编辑于2022年，星期二（1 1）高斯定律中的电量高斯定律中的电量 q 应理解为封闭面应理解为封闭面 S 所包围的所包围的全部正负电荷的总和。全部正负电荷的总和。静电场特性的进一步认识：静电场特性的进一步认识：（2 2）静电场的电场线是不可能闭合的静电场的电场线是不可能闭合的 ，而且也不可能相交。，而且也不可能相交。（3 3）任意两点之间电场强度任意两点之间电场强度 E E 的线积分与路径无关。真空中的静的线积分与路径无关。真空中的静电场和重力场一样，它是一种保守场。电场和重力场一样，它是一种保守场。（4 4）已知电荷分布的情况下，可以利用高斯定理计算电场强度，或已知电荷分布的情况下，可以利用高斯定理计算电场强度，或者可以通过电位求出电场强度，或者直接根据电荷分布计算电场强者可以通过电位求出电场强度，或者直接根据电荷分布计算电场强度等三种计算静电场的方法。度等三种计算静电场的方法。第10页，共72页，编辑于2022年，星期二1.1.介质分子的电偶极矩介质分子的电偶极矩(Electricdipolemoment):介质中的分子一介质中的分子一般有两种类型，一种分子的正负电荷中心重合，没有电偶极般有两种类型，一种分子的正负电荷中心重合，没有电偶极矩，称为矩，称为无极分子无极分子；另一种分子的正负电荷中心不重合，有电偶；另一种分子的正负电荷中心不重合，有电偶极矩，称为极矩，称为有极分子有极分子。在热平衡的情况下，分子无规则运动，其。在热平衡的情况下，分子无规则运动，其取向各方向均等，宏观上不显出电偶极矩和电特性取向各方向均等，宏观上不显出电偶极矩和电特性 无极分子有极分子3.2 3.2 介质极化介质极化 Dielectricpolarization 一、极化与极化强度矢量一、极化与极化强度矢量 polarizationintensity第11页，共72页，编辑于2022年，星期二2.介质的极化介质的极化在电场作用下，在电场作用下，无极分子正负电荷的中心相对位移，变为有无极分子正负电荷的中心相对位移，变为有极分子。有极分子的取向将沿电场方向呈现一定的规则性，极分子。有极分子的取向将沿电场方向呈现一定的规则性，宏观上出现电偶极矩，这就是宏观上出现电偶极矩，这就是介质的极化介质的极化。无极无极分子的极化分子的极化称为称为位移位移极化，极化，有极有极分子的极化称为分子的极化称为取向取向极化。极化。有极分子无极分子Ea第12页，共72页，编辑于2022年，星期二式中式中 e e 称为称为极化率极化率，它是一个正实数。，它是一个正实数。3.3.极化强度矢量极化强度矢量大大多多数数介介质质在在电电场场的的作作用用下下发发生生极极化化时时，其其极极化化强强度度 与与介介质质中中的的合成电场强度合成电场强度 成正比，即成正比，即极化强度矢量极化强度矢量 描述了介质极化的程度，它等于单位体积内的描述了介质极化的程度，它等于单位体积内的电偶极矩，即电偶极矩，即 其其中中为为小小体体积积V中中的的第第i个个分分子子的的电电偶偶极极矩矩，对对V中中的的所所有有分分子进行求和。子进行求和。V应理解为物理无限小的体积应理解为物理无限小的体积第13页，共72页，编辑于2022年，星期二 媒质被极化后，在媒质体内和分界面上会出现电荷分布，这媒质被极化后，在媒质体内和分界面上会出现电荷分布，这种电荷被称为极化电荷。种电荷被称为极化电荷。介质中的极化电荷不能离开分子移动，所介质中的极化电荷不能离开分子移动，所以又称为束缚电荷。极化电荷的分布用以又称为束缚电荷。极化电荷的分布用极化电荷体密度极化电荷体密度 P P或极化电荷面或极化电荷面密度密度 SPSP来表示来表示。1 1、体极化电荷、体极化电荷 Volumepolarizationcharge介质被极化后，每个分子可以看作是一个电偶极子，其电偶极介质被极化后，每个分子可以看作是一个电偶极子，其电偶极矩为矩为在介质体内取闭合面在介质体内取闭合面S S，在闭合面在闭合面S S所所围体积内取小体积元围体积内取小体积元 穿出穿出dSdS面的电荷量为：面的电荷量为：二、极化电荷（束缚电荷）二、极化电荷（束缚电荷）polarizationcharge第14页，共72页，编辑于2022年，星期二 穿出整个穿出整个S S面的电荷量为：面的电荷量为：由电荷守恒和电中性性质，由电荷守恒和电中性性质，S S面所围电荷量为面所围电荷量为说明：若媒质均匀极化（与空间位置无关），则介质无体极说明：若媒质均匀极化（与空间位置无关），则介质无体极化电荷。化电荷。均匀媒质被极化后，一般不存在体极化电荷。均匀媒质被极化后，一般不存在体极化电荷。它反映了空间任意点极化强度与极化电荷分布之间的关系，通常可用来它反映了空间任意点极化强度与极化电荷分布之间的关系，通常可用来求解介质内部的极化电荷分布。求解介质内部的极化电荷分布。第15页，共72页，编辑于2022年，星期二2 2、面极化电荷、面极化电荷 surfacepolarizationcharge 穿出面元穿出面元dSdS 的电荷量为：的电荷量为：式中：式中：为媒质极化强度为媒质极化强度 为媒质表面外法向单位矢量为媒质表面外法向单位矢量这就是极化强度与表面极化电荷密度的关系，它通常被用来求这就是极化强度与表面极化电荷密度的关系，它通常被用来求解介质受到极化时而产生的表面极化电荷分布。解介质受到极化时而产生的表面极化电荷分布。polarizationintensity第16页，共72页，编辑于2022年，星期二3 3、两种介质分界面上的极化电荷、两种介质分界面上的极化电荷 说明：说明：1)1)极化电荷不能自由运动，也称为束缚电荷极化电荷不能自由运动，也称为束缚电荷 2)2)由电荷守恒定律，极化电荷总量为零；由电荷守恒定律，极化电荷总量为零；3)3)极化媒质分界面上一般存在极化电荷；极化媒质分界面上一般存在极化电荷；4)4)若极化媒质内存在自由电荷，则在自由电若极化媒质内存在自由电荷，则在自由电 荷处一般存在极化电荷。荷处一般存在极化电荷。第17页，共72页，编辑于2022年，星期二此式表明，各向异性介质中，电位移的方向与电场强度的方向不一定相同，电位移此式表明，各向异性介质中，电位移的方向与电场强度的方向不一定相同，电位移某一分量可能与电场强度的各个（或者某些）分量有关。电位移和电场强度的关系某一分量可能与电场强度的各个（或者某些）分量有关。电位移和电场强度的关系与外加电场的与外加电场的方向方向有关。此外，可以推知均匀介质的介电常数与有关。此外，可以推知均匀介质的介电常数与空间坐标空间坐标无关。无关。线性介质的介电常数与电场强度的线性介质的介电常数与电场强度的大小大小无关。静止媒质的介电常数与无关。静止媒质的介电常数与时间时间无无关。关。各向异性介质中各向异性介质中第18页，共72页，编辑于2022年，星期二微分形式微分形式S矢矢量量(0E+P)的的散散度度仅仅与与自自由由电电荷荷有有关关,称称该该矢矢量量为为电电通通密密度度(或或称称电位移矢量电位移矢量),其单位为其单位为C/m2(库库/米米2),用用D表示表示,三、三、电介质中的方程电介质中的方程高斯定理高斯定理第19页，共72页，编辑于2022年，星期二s介介质质中中穿穿过过任任一一闭闭合合面面的的电电位位移移的的通通量量等等于于该该闭闭合合面面包包围围的的自自由由电电荷，而与束缚电荷无关。荷，而与束缚电荷无关。s用此式求解介质中静电场分布时不需要再考虑极化电荷，此时极用此式求解介质中静电场分布时不需要再考虑极化电荷，此时极化电荷的作用已经包含在等式左边的化电荷的作用已经包含在等式左边的D D之中之中s电位移矢量电位移矢量D D在空间形成一个有源场，自由电荷是其散度在空间形成一个有源场，自由电荷是其散度源。源。s 某某点点电位移的散度等于该电位移的散度等于该点自由点自由电荷的体密度电荷的体密度说明：说明：第20页，共72页，编辑于2022年，星期二将上式两边在任一体积将上式两边在任一体积V内积分内积分,并应用散度定理并应用散度定理积分形式积分形式第21页，共72页，编辑于2022年，星期二由于极化电荷只是静电场的散度源，对其旋度没有影响，因此在由于极化电荷只是静电场的散度源，对其旋度没有影响，因此在介质中静电场的旋度不变，仍有介质中静电场的旋度不变，仍有介质中的环路定理介质中的环路定理旋度方程旋度方程第22页，共72页，编辑于2022年，星期二式中：式中：为真空中的介电常数为真空中的介电常数 为媒质的极化强度为媒质的极化强度为外加电场强度为外加电场强度(Electricfieldintensity)讨论：讨论：1 1）式中：式中：称为电介质的介电常数。称为电介质的介电常数。称为电介质相对介电常数。称为电介质相对介电常数。电介质的本构关系电介质的本构关系四、电位移矢量四、电位移矢量(Electricdisplacement,Electricfluxdensity)第23页，共72页，编辑于2022年，星期二2 2）真空中的本构关系为：）真空中的本构关系为：3 3）真空中点电荷产生的电位移矢量为：）真空中点电荷产生的电位移矢量为：4 4）真空中静电场的基本方程：）真空中静电场的基本方程：第24页，共72页，编辑于2022年，星期二 实实际际中中经经常常使使用用介介电电常常数数的的相相对对值值，这这种种相相对对值值称称为为相相对对介介电电常常数数，以以 r 表示，其定义为表示，其定义为可见，任何介质的相对介电常数总是可见，任何介质的相对介电常数总是大于大于1。几种介质的相对介电常数的近似值。几种介质的相对介电常数的近似值。介介 质质介介 质质空空 气气1.0石石 英英3.3油油2.3云云 母母6.0纸纸1.34.0陶陶 瓷瓷5.36.5有机玻璃有机玻璃2.63.5纯纯 水水81石石 腊腊2.1树树 脂脂3.3聚乙烯聚乙烯2.3聚苯乙烯聚苯乙烯2.6rr2 2 相对介电常数相对介电常数第25页，共72页，编辑于2022年，星期二驻极体：外场消失后，仍保持极化状态驻极体：外场消失后，仍保持极化状态的电介质体。的电介质体。解：在驻极体内：解：在驻极体内：驻极体在表面上：驻极体在表面上：求半径为求半径为a a，永久极化强度为，永久极化强度为 的球形驻极体中的极化电荷分的球形驻极体中的极化电荷分布。已知：布。已知：例题一例题一第26页，共72页，编辑于2022年，星期二解：由定义，知：解：由定义，知：在线性均匀媒质中，已知电位移矢量在线性均匀媒质中，已知电位移矢量 的的z z分量为分量为 ，极化强度，极化强度 求：介质中的电场强度求：介质中的电场强度 和电位移矢量和电位移矢量 。例题二例题二第27页，共72页，编辑于2022年，星期二3.3 3.3 电容电容 Capacitance1 1、孤立导体的电容、孤立导体的电容孤立导体的电容的电容孤立导体的电容的电容C C定义为孤立导体所带的总电荷定义为孤立导体所带的总电荷q q与它的电位与它的电位 的比的比值值,即即2 2、双导体电容器的电容、双导体电容器的电容由由两两个个导导体体构构成成的的电电容容器器的的电电容容，定定义义为为电电容容器器的的电电荷荷量量q与与两两导导体之间的电压体之间的电压U的比值的比值 第28页，共72页，编辑于2022年，星期二3、部分电容、部分电容若电容器由多个导体构成，若电容器由多个导体构成，则电容器之间、导体与地之则电容器之间、导体与地之间均存在电容间均存在电容。Cii指导体与地之间形成电容，称为导体自电容指导体与地之间形成电容，称为导体自电容Cij指导体之间形成的电容，称为导体互电容指导体之间形成的电容，称为导体互电容第29页，共72页，编辑于2022年，星期二计算电容器电容的一般步骤：计算电容器电容的一般步骤：1)假设两导体上分别带电荷假设两导体上分别带电荷q和和-q；2)计算两导体间的电场强度计算两导体间的电场强度E；3)由由求出两导体间的电位差；求出两导体间的电位差；4)求比值求比值，即得到所求的电容。，即得到所求的电容。第30页，共72页，编辑于2022年，星期二例例 已知同轴线的内导体半径为已知同轴线的内导体半径为 a，外导体的内半径为，外导体的内半径为b，内外导体之间填充介质，内外导体之间填充介质的介电常数为的介电常数为 。试求单位长度内外导体之间的电容。试求单位长度内外导体之间的电容。解解 由于电场强度一定垂直于导体表面，因此，由于电场强度一定垂直于导体表面，因此，同轴线中电场强度方向一定沿径向方向。又因同轴线中电场强度方向一定沿径向方向。又因结构对称，可以应用高斯定律。结构对称，可以应用高斯定律。ab设内导体单位长度内的电量为设内导体单位长度内的电量为q，围绕内导体作一，围绕内导体作一个圆柱面作为高斯面个圆柱面作为高斯面S，则，则那么内外导体之间的电位差那么内外导体之间的电位差 U 为为 因此同轴线单位长度内的电容为因此同轴线单位长度内的电容为 第31页，共72页，编辑于2022年，星期二3.4电场能量电场能量ElectricEnergy一、基本定义一、基本定义在在n n个带电导体构成的线性系统中个带电导体构成的线性系统中,假设每个带电体的电量都同时从零开始假设每个带电体的电量都同时从零开始,逐逐渐增加到它们的最终值渐增加到它们的最终值qi(i=1,2,n),对应的电位为对应的电位为i(i=1,2,n)(i=1,2,n)。此过程中在任意时刻此过程中在任意时刻t,t,各带电体只充电到它们最终值的各带电体只充电到它们最终值的 倍倍(1),1),即带电量即带电量为为 qi,qi,电位为电位为 i(i=1,2,n)i(i=1,2,n)。如果这时在第。如果这时在第i i个带电体上电荷增量个带电体上电荷增量是是d(d(qi)qi)时时,则外电源需要作的功为则外电源需要作的功为d(d(qi)(qi)(i)=i)=qiidqiid。当当n n个带电导体都同时增加一个个带电导体都同时增加一个d(qi),(i=1,2,n),d(qi),(i=1,2,n),则外电则外电源需作的总功是源需作的总功是 。根据能量守恒定律根据能量守恒定律,该功转换为电场能量该功转换为电场能量,因而因而,带电系统周围空间电场储能带电系统周围空间电场储能增量为增量为第32页，共72页，编辑于2022年，星期二所以所以,n个带电导体电量从零充电到最终值时个带电导体电量从零充电到最终值时,电场总的储能为电场总的储能为We就是就是n个带电体系统电场的总能量。能量单位是个带电体系统电场的总能量。能量单位是CV=JCV=J。特例：特例：在在两两个个导导体体极极板板构构成成的的电电容容器器中中,经经外外电电源源充充电电后后,最最终终极极板板上上的的电电量量分分别为别为+Q Q与与-Q Q,对应电位分别为对应电位分别为1 1和和2 2,则该电容器储存的电场能量是则该电容器储存的电场能量是 第33页，共72页，编辑于2022年，星期二空间电荷分布为空间电荷分布为，在空间中产生电位为，在空间中产生电位为，静电场的总能量，静电场的总能量为为：对于面分布电荷对于面分布电荷，则有，则有对于线分布电荷对于线分布电荷，推广到连续分布的电荷推广到连续分布的电荷第34页，共72页，编辑于2022年，星期二说明：说明：1)1)此公式只适用于静电场能量求解；此公式只适用于静电场能量求解；2)2)公式中公式中/2不表示电场能量密度；不表示电场能量密度；3)3)为空间中自由电荷分布；为空间中自由电荷分布；4)4)积分范围积分范围V V为整个空间，但可退化到电荷分布区域。为整个空间，但可退化到电荷分布区域。第35页，共72页，编辑于2022年，星期二2 2、带电导体系统的能量、带电导体系统的能量对对于于带带电电导导体体系系统统，由由于于每每一一个个导导体体都都是是等等位位体体，且且电电荷荷只只分布在导体的表面上，所以分布在导体的表面上，所以式式中中是是qi第第i个个导导体体所所带带的的电电荷荷，i是是所所有有电电荷荷（包包括括第第i个个导导体体本本身身所带的电荷）在第所带的电荷）在第i i个导体上产生的电位。个导体上产生的电位。对于孤立导体对于孤立导体，第36页，共72页，编辑于2022年，星期二3、用场量表示静电场能量、用场量表示静电场能量用用D=,E=-代入代入We的表达式，并运用矢量恒等式的表达式，并运用矢量恒等式(D)=D D 可得到用场量表示的静电场能量的表达式为可得到用场量表示的静电场能量的表达式为具体过程具体过程:第37页，共72页，编辑于2022年，星期二电场能量密度电场能量密度(energydensity)we对于线性媒质，对于线性媒质，D=E第38页，共72页，编辑于2022年，星期二1)式式的的积积分分区区域域是是存存在在电电场场的的整整个个空空间间，被被积积函函数数就就是是电电场场的的能能量量密密度度。它它表表明明静静电电能能量量存存在在于于电电场场中中，电电场场所所在在空空间间中中的的任任何何地地方方，都都具具有有电电场场能量；能量；2)式式是是在在电电荷荷密密度度不不为为零零的的区区域域内内积积分分，但但不不能能认认为为静静电电能能量量仅仅存存在在于于带带电电体体内内，其其被被积积函函数数并不表示电场能量密度；并不表示电场能量密度；说明说明第39页，共72页，编辑于2022年，星期二3)式式表明静电能量是由静止电荷所产生的电位能；表明静电能量是由静止电荷所产生的电位能；4)在静电场的情况下，两式是一致的，它们都表示静电场的总能在静电场的情况下，两式是一致的，它们都表示静电场的总能量。但后者只适用于静电场，而前者式既适用于静电场，也适用于量。但后者只适用于静电场，而前者式既适用于静电场，也适用于时变场时变场第40页，共72页，编辑于2022年，星期二例例 计算半径为计算半径为 a，电量为，电量为 Q 的导体球具有的能量。导体的导体球具有的能量。导体周围介质的介电常数为周围介质的介电常数为。解解 可以通过三种途径获得相同结果。可以通过三种途径获得相同结果。（1 1）已知半径为已知半径为a，电量为，电量为 Q 的导体球的电位为的导体球的电位为（2 2）已知导体表面是一个等位面，那么积分求得已知导体表面是一个等位面，那么积分求得 第41页，共72页，编辑于2022年，星期二（3 3）已知电量为已知电量为 Q 的导体球外的电场强度为的导体球外的电场强度为能量密度为能量密度为那么沿球外整个空间积分求得那么沿球外整个空间积分求得 第42页，共72页，编辑于2022年，星期二计算具有一定电荷分布的带电体之间的电场力，通常采用计算具有一定电荷分布的带电体之间的电场力，通常采用虚位移法虚位移法。虚位移法虚位移法E基本思想：基本思想：这这种种方方法法是是假假定定带带电电体体在在电电场场作作用用下下发发生生一一定定的的位位移移，根根据据位位移移过过程程中中电电场场能能量量的的变变化化与与外外力力及及电电场场力力所所作作的的功功之之间间的的关关系系计计算算电电场场力。力。在由在由N N个带电导体组成的系统中，假设第个带电导体组成的系统中，假设第i i个带电导体在电场力个带电导体在电场力F Fi i的作用下发生位移的作用下发生位移dxi，则电场力做功，则电场力做功dAi=Fidxi，系统的静电场，系统的静电场能量的改变量为能量的改变量为dWe。3.53.5 电场力电场力 Electricfieldforces第43页，共72页，编辑于2022年，星期二dWs是与各带电体相连接的外电源所提供的能量。根据能量守恒定律，是与各带电体相连接的外电源所提供的能量。根据能量守恒定律，该系统的功能关系为该系统的功能关系为dWs=Fidxi+dWe各带电导体的电荷不变各带电导体的电荷不变 这种情况下，所有带电体都不和外电源相连接这种情况下，所有带电体都不和外电源相连接dWs=0=0，因此有，因此有Fidxi=-dWe第44页，共72页，编辑于2022年，星期二各带电导体的电位不变各带电导体的电位不变 这种情况下，各带电导体应分别与外源连接。此时，外源向系统提这种情况下，各带电导体应分别与外源连接。此时，外源向系统提供的能量为供的能量为而系统所改变的静电能量为而系统所改变的静电能量为dWs=Fidxi+dWedWs=2dWe，2dWe=Fidxi+dWe第45页，共72页，编辑于2022年，星期二1 1、式中是、式中是xi广义坐标，可以代表位移、面积、体积甚至角度。广义坐标，可以代表位移、面积、体积甚至角度。那么，企图改变这种广义坐标的作用力称为对于该广义坐标的那么，企图改变这种广义坐标的作用力称为对于该广义坐标的广义力广义力。Fi是广义力。若是广义力。若xi是距离（即长度），则是距离（即长度），则Fi是静电力；是静电力；若若xi是角度，则是角度，则Fi是力矩；对于面积，广义力为是力矩；对于面积，广义力为表面张力表面张力，单位为，单位为N/m；对于体积，广义力为膨胀力或；对于体积，广义力为膨胀力或压力压力，单位为，单位为N/m2；2 2、式、式 中的中的“”号，是因为没有外源提供号，是因为没有外源提供能量，电场力做功是靠减少系统的静电能量来实现。能量，电场力做功是靠减少系统的静电能量来实现。说明：说明：第46页，共72页，编辑于2022年，星期二例例有一平行金属板电容器，极板面积为有一平行金属板电容器，极板面积为lb，板间距离为，板间距离为d，用一块介质片（介，用一块介质片（介电常数为电常数为，宽度为，宽度为b b，厚度为，厚度为d d）部分填充在两极板之间，如图所示。）部分填充在两极板之间，如图所示。设极板间外加电压为设极板间外加电压为U U0 0，忽略边缘效应，求介质片所受的静电力。，忽略边缘效应，求介质片所受的静电力。l xbdU0解：解：平行板电容器的电容为：平行板电容器的电容为：所以电容器内的电场能量为：所以电容器内的电场能量为：第47页，共72页，编辑于2022年，星期二故介质片受到的静电力为故介质片受到的静电力为 由此可以看出，由于由此可以看出，由于 0，所以介质片所受到的力有把，所以介质片所受到的力有把介质片拉进电容器的趋势。介质片拉进电容器的趋势。第48页，共72页，编辑于2022年，星期二设极板上保持总电荷设极板上保持总电荷q q不变，不变，另解：另解：第49页，共72页，编辑于2022年，星期二设设两两极极板板上上的的电电量量分分别别为为+q 及及 -q ，板板间间距距离离为为 l。为为了了计计算算方方便便，假假定在电场力作用下，极板之间的距离增量为定在电场力作用下，极板之间的距离增量为dl。dll-q+q举例举例电场力作的功应为电场力作的功应为能量守恒能量守恒第50页，共72页，编辑于2022年，星期二计算带电肥皂泡的膨胀力。计算带电肥皂泡的膨胀力。解解 设肥皂泡的电量为设肥皂泡的电量为q ，半径为，半径为a。利用常电荷系统公式，令式中广义坐标。利用常电荷系统公式，令式中广义坐标 l 代表体积代表体积 V，则受到的膨胀力，则受到的膨胀力F 为为 已知半径为已知半径为a，电量为，电量为q 的带电球的电位为的带电球的电位为因此，携带的能量为因此，携带的能量为 又知球的体积为又知球的体积为 代入上式，得代入上式，得 例例第51页，共72页，编辑于2022年，星期二本章小结本章小结一、静电场的基本方程一、静电场的基本方程微分形式微分形式积分形式积分形式高斯定理的微分形式高斯定理的微分形式高斯定理的积分形式高斯定理的积分形式环路定理的微分形式环路定理的微分形式环路定理的积分形式环路定理的积分形式第52页，共72页，编辑于2022年，星期二二、电位与电位差二、电位与电位差 1 1、电位具有明确的物理意义，它表示将正电荷从场点移动到参、电位具有明确的物理意义，它表示将正电荷从场点移动到参考点时电场力所做的功；考点时电场力所做的功；2 2、明确电位参考点的作用。电位具有相对意义，在同一个静、明确电位参考点的作用。电位具有相对意义，在同一个静电场中，各点的电位值与参考点的选取有关。但场中两点之电场中，各点的电位值与参考点的选取有关。但场中两点之间的电位差是绝对的，与参考点的选择无关；间的电位差是绝对的，与参考点的选择无关；第53页，共72页，编辑于2022年，星期二4 4、电荷分布在有限的区域时，通常选择无穷远处为电位参考点。电荷不是分、电荷分布在有限的区域时，通常选择无穷远处为电位参考点。电荷不是分布在有限区域内时，则不能选择无穷远处为电位参考点，这时可根据具体情况布在有限区域内时，则不能选择无穷远处为电位参考点，这时可根据具体情况选择电位参考点。如：对于均匀带电的无限长细直导线的电位，可选择选择电位参考点。如：对于均匀带电的无限长细直导线的电位，可选择r=r0（r0的常数）为电位参考点。的常数）为电位参考点。5 5、在静电场中，有接地导体时，通常选择接地导体的电位为零。但接地与电位参考、在静电场中，有接地导体时，通常选择接地导体的电位为零。但接地与电位参考点是两个不同的概念，不能混为一谈。点是两个不同的概念，不能混为一谈。3 3、选择电位参考点的选择电位参考点的般原则：般原则：一是电位表达式要有意义。例如，在点电一是电位表达式要有意义。例如，在点电荷的电场中不能选择点电荷所在处为电位参考点，在均匀场中不能选择无穷远处荷的电场中不能选择点电荷所在处为电位参考点，在均匀场中不能选择无穷远处为电位参考点。否则空间中大多数地方电位将为无穷大，而失去实际意义；二是为电位参考点。否则空间中大多数地方电位将为无穷大，而失去实际意义；二是同一个问题中只能选择一个电位参考点。同一个问题中只能选择一个电位参考点。第54页，共72页，编辑于2022年，星期二极化强度矢量极化强度矢量:体极化电荷体极化电荷面极化电荷面极化电荷三、静电场中的电介质三、静电场中的电介质电位移矢量电位移矢量第55页，共72页，编辑于2022年，星期二散度方程：散度方程：旋度方程：旋度方程：第56页，共72页，编辑于2022年，星期二静电场问题中，常常涉及到具有不同物理性质的媒质，在两种静电场问题中，常常涉及到具有不同物理性质的媒质，在两种不同媒质的分量面上，场量会产生突变，基本方程的微分形式不同媒质的分量面上，场量会产生突变，基本方程的微分形式不适用于媒质分界面不适用于媒质分界面 四、静电场的边界条件第57页，共72页，编辑于2022年，星期二介质E,D导体en介质介质-导体导体介质介质-介质介质第58页，共72页，编辑于2022年，星期二部分电容的概念。部分电容的概念。五、电容和部分电容五、电容和部分电容第59页，共72页，编辑于2022年，星期二六、静电场能量六、静电场能量点电荷系点电荷系连续分布电荷系连续分布电荷系用电场表示的能量公式用电场表示的能量公式电场能量密度公式电场能量密度公式第60页，共72页，编辑于2022年，星期二由已知电荷分布求电场和电位分布；由已知电荷分布求电场和电位分布；由已知电场或电位分布求自由电荷和极化分布；由已知电场或电位分布求自由电荷和极化分布；求电容、静电能量和静电力。求电容、静电能量和静电力。1、已知电荷分布求解电场分布主要有三种方法：、已知电荷分布求解电场分布主要有三种方法：1)、直直接接应应用用电电场场强强度度的的计计算算公公式式求求解解。这这一一方方法法主主要要用用于于计计算算一一些些比比较较简单的电荷分布在空间某些特殊位置的电场（已在第二章中讨论）；简单的电荷分布在空间某些特殊位置的电场（已在第二章中讨论）；2)、应用高斯定理求解对称分布的电场。、应用高斯定理求解对称分布的电场。当电场分布具有某种空间对称性（如平面对称、轴对称、球对称等）时，应用高当电场分布具有某种空间对称性（如平面对称、轴对称、球对称等）时，应用高斯定理求解电场强度最为简单。斯定理求解电场强度最为简单。七、静电场解题的主要问题：七、静电场解题的主要问题：第61页，共72页，编辑于2022年，星期二对对于于某某些些非非对对称称分分布布的的场场，若若能能将将其其表表示示为为若若干干个个对对称称分分布布的的场场的的叠叠加加，也也能能应应用用高斯定律求解。高斯定律求解。当存在介质分界面时，有两种情况适宜用高斯定理求解：一种情况是在介当存在介质分界面时，有两种情况适宜用高斯定理求解：一种情况是在介质分界面上，电场垂直于介质分界面，即电场只有法向分量。这时成对称质分界面上，电场垂直于介质分界面，即电场只有法向分量。这时成对称分布，可直接应用高斯定理求解；另一种情况是在介质分界面上，电场平分布，可直接应用高斯定理求解；另一种情况是在介质分界面上，电场平行于分界面，即电场只有切向分量。行于分界面，即电场只有切向分量。3)3)由电位的梯度求电场强度。由电位的梯度求电场强度。第62页，共72页，编辑于2022年，星期二1、直直接接应应用用电电位位的的计计算算公公式式求求解解。这这一一方方法法主主要要用用于于计计算算一一些些比比较较简简单单的的电电荷荷分布在空间某些特殊位置的电位；分布在空间某些特殊位置的电位；2、由电场强度的积分求电位；、由电场强度的积分求电位；3、求解泊松方程或拉普拉斯方程的边值问题、求解泊松方程或拉普拉斯方程的边值问题2、求解电位分布的三种主要方法是：、求解电位分布的三种主要方法是：第63页，共72页，编辑于2022年，星期二3、自由电荷或极化电荷的计算、自由电荷或极化电荷的计算当当已已知知电电场场或或电电位位分分布布，则则可可由由或或求求出出电电荷荷体体密密度度，由由求求出出极极化化电电荷荷体体密密度度；由由边界条件求出分界面上的自由电荷或极化电荷面密度。边界条件求出分界面上的自由电荷或极化电荷面密度。第64页，共72页，编辑于2022年，星期二1、假假设设极极板板上上的的电电荷荷q，按按的的步步骤骤计计算。当场分布具有对称性时，这种方法最简便；算。当场分布具有对称性时，这种方法最简便；2 2、假设极板间的电压、假设极板间的电压U U，解电位，解电位 的边值问题，按的边值问题，按 的步骤计算。的步骤计算。4、电容的计算通常可采用两种方法：、电容的计算通常可采用两种方法：第65页，共72页，编辑于2022年，星期二由由 ，可得到，可得到Exp.1Exp.1 一半径为一半径为R R0 0的介质球，介电常数为的介质球，介电常数为 0 0 r r，其内均匀，其内均匀分布自由电荷分布自由电荷，证明中心点的电位为，证明中心点的电位为 故中心点的电位为故中心点的电位为即：即：解解:时时时时第66页，共72页，编辑于2022年，星期二Exp.2Exp.2 两种电介质的相对介电常数分别为两种电介质的相对介电常数分别为 r1r1=2=2和和 r2r2=3=3，其分界面，其分界面为为Z=0Z=0平面。如果已知介质平面。如果已知介质1 1中的电场中的电场那么对于介质那么对于介质2 2中的中的E E2 2和和D D2 2 ，我们可得到什么结果？能否求出介，我们可得到什么结果？能否求出介质质2 2中任意点的中任意点的E E2 2和和D D2 2？解解:设在介质设在介质2 2中中在在Z=0Z=0处，由处，由可得：可得：第67页，共72页，编辑于2022年，星期二于是得到于是得到故得到介质故得到介质2 2中的中的E E2 2和和D D2 2在处的表达式分别为在处的表达式分别为不能求出介质不能求出介质2 2中任意点的中任意点的E E2 2和和D D2 2 。由于是非均匀场，。由于是非均匀场，介质中任意点的电场与边界面上的电场是不相同的。介质中任意点的电场与边界面上的电场是不相同的。第68页，共72页，编辑于2022年，星期二本章要求1 1、掌握电场强度、电位移矢量的定义及其物理意义，能熟练应用静、掌握电场强度、电