第三章线形系统时域分析第八讲PPT讲稿.ppt

第三章线形系统时域分析第八讲1第1页，共39页，编辑于2022年，星期二3.5 3.5 线形定常控制系统的稳定性线形定常控制系统的稳定性l稳定是控制系统能够正常运行的首要条件。l对分析系统的各类性能指标，必须在保证系统稳定的前提下进行。l解决的问题：解决的问题：l如何判定系统的稳定性l保证系统稳定的措施 第2页，共39页，编辑于2022年，星期二3.5.1 3.5.1 稳定的基本概念和系统稳定的充要条件稳定的基本概念和系统稳定的充要条件1、基本概念、基本概念 控制系统在运行过程中，总会受到外界和内部一些因素的干扰，例如，负载和能源的波动、系统参数的变化、环境改变等，这些因素总是存在的。如果系统设计时不考虑这些因素，设计出来的系统可能不稳定，那就需要重新设计，或调整某些参数或结构。稳定：稳定：设一线性定常系统原处于某一平衡状态，若它瞬间受到某一扰动作用设一线性定常系统原处于某一平衡状态，若它瞬间受到某一扰动作用而偏离了原来的平衡状态，当此扰动撤消后，系统是否能回到原来的平衡状而偏离了原来的平衡状态，当此扰动撤消后，系统是否能回到原来的平衡状态，这就是稳定性问题。仍能回到原有的平衡状态，则称该系统是稳定的。态，这就是稳定性问题。仍能回到原有的平衡状态，则称该系统是稳定的。反之，系统为不稳定。反之，系统为不稳定。稳定性是系统自身的固有特性稳定性是系统自身的固有特性.线性系统的稳定性仅与系统的结构和线性系统的稳定性仅与系统的结构和参数有关，与系统的输入信号无关参数有关，与系统的输入信号无关(见后分析见后分析)。第3页，共39页，编辑于2022年，星期二稳定性研究的问题：稳定性研究的问题：扰动作用去除后系统的运动情况，它与系统的输入信号无关，只取决于系统本身的结构或特征。因而可用系统的脉冲响应函数来描述。系统最终能回到平衡状态的稳定性称为渐近稳定性，是线形定常系统的一种特性。本书讨论的稳定性问题如不加说明，均指渐近稳定。第4页，共39页，编辑于2022年，星期二如果系统脉冲响应是收敛的，即有表示系统仍能回到原有的平衡状态，因而系统是稳定的。由此可知，系统的稳定与其脉冲响应函数的收敛是一致的。系统仍能回到原来的平衡状态系统仍能回到原来的平衡状态单位脉冲函数的拉氏反变换等于1，所以系统的脉冲响应函数就是系统闭环传递函数的拉氏反变换。令系统的闭环传递函数含有q个实数极点和r对复数极点，则式(3-46)可改写为：注：q+2r=n 2、稳定的充要条件、稳定的充要条件第5页，共39页，编辑于2022年，星期二用部分分式展开用部分分式展开 拉式反变换，得系统的脉冲响应函数为：拉式反变换，得系统的脉冲响应函数为：闭环特征方程式的根须都位于闭环特征方程式的根须都位于S S的左半平的左半平面或具有负实部面或具有负实部。系统稳定系统稳定不稳定系统不稳定系统 充要条件充要条件要有一个正实根或一对实部为正的复数根要有一个正实根或一对实部为正的复数根。系统响应曲线发散系统响应曲线发散 第6页，共39页，编辑于2022年，星期二若有部分极点位于S平面虚轴上，出现临界稳定状态，从李氏理论上讲是稳定的。但在工程中认为是不稳定。工程上一般阻尼比取0.4-0.8，调整时间达到一定值.第7页，共39页，编辑于2022年，星期二一个在零输入下稳定的系统，会不会因某个参考输入信号的加入而使其稳定性受到破坏？单位阶跃函数 分析分析(3-47)稳态分量瞬态分量瞬态分量系统的结构和参数确定 参考输入一个在零输入下的稳定系统，在参考输入信号作用下仍将继续一个在零输入下的稳定系统，在参考输入信号作用下仍将继续保持稳定。保持稳定。衰减 第8页，共39页，编辑于2022年，星期二3.5.23.5.2劳斯稳定判据劳斯稳定判据(Rouths stability criterion)(Rouths stability criterion)（重点）（重点）1劳斯表劳斯表线性系统稳定线性系统稳定闭环特征方程式的根必须都位闭环特征方程式的根必须都位于于S S的左半平面。的左半平面。充要条件充要条件稳定判据稳定判据 令系统的闭环特征方程为令系统的闭环特征方程为如果特征方程式的根都位于如果特征方程式的根都位于S的左半平面（即：有负实部），则其特的左半平面（即：有负实部），则其特征方程式的各项系数均为正值，且无零系数。征方程式的各项系数均为正值，且无零系数。证明 设为实数根，为复数根 不会有系数小于零或等于的项不会有系数小于零或等于的项线性系统稳定线性系统稳定必要条件必要条件第9页，共39页，编辑于2022年，星期二将各项系数，按下面的格式排成劳斯表第10页，共39页，编辑于2022年，星期二这样可求得这样可求得n+1n+1行系数行系数 劳斯稳定判据是根据所列劳斯表第一列系数符号的变化，去判别劳斯稳定判据是根据所列劳斯表第一列系数符号的变化，去判别特征方程式的根在特征方程式的根在S S平面上的具体分布情况，过程如下：平面上的具体分布情况，过程如下：如果劳斯表中第一列的系数均为正值，则其特征方程式的根都如果劳斯表中第一列的系数均为正值，则其特征方程式的根都在在S S的左半平面，系统是稳定的。的左半平面，系统是稳定的。（前提条件：特征方程式的系数都大于零，且不缺项）（前提条件：特征方程式的系数都大于零，且不缺项）如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化的次数等于该特征如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化的次数等于该特征方程式的根在方程式的根在S S的右半平面上的个数，系统为不稳定。的右半平面上的个数，系统为不稳定。第11页，共39页，编辑于2022年，星期二设系统特征方程为：设系统特征方程为：s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0劳劳 斯斯 表表s6s5s0s1s2s3s41246357(64)/2=1127124635710(6-14)/1=-8-82 41 2劳斯表介绍劳斯表特点劳斯表特点2 每两行个数相等每两行个数相等1 右移一位降两阶（奇、偶）右移一位降两阶（奇、偶）3 行列式第一列不动行列式第一列不动4 次对角线减主对角线次对角线减主对角线5 分母总是上一行第一个元素分母总是上一行第一个元素6 一行可同乘以或同除以某正数一行可同乘以或同除以某正数71 2 7-87第12页，共39页，编辑于2022年，星期二劳斯判据系统稳定的系统稳定的必要必要条件条件:有正有负一定不稳定有正有负一定不稳定!缺项一定不稳定缺项一定不稳定!系统稳定的系统稳定的充分充分条件条件:劳斯表第一列元素劳斯表第一列元素不变号不变号!若变号系统不稳定若变号系统不稳定!变号的变号的次数次数为特征根在为特征根在s右半平面的右半平面的个数个数!特征方程各项系数均大于零特征方程各项系数均大于零!-s2-5s-6=0稳定吗稳定吗？第13页，共39页，编辑于2022年，星期二已知一调速系统的特征方程式为已知一调速系统的特征方程式为已知一调速系统的特征方程式为已知一调速系统的特征方程式为例3-5试用劳斯判据判别系统的稳定性。试用劳斯判据判别系统的稳定性。解：列劳斯表如右：解：列劳斯表如右：该表第一列系数符号不全为正，因而系统是不稳定的；且符号变该表第一列系数符号不全为正，因而系统是不稳定的；且符号变化了两次，所以该方程中有二个根在化了两次，所以该方程中有二个根在S S的右半平面或者说有两个正实的右半平面或者说有两个正实部的根。部的根。第14页，共39页，编辑于2022年，星期二已知某调速系统的特征方程式为已知某调速系统的特征方程式为 例3-6求该系统稳定的求该系统稳定的K K值范围。值范围。解：列劳斯表解：列劳斯表由劳斯判据可知，若系统稳定，则劳斯表中第一列的系数必须全为正由劳斯判据可知，若系统稳定，则劳斯表中第一列的系数必须全为正值。值。可得：可得：第15页，共39页，编辑于2022年，星期二劳斯判据特殊情况 劳斯表某一行中的第一项元素等于零，而该行的其余各项劳斯表某一行中的第一项元素等于零，而该行的其余各项不等于零或没有其余项的情况。不等于零或没有其余项的情况。若劳斯表第一列中系数的符号有变化，其变化的次数就等于该方程在若劳斯表第一列中系数的符号有变化，其变化的次数就等于该方程在S S右半平面上根的数目，相应的右半平面上根的数目，相应的系统为不稳定系统为不稳定如果第一列如果第一列 上面的系数与下面的系数符号相同，则表示该方程中上面的系数与下面的系数符号相同，则表示该方程中有一对共轭虚根存在（出现有一对共轭虚根存在（出现临界稳定临界稳定情况），相应的系统也属情况），相应的系统也属不不稳定稳定是以一个很小的正数是以一个很小的正数来代替为零的这项来代替为零的这项解决的办法：解决的办法：据此算出其余的各项，完成劳斯表的排列据此算出其余的各项，完成劳斯表的排列请看例题第16页，共39页，编辑于2022年，星期二已知系统的特征方程式为已知系统的特征方程式为试判别相应系统的稳定性。试判别相应系统的稳定性。例例3-73-7由于表中第一列由于表中第一列上面系数的符号与其下面系数的符号相同，表示该方程中有一上面系数的符号与其下面系数的符号相同，表示该方程中有一对共轭虚根存在对共轭虚根存在-j,+j-j,+j，相应的系统为（临界）稳定，实际上属，相应的系统为（临界）稳定，实际上属于不稳定。于不稳定。解：列劳斯表如右解：列劳斯表如右第17页，共39页，编辑于2022年，星期二劳斯表中出现全零行劳斯表中出现全零行 则表示相应方程中含有一些则表示相应方程中含有一些大小相等符号相反的实大小相等符号相反的实根或共轭虚根。根或共轭虚根。这种情况这种情况可用系数全为零行的上一行系数构造一可用系数全为零行的上一行系数构造一个辅助多项式（方程），并以这个辅助多项式（方个辅助多项式（方程），并以这个辅助多项式（方程）导数的系数来代替表中系数全为零的行。完成程）导数的系数来代替表中系数全为零的行。完成劳斯表的排列劳斯表的排列。解决的办法解决的办法这些大小相等、径向位置相反的根可以通过求解这个辅这些大小相等、径向位置相反的根可以通过求解这个辅助方程式得到，而且其根的数目总是助方程式得到，而且其根的数目总是偶数偶数的的。请看例题第18页，共39页，编辑于2022年，星期二例例:一个控制系统的特征方程为一个控制系统的特征方程为 列劳斯表显然这个系统处于临显然这个系统处于临界界(不不)稳定状态稳定状态。第19页，共39页，编辑于2022年，星期二3.5.2.3 3.5.2.3 劳斯判据的应用劳斯判据的应用实际系统中，一般希望根距离实际系统中，一般希望根距离S S左半平面的虚轴有左半平面的虚轴有一定的距离。一定的距离。为变量的特征方程式，然后用劳斯判据去判别该方程中是否有为变量的特征方程式，然后用劳斯判据去判别该方程中是否有根位于垂线根位于垂线此法可以估计一个稳定系统，它的所有根中最靠近虚轴的根距此法可以估计一个稳定系统，它的所有根中最靠近虚轴的根距离虚轴的距离，从而了解系统稳定的离虚轴的距离，从而了解系统稳定的“程度程度”。代入原方程式中，得到以代入原方程式中，得到以 稳定判据能回答特征方程式的根在稳定判据能回答特征方程式的根在S S平面上的分布情况，而不能确定平面上的分布情况，而不能确定根的具体值。也不能保证系统具有满意的动态性能。换句话说，劳根的具体值。也不能保证系统具有满意的动态性能。换句话说，劳斯判据不能表明系统特征根在斯判据不能表明系统特征根在S S平面上相对于虚轴的距离。平面上相对于虚轴的距离。解决的办法解决的办法设右侧。右侧。请看例题第20页，共39页，编辑于2022年，星期二3.5.2.3 3.5.2.3 劳斯判据的应用劳斯判据的应用用劳斯判据检验下列特征方程用劳斯判据检验下列特征方程是否有根在是否有根在S S的右半平面上，并检验有几个根在垂线的右半平面上，并检验有几个根在垂线的右方。的右方。例3-8解：列劳斯表 第一列全为正，所有的根均位于左半平面，系统稳定。第一列全为正，所有的根均位于左半平面，系统稳定。第21页，共39页，编辑于2022年，星期二令代入特征方程：代入特征方程：式中有负号，显然有根在式中有负号，显然有根在的右方。的右方。列劳斯表来看，如右：第一列的系数符号变化了一次，表示原第一列的系数符号变化了一次，表示原方程有一个根在垂直直线方程有一个根在垂直直线的右方。的右方。请看例题第22页，共39页，编辑于2022年，星期二已知一单位反馈控制系统如图已知一单位反馈控制系统如图3-213-21所示，试回答所示，试回答 例3-9时，闭环系统是否稳定？时，闭环系统是否稳定？图图3-213-21单位反馈控制系统方块图单位反馈控制系统方块图时，闭环系统的稳定条件是什么？时，闭环系统的稳定条件是什么？列劳斯表如右 第一列均为正值，特征方程的根全第一列均为正值，特征方程的根全部位于左半平面，故部位于左半平面，故 闭环系统的特征方程为闭环系统的特征方程为:解：系统稳定第23页，共39页，编辑于2022年，星期二开环传递函数 闭环特征方程为 列劳斯表第24页，共39页，编辑于2022年，星期二利用劳斯稳定判据可确定系统一个或两个可调参数对系统稳定利用劳斯稳定判据可确定系统一个或两个可调参数对系统稳定性的影响。性的影响。欲使系统稳定第一列的系数必须全为正值 第25页，共39页，编辑于2022年，星期二3.6 线性系统的稳态误差及计算系统稳定是前提 控制系统的性能 动态性能 稳态性能 稳态误差 稳态误差可以避免吗？在阶跃函数作用下具有原理性稳态误差的系统。在阶跃函数作用下具有原理性稳态误差的系统。摩擦，不灵敏区，零位输出等非线性因素 输入函数的形式不同(阶跃、斜坡、加速度)无差系统：无差系统：有差系统：有差系统：在阶跃函数作用下没有原理性稳态误差的系统，也叫在阶跃函数作用下没有原理性稳态误差的系统，也叫无差度系统无差度系统。本节主要讨论没有原理性稳态误差的计算方法没有原理性稳态误差的计算方法系统结构系统结构-系统类型系统类型不同的输入函数作用下,本书第 8章介绍回答：不可避免，因为 第26页，共39页，编辑于2022年，星期二图图3-22 3-22 控制系统框图控制系统框图3.6.1 3.6.1 稳态误差的定义稳态误差的定义 误差：误差：被控量的被控量的希望值与实际值的差。希望值与实际值的差。即即：稳态误差：稳态误差：误差信号的稳态分量，记：误差信号的稳态分量，记：与与 的关系：的关系：定义：定义：时，被控量的值就是系统的希望值。时，被控量的值就是系统的希望值。定义定义当当 时时误差与偏差的关系：误差与偏差的关系：稳态分量反应了控制系统的稳态性能。稳态分量反应了控制系统的稳态性能。第27页，共39页，编辑于2022年，星期二图3-22 控制系统框图当当 时（单位反馈），偏差信号与误差信号相同。时（单位反馈），偏差信号与误差信号相同。对于非单位反馈系统，可通过先计算偏差信号对于非单位反馈系统，可通过先计算偏差信号 ，再计算误差信号。，再计算误差信号。由图由图3-223-22可得可得误差传递函数误差传递函数椐终值定理，求稳态误差椐终值定理，求稳态误差 （方法一）（方法一）输入形式结构形式开环传递函数开环传递函数公式条件：公式条件：的极点位于左半平的极点位于左半平面，或系统稳定面，或系统稳定对于稳定的系统，当输入信号不变时，系统是否存在稳态误差，就取决对于稳定的系统，当输入信号不变时，系统是否存在稳态误差，就取决于开环传递函数所描述的于开环传递函数所描述的系统结构系统结构第28页，共39页，编辑于2022年，星期二3.6.2 3.6.2 系统（结构）类型系统（结构）类型System TypeSystem Type令系统开环传递函数为令系统开环传递函数为！系统类型系统类型(type)与系统的阶数与系统的阶数(order)的区别的区别定义第29页，共39页，编辑于2022年，星期二令 系统稳态误差终值计算公式则可表示为：系统稳态误差终值计算公式则可表示为：分别讨论系统在单位分别讨论系统在单位阶跃、斜坡和加速度阶跃、斜坡和加速度函数作用下的稳态误函数作用下的稳态误差。差。第30页，共39页，编辑于2022年，星期二阶跃信号输入 令令 (3-63)由由(3-65)(3-65)可知可知:Static position error constant若要求系统在阶跃信号作用下不存若要求系统在阶跃信号作用下不存在稳态误差，则须选用在稳态误差，则须选用型及型及型型以上的系统以上的系统。(3-65)(3-65)(3-66)(3-66)第31页，共39页，编辑于2022年，星期二斜坡输入信号作用下：令静态速度误差系数静态速度误差系数 Static velocity error constant(3-61)要求系统在斜坡信号作用下不存要求系统在斜坡信号作用下不存在稳态误差，则须选用在稳态误差，则须选用型及型及型以上的系统。型以上的系统。其中，(3-67)(3-67)由(368)知：由(3-67)得：第32页，共39页，编辑于2022年，星期二加速度信号输入 令 令(3-61)静态加速度误差系数 Static acceleration error constant由(3-70)知：由(3-69)得：要求系统在加速度信号要求系统在加速度信号作用下，不存在稳态误作用下，不存在稳态误差，则须选用差，则须选用型及型及型以上的系统。型以上的系统。其中，第33页，共39页，编辑于2022年，星期二静态位置误差系数 静态加速度误差系数 误差系数误差系数类型类型 0 0型型 K K 0 0 0 0 型型 K K 0 0 型型 K K静态速度误差系数请记住请记住第34页，共39页，编辑于2022年，星期二 系统型别、稳系统型别、稳态误差、输入态误差、输入信号间的关系信号间的关系请记住请记住第35页，共39页，编辑于2022年，星期二一单位负反馈控制系统，若要求：一单位负反馈控制系统，若要求：跟踪单位斜坡输入信号时，系统的稳态误差为跟踪单位斜坡输入信号时，系统的稳态误差为2 2。设该系统为三阶，其中一对复数闭环极设该系统为三阶，其中一对复数闭环极 。根据根据和和的要求，可知系统是的要求，可知系统是型三阶系统。型三阶系统。令其开环传递函数为令其开环传递函数为例3-10 求：满足上述要求的开环传递函数。求：满足上述要求的开环传递函数。解：由条件由条件(1)(1)知知：闭环传递闭环传递函数：函数：所求开环传递函数为所求开环传递函数为 由定义知：由定义知：第36页，共39页，编辑于2022年，星期二例例3 31111 当系统为单位负反馈系统时，输入信号为当系统为单位负反馈系统时，输入信号为求 系统的稳态误差系统的稳态误差。解解：I I型系统型系统K=2.5，Kp=,Kv=K=2.5，Ka=0,K=2.5,，Kp=,Kv=,Ka=K=2.5,能跟踪抛物线输入。能跟踪抛物线输入。IIII型系统型系统系统不能跟踪抛物线输入，所以系统不能跟踪抛物线输入，所以e essss=第37页，共39页，编辑于2022年，星期二清华考研试题(15分)选做设无零点的单位负反馈二阶系统设无零点的单位负反馈二阶系统h(t)曲线如图所示，曲线如图所示，1、试求出该系统的开环传递函数及参数；、试求出该系统的开环传递函数及参数；2、确定串联校正装置的传递函数，使系统、确定串联校正装置的传递函数，使系统对阶跃输入的稳态误差为零。对阶跃输入的稳态误差为零。011.250.95第38页，共39页，编辑于2022年，星期二谢谢！结束第39页，共39页，编辑于2022年，星期二