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第八章金融数学模型本讲稿第一页，共五十九页以以前前总总是是假假定定消消费费者者或或生生产产者者的的决决策策所所产产生生的的结结果果是是肯肯定定而而唯唯一一的的。然然而而这这一一点点假假设设是是非非常常脱脱离离实实际际的的。如如，农农场场主主的的产产量量不不仅仅取取决决于于他他投投入入多多少少资资本本、土土地地和和劳劳动动，而而且且取取决决于于今今后后一一年年中中的的气气候候状状况况，这这是是农农场场主主无无法法把把握握的的。在在许许多多情情况况下下，经经济济决决策策人人只只能能预预见见到到自自己己的的行行为为会会带带来来那那几几种种可可能能结结果果，以以及及每每一一种种结结果果出出现现的的可可能能性性。这这就就是是在在结结果果不确定的情况下经济人的最优决策问题。不确定的情况下经济人的最优决策问题。保险的需求模型 本讲稿第二页，共五十九页个个人人对对待待风风险险的的态态度度：在在现现实实中中，可可以以观观察察到到两两种种现现象象：有有些些人人为为了了减减少少未未来来收收入入和和财财富富的的不不确确定定性性而而到到保保险险公公司司投投保保；而而另另一一些些人人却却为为了了增增加加生生活活中中的的不不确确定定性性而而进进行行赌赌博博。在在世世界界各各地地，保保险险公公司司与与跑跑马马场场一样生意兴隆。一样生意兴隆。对待风险的态度（风险偏好）：对待风险的态度（风险偏好）：人的类型参加的赌博类型是否投保风险规避者（Riskevader）只参加有利的赌博投保风险中立者(Riskneutral)可能参加公平的赌博肯定参加有利的赌博无所谓风险爱好者(Risklover)即使不利的赌博也参加不投保本讲稿第三页，共五十九页如如，这这种种赌赌博博：90%90%的的可可能能赢赢1 1万万元元，10%10%的的可可能能输输1010元，这种赌博的预期收益为：元，这种赌博的预期收益为：1 1万元万元90%+90%+（1010元）元）10%=810%=8，999999元元远远远远高高于于不不参参加加赌赌博博的的预预期期收收益益：零零。那那么么，很很少少有有人会拒绝这种赌博。人会拒绝这种赌博。公公平平赌赌博博：指指预预期期收收益益为为零零或或胜胜负负各各参参半半的的赌赌博博；如如：1 1万元万元50%+50%+（-1-1万元）万元）50%=050%=0（元）（元）有有利利赌赌博博：指指预预期期收收益益大大于于零零或或赢赢的的可可能能性性超超过过一半的赌博。一半的赌博。“公平公平”的保险费率正好与损失发生的概率相等。的保险费率正好与损失发生的概率相等。本讲稿第四页，共五十九页预预期期效效用用及及其其函函数数：人人们们对对不不确确定定情情况况下下的的收收入入或或消消费费也也应应当当有有一一种种偏偏好好顺顺序序，如如，人人们们偏偏好好“90%的的可可能能赢赢1万万元元，10%的的可可能能输输1千千元元。”胜胜过过“60%的可能赢的可能赢1万元，万元，40%的可能性输的可能性输100元。元。”90%（1万万元元）+10%（1000元元）=8,900（元）（元）60%（1万元）万元）+40%（100元）元）=5,960（元）（元）那那么么，如如何何来来排排列列这这种种偏偏好好顺顺序序呢呢？最最方方便便的的方方法法就就是是按按“预预期期效效用用”（Expected Expected UtilityUtility）的大小来排序。的大小来排序。（本讲稿第五页，共五十九页预预期期效效用用：取取决决于于各各种种情情况况出出现现的的概概率率和和相相应应的的概概率率下下可可享享用用的的收收入入或或消消费费的的效效用用。如如，若若未未来来可可能能出出现现两两种种 状状 态态，状状 态态 1和和 状状 态态 2，两两 种种 状状 态态 出出 现现 的的 概概 率率 分分 别别 为为 和和即即只只有有这这两两种种可可能能性性。C1和和C2分分别别代代表表状状态态1和和状状态态2下的收入或消费，那么预期效用函数：下的收入或消费，那么预期效用函数：EU=。其其中中U(C1)和和U(C2)为为一一般般的效用函数。的效用函数。预预期期效效用用函函数数EU称称为为“冯冯诺诺伊伊曼曼摩摩根根斯斯坦坦效效 用用 函函 数数”（Von NeunaunMorgensternUtilityFunction），以以本本世世纪纪美美国国著著名名数数学学家家冯冯诺诺伊伊曼曼和和经经济济学学家家奥奥摩摩根根斯斯坦坦名名字字命命名名的的，他们两人在数学博奕论领域作出了杰出贡献。他们两人在数学博奕论领域作出了杰出贡献。本讲稿第六页，共五十九页若消费者一般的效用函数为若消费者一般的效用函数为U=LnC则，预期效用函数为：则，预期效用函数为：EU=lLnC1+2LnC2若若U=C，则预期效用函数为：，则预期效用函数为：EU=此时，预期效用等于期望值。此时，预期效用等于期望值。一一般般地地若若可可能能出出现现n种种状状态态,每每一一种种壮壮态态出出现现的概率为的概率为预期效用函数为：预期效用函数为：EU=EU=本讲稿第七页，共五十九页保险市场：保险市场：风险规避者必定会参加保险，但没有说明他会投保风险规避者必定会参加保险，但没有说明他会投保多少金额，假设他面临损失多少金额，假设他面临损失10,000元的风险，那么，他元的风险，那么，他会向保险公司投保会向保险公司投保10,000元的金额，并缴纳相应的保险元的金额，并缴纳相应的保险费，还是投保费，还是投保15,000元元或或5,000元金额？这与保险费率的元金额？这与保险费率的高低以及人们对风险的厌恶程度有关。高低以及人们对风险的厌恶程度有关。假假定定您您现现在在拥拥有有的的财财产产为为W，您您面面临临损损失失L的的可可能能性性（如如遭遭窃窃、失失火火、生生病病、住住院院等等），发发生生损损失失的的可可能能性性为为,保保险险费费率率为为r，即即您您需需要要支支付付rk来来购购买买一一张张金金额额（最最高高赔赔偿偿额额）为为K的的保保险险单单。损损失失没没有有发发生生的的情情况况为为第第1种状态，种状态，1状态您拥有的财产为状态您拥有的财产为C1C1=W-rK本讲稿第八页，共五十九页因为无论损失发生与否，保险费是不退回的。因为无论损失发生与否，保险费是不退回的。损损失失不不幸幸发发生生了了，为为第第2种种状状态态，此此时时，您您能能从从保保险险公公司司得得到到金金额额为为K的的赔赔偿偿，您您拥拥有有的的财财富富为为C2=W-L-rK+K2状态发生的概率为状态发生的概率为，1状态出现的概率为状态出现的概率为1-。从从保保险险公公司司的的角角度度来来考考察察，二二状状态态出出现现，保保险险公公司司需需支支付付保保险险费费K；一一状状态态出出现现，保保险险公公司司没没有有任任何何支支出出。但但无无论论那那种种状状态态出出现现，保保险险公公司司总总能能收收入入保保险险费费rk，假假设设没没有有许许多多人人（如如10万万人人）投投保保，各各人人之之间间遭遭受受损损失失是是相相互互独独立立的的，则则保保险险公公司司从从每每个个投投保保人人身身上上可可得得的的预预期期利润：利润：本讲稿第九页，共五十九页即即若若投投保保人人数数n足足够够大大，保保险险公公司司的的平平均均利利润润将将接接近近n从从保保险险公公司司来来看看，只只要要收收支支能能平平衡衡，它它就就愿愿意意经经营营这这项项保保险险业业务务，且且保保险险市市场场上上有有许许多多家家保保险险公公司司，且且任任何何厂厂商商均均可可自自由由进进出出该该行行业业，则则保保险险市市场场将将接接近近完完全全竞竞争争市市场场，每每家家保保险险公公司司的的经经济济利利润润将将被被压压低低到到最最低低限限度度-零零。即即保保险险公公司司由由于于激激烈烈的的竞竞争争会会向向顾顾客客提提供供完完全全“公公平平”的的保保险险费费率率，即即等等于于投投保保人人总总体体遭遭受受损损失失的的概概率率，即即r=,从从而而利利润润p=0。本讲稿第十页，共五十九页这这样样的的简简单单化化假假设设并并不不太太离离奇奇，世世界界上上规规模模大大，经经营营业业务务广广，跨跨地地区区多多的的保保险险公公司司所所提提供供的的保保险险费费率率都都十十分分接接近近“公公平平”费费率率，因因为为大大公公司司更更容容易易做做到到分分散风险，收取散风险，收取“公平公平”费率就足以应付赔偿支出了。费率就足以应付赔偿支出了。甚甚至至连连赌赌场场也也是是如如此此，大大赌赌场场比比小小赌赌场场更更能能提提供供“公公平平”（预预期期收收益益接接近近于于零零）的的赌赌博博机机会。会。那那么么，一一个个风风险险规规避避者者（riskevader）将将如如何何选选择择K的的大大小小？风风险险规规避避者者的的主主要要特特征征：在在相相同同的的期期望望值值或或预预期期收收益益下下，风风险险越越小小，效效用用水水平平越越高高。而投保人的期望财富值而投保人的期望财富值EC为：为：本讲稿第十一页，共五十九页EC=(1-)C1+C2=W-L（)所以期望值是既定的，与投保金额K的大小无关。在这种情况下，风险规避者希望使不确定性降到最低限度。即没有任何风险或不确定性，这意味着投保人在任何一种状态下，都将拥有相同数量的财产，即：C1=C2w-rK=w-L-rK+K得出K=L本讲稿第十二页，共五十九页结结论论：面面临临“公公平平”费费率率的的情情况况下下，厌厌恶恶风风险险的的投投保保人人将将对对可可能能遭遭受受的的损损失失进进行行全全额额保保险险。如如，若若投投保保人人面面临临损损失失10,000元元的的风风险险，保保险险费费率率为为1%，则则规规避避风风险险的的投投保保人人会会支支付付100元元的的保保险险费费，购购买买一一张张最最高高赔赔偿偿额额为为10,000元的保险单。元的保险单。众众所所周周知知，保保险险是是风风险险分分担担的的主主要要手手段段之之一一，每每个个人人通通过过保保险险公公司司将将自自己己的的风风险险分分散散到到所所有有相相关关投投保保人人身身上上，从从而而将将自自己己的的风风险险降降到到最最低低限限度度。所所以以，别别以以为为是是保保险险公公司司真真正正提提供供了了保保险险或或赔赔偿偿了了损损失失。在在火火灾灾保保险险的的情情况况下下，失失火火的的风风险险通通过过许许多多面面临临该该风风险险的的投投保保人人的的分分担担而而分分散散了了，是是那那些些出出于于谨谨慎慎投投了了保保而而没没有有遭遭受受火火灾灾的的人人真真正正为为火火灾灾提提供供了了保保险险，是是他他们们支支付付的的保保险险费费，使使得得保险公司能够在客户提出赔偿要求时给予赔偿。保险公司能够在客户提出赔偿要求时给予赔偿。本讲稿第十三页，共五十九页如使上述模型中的保险市场有效运转，需要两个前如使上述模型中的保险市场有效运转，需要两个前提条件：提条件：首先，分担风险的人必须是相互独立的。如，在人寿首先，分担风险的人必须是相互独立的。如，在人寿保险中，一般情况下，死亡是一种个别风险，并不构保险中，一般情况下，死亡是一种个别风险，并不构成社会风险，若成社会风险，若A君死亡，他可能死于心脏病、癌症君死亡，他可能死于心脏病、癌症或车祸（现代都市三大死亡原因），但他的死亡原因或车祸（现代都市三大死亡原因），但他的死亡原因反映的只是他自己的情况，不会增加或减少反映的只是他自己的情况，不会增加或减少B君、君、C君或其他人死亡的可能性，所以人寿保险市场可以稳君或其他人死亡的可能性，所以人寿保险市场可以稳步发展起来。但若流行病很猖劂，情况就不同，若社步发展起来。但若流行病很猖劂，情况就不同，若社会死亡率为会死亡率为1%指的是某种恶性流行病（如霍乱）暴指的是某种恶性流行病（如霍乱）暴发流行的可能性为发流行的可能性为1%，且疾病一旦流行人人都有死，且疾病一旦流行人人都有死亡的危险，那么这样的人寿保险市场将不可能有效运亡的危险，那么这样的人寿保险市场将不可能有效运转。转。本讲稿第十四页，共五十九页再再如如，一一个个地地方方性性的的保保险险公公司司是是无无法法独独立立承承担担自自然然灾灾害害保保险险业业务务的的，自自然然灾灾害害（如如台台风风、洪洪水水、地地震震）不不来来则则已已，一一旦旦发发生生，区区域域内内无无一一投投保保人人能能幸幸免免，保保险险公公司司靠靠几几个个百百分分点点的的保保险险收收入入是是无无法法进进行行赔赔偿偿的的。所所以以风风险险不不是是充充分分独独立立的的情情况况下下，保保险险或或分分散散风风险险就就不不起起作作用用。所所以以许许多多中中小小型型保保险险公公司司还还会会参参加加再再保保险险（Reinsurance）。例例如如，美美国国著著名名的的劳劳埃埃德德协协会会（Lloyds）就就是是一一家家保保险险公公司司的的联联合合组组织织或或保保险险公公司司的的保保险险公公司司，风风险险在在成成员员保保险险公公司司之之间间进进一一步分散。步分散。本讲稿第十五页，共五十九页其其次次，保保险险市市场场的的有有效效运运转转要要求求不不存存在在“败败德德行行为为”（Moral Moral hazardhazard）。败败德德行行为为：投投保保后后的的人人们们做做出出的的种种种种使使不不利利支支付付发发生生的的概概率率上上升升或或保保险险公公司司赔赔偿偿金金额额增增加加的的行行为为。如如，买买了了住住院院保保险险的的人人病病已已痊痊愈愈而而迟迟迟迟不不肯肯出出院院，买买了了车车辆辆盗盗窃窃保保险险的的车车主主将将没没上上锁锁的的车车随随处处停停放放，等等等等。若若存存在在这这些些行行为为，那那么么，保保险险公公司司按按原原来来状状况况下下的的概概率率计计算算的的保保险险费费率率将将使使保保险险公公司司陷陷于于财务危机，这一问题属于财务危机，这一问题属于“不对称信息不对称信息”问题。问题。本讲稿第十六页，共五十九页消消费费者者的的目目标标是是力力求求效效用用极极大大化化，所所以以在在选选择择投投资资资资产产时时，均均值值-方方差差效效用用函函数数将将成成为为消消费费者者的的目目标标函函数数。在在风风险险投投资资市市场场上上，对对均均值值-方方差差效效用用函函数数构构成成的的约约束条件是什么呢？束条件是什么呢？假假定定在在投投资资市市场场上上，消消费费者者可可以以在在两两种种资资产产中中进进行行选选择择：一一种种是是无无风风险险资资产产（Risk-freeasset）,这这种种资资产产能能够够保保证证投投资资者者得得到到固固定定的的rf作作为为投投资资回回报报率率或或收收益益率率，如如，银银行行存存款款为为无无风风险险资资产产；另另一一种种为为风风险险资资产产，这这种种资资产产的的收收益益率率是是事事先先无无法法确确定定和和预预知知的的，如如，股票的收益率取决于股市的走向和相关企业的经营状况。股票的收益率取决于股市的走向和相关企业的经营状况。资产组合选择模型本讲稿第十七页，共五十九页：第：第i种状态发生时风险资产的收益率；种状态发生时风险资产的收益率；：第：第i种状态发生的概率；种状态发生的概率；：风险资产的预期收益或未来收益的均值；：风险资产的预期收益或未来收益的均值；：相相应应收收益益的的标标准准差差。（相相应应风风险险资资产产收收益益的的标标准准差差）若若您您不不是是一一个个走走极极端端的的投投资资者者，您您多多半半会会将将财财富富同同时时分分配配在在两两种种资资产产上上，设设投投入入风风险险资资产产的的比比例例为为X，则则，投投入入无无风风险险资资产产的的比比例例为为1-X。这这样样一一种种资资产产组组合合（Portfolio）的收益均值）的收益均值本讲稿第十八页，共五十九页结论：结论：资资产产组组合合的的预预期期收收益益是是两两种种组组合合资资产产预预期期收收益的加权平均。这一投资组合的方差为：益的加权平均。这一投资组合的方差为：本讲稿第十九页，共五十九页结论：结论：资资产产组组合合收收益益率率的的方方差差为为风风险险资资产产收收益益率率方差与风险资产所占比例平方的乘积。方差与风险资产所占比例平方的乘积。相应的标准差为：相应的标准差为：在在正正常常情情况况下下，r rm m应应该该大大于于r rf f，因因为为作作为为风风险险规规避避者者的的投投资资者者的的要要求求风风险险资资产产具具有有比比无无风风险险资资产产更更高高的的收收益益率率，即即r rm mrrf f，所所以以在在资资产产组组合合中中，风风险险资资产产的的比比例例X X越越高高，预预期期收收益益率率越越高高，但但未未来来收收益的不确定性或风险也会相应增大。益的不确定性或风险也会相应增大。（本讲稿第二十页，共五十九页资产组合均衡点为无差异曲线与预算约束线的切点，资产组合均衡点为无差异曲线与预算约束线的切点，此时风险与收益的边际替代率等于风险的价格。此时风险与收益的边际替代率等于风险的价格。图：资产组合选择图：资产组合选择本讲稿第二十一页，共五十九页横横轴轴表表示示资资产产组组合合收收益益的的标标准准差差，纵纵轴轴表表示示均均值值，若若投投资资者者将将所所有有的的资资产产投投入入风风险险资资产产，即即X=1，那那么么均均值值-标标准准差差的的组组合合为为，即即图图中中的的B点点；反反之之，若若投投资资者者将将所所有有的的资资产产投投入入无无风风险险资资产产，即即X=0，那那么么资资产产组组合合的的均均值值-标标准准差差为为（rf,O），即即A点点。若若0X1的资产的资产1610-8=1的资产的资产104-201的资产的资产5310的资产的资产235本讲稿第二十九页，共五十九页若若股股票票的的值值为为1 1，则则该该股股票票与与整整个个股股市市相相同同，若若股股市市指指数数上上升升10%10%，它它也也应应大大致致上上升升10%10%，若若值值大大于于1 1，那那么么，该该股股票票与与大大市市同同涨涨同同跌跌，但但幅幅度度要要大大得得多多；若若0101，则则该该股股票票与与大大市市相相比比涨涨跌跌幅幅度度要要小小一一些些；若若00时时，即即总总资资产产报报酬酬率率（R）高高于于债债务务利利息息率（率（i）,由（由（8）式可知，当）式可知，当0，即，即Ri时。时。资资产产负负债债率率()越越高高，则则净净资资产产收收益益率率（r）也也越越高高。如图如图1所示所示（%）图图1：曲线（曲线（0）本讲稿第五十二页，共五十九页当当=R-i0，即即Ri时时，总总资资产产报报酬酬率率（R）低低于于债债务务利利息息率率（i）时时，资资产产负负债债率率()越越高高，则则净净资资产收益率（产收益率（r）越低。如图）越低。如图2所示所示图图2:曲线（曲线（0,此此时时，企企业有利可图（业有利可图（0）当当资资产产负负债债率率时时，净净资资产产收收益益率率r=0，此此时时，企业无利可图（企业无利可图（=0）；）；当当资资产产负负债债率率时时，净净资资产产收收益益率率r0，此时，企业发生亏损（此时，企业发生亏损（0）所以：所以：资产负债率的盈亏临界点。资产负债率的盈亏临界点。由（由（7）式可知，当）式可知，当r=0时时即即当当资资产产负负债债率率等等于于总总资资产产报报酬酬率率（R）与与债债务务利利息息率率（i）之之比比时时，企企业业正正好好盈盈亏亏平平衡衡，此此时时净净资资产产收收益益率率和利润率为零。和利润率为零。本讲稿第五十四页，共五十九页当当资资产产负负债债率率低低于于此此点点（）时时，企企业业盈盈利利；当当资资产产负债率高于此点（负债率高于此点（）时，企业亏损。）时，企业亏损。设设企企业业预预期期净净资资产产收收益益率率为为r，达达到到r时时的的资资产产负负债债率率为为，企企业业为为获获得得预预期期净净资资产产收收益益率率，在在短短期期内内总总资资产产报报酬酬率率（R）和和债债务务利利息息率率（i）不不变变的的条条件件下下，其其资资产产负负债债率率的合理确定，这是一个资产负债率决策和控制的问题。的合理确定，这是一个资产负债率决策和控制的问题。由（由（6）式可得资产负债率模型）式可得资产负债率模型（10）所以达到预期净资产率所以达到预期净资产率r时的资产负债率为时的资产负债率为本讲稿第五十五页，共五十九页（11）例例如如：设设某某行行业业总总资资产产报报酬酬利利率率R=问问（A）企企业业拟拟获获得得r=以以上上的的净净资资产产收收益益率率，该该企企业业负负债债率率应应控控制制在在什什么么范范围围？（B）资资产产负负债债率率为为多多少少时时，企企业业开开始始出出现现亏亏损损？解解：由由题题意意可可知知：R=R-i=i=(10-12)%=-2%0由（由（11）可得，）可得，=0.02/0.04=0.5,即即=50%该该行行业业欲欲获获得得8%以以上上的的净净资资产产收收益益率率，其其资资产产负债率不应超过负债率不应超过50%本讲稿第五十六页，共五十九页（B）将R=代入盈亏的临界点计算公式：即该企业的资产负债率为83.33时，企业净资产收益率为0；当资产负债率时，企业净资产收益率r，企业开始出现亏损。如图所示：本讲稿第五十七页，共五十九页图图3曲线（曲线（R=10%、i=12%、=-2%0）结结论论：1.资资产产负负债债率率的的高高低低是是相相对对的的，它它随随着着总总资资产产报报酬酬率率R、债债务务利利息息率率i、和和预预期期净净资资产产收收益益率率r*的改变而改变。（由（的改变而改变。（由（11）式可知）式可知）2.企企业业经经营营的的主主要要目目的的是是提提高高净净资资产产收收益益率率r，它受总资产报酬率它受总资产报酬率R、债务利息率、债务利息率i和资产负债和资产负债本讲稿第五十八页，共五十九页率率不不是是目目的的，只只是是改改善善企企业业净净资资产产收收益益率率的的一一种种手手段段，所以不能就负债论负债；所以不能就负债论负债；3.通通过过资资产产重重组组提提高高国国有有资资产产配配置置效效率率是是提提高高资资产产运运营营效效率率和和效效益益-总总资资产产报报酬酬率率，从从而而是是使使国国有有企企业业摆脱目前困境的根本途径。摆脱目前困境的根本途径。本讲稿第五十九页，共五十九页