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第三章求和运算第三章求和运算本讲稿第一页，共二十一页第三章第三章 求和运算求和运算n3.1 3.1 求和公式的性质求和公式的性质n3.2 3.2 和式求界和式求界本讲稿第二页，共二十一页3.1 3.1 求和公式的性质求和公式的性质n有限和：有限和：（求和序数为非整数时默认为其底函数）（求和序数为非整数时默认为其底函数）n无穷和：无穷和：即即n发散、收敛、绝对收敛发散、收敛、绝对收敛本讲稿第三页，共二十一页3.1 3.1 求和公式的性质求和公式的性质n线性性质线性性质（对无穷收敛级数也成立）（对无穷收敛级数也成立）本讲稿第四页，共二十一页3.1 3.1 求和公式的性质求和公式的性质n算术级数算术级数n几何级数几何级数无穷下降几何级数：无穷下降几何级数：（|x x|1|1）n积分级数与微分级数积分级数与微分级数本讲稿第五页，共二十一页3.1 3.1 求和公式的性质求和公式的性质n调和级数调和级数n套叠级数套叠级数 和和例：例：本讲稿第六页，共二十一页3.1 3.1 求和公式的性质求和公式的性质n积积本讲稿第七页，共二十一页3.2 3.2 和式求界和式求界n数学归纳法数学归纳法例：证明例：证明 的界是的界是0 0(3(3n n).).即证明存在常数即证明存在常数c c满足：满足：n=0 n=0 时时 c1 c1即可。即可。假设界对假设界对n n成立，则成立，则n+1n+1时：时：只需只需(1/3+1/c)1(1/3+1/c)1 即即 c 3/2 c 3/2 即可。即可。本讲稿第八页，共二十一页3.2 3.2 和式求界和式求界n数学归纳法（续）数学归纳法（续）反例：证明反例：证明n=1 n=1 时时 显然成立。显然成立。假设界对假设界对n n成立，则成立，则n+1n+1时：时：原因：被O隐藏的常数随n增长，不再是是常数。本讲稿第九页，共二十一页3.2 3.2 和式求界和式求界n对项限界对项限界n最大项限界最大项限界对级数对级数 设设则：则：本讲稿第十页，共二十一页3.2 3.2 和式求界和式求界n对项限界（续）对项限界（续）n几何级数限界几何级数限界给定级数给定级数 ，设对所有，设对所有k 0k 0，有，有a ak+1k+1/a/ak k r(r1 r(r00，满足：满足：（即可忽略初始的几项）（即可忽略初始的几项）本讲稿第十三页，共二十一页3.2 3.2 和式求界和式求界n分解和式（续）分解和式（续）例：求例：求 的界的界当当n 3n 3时有：时有：故：故：本讲稿第十四页，共二十一页3.2 3.2 和式求界和式求界n分解和式（续）分解和式（续）例（更复杂）：求例（更复杂）：求 的界的界思路：把域思路：把域1 1到到n n分解成分解成 lg nlg n 段，每段上界为段，每段上界为1 1本讲稿第十五页，共二十一页3.2 3.2 和式求界和式求界n积分近似公式（续）积分近似公式（续）对单调增函数：对单调增函数：本讲稿第十六页，共二十一页3.2 3.2 和式求界和式求界n积分近似公式（续）积分近似公式（续）本讲稿第十七页，共二十一页3.2 3.2 和式求界和式求界n积分近似公式（续）积分近似公式（续）可看出对单调增函数：可看出对单调增函数：同理对单调减函数：同理对单调减函数：本讲稿第十八页，共二十一页3.2 3.2 和式求界和式求界n积分近似公式（续）积分近似公式（续）例：调和函数的紧确界：例：调和函数的紧确界：本讲稿第十九页，共二十一页作业作业n证明证明 由一个常数从上方限界。由一个常数从上方限界。本讲稿第二十页，共二十一页The EndThe EndnThank you!Thank you!本讲稿第二十一页，共二十一页