2014年中考数学试题分类汇编29 解直角三角形 .doc

解直角三角形解直角三角形一、选择题一、选择题1.（2014孝感，第 8 题 3 分）如图，在 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交成的锐角为，若AC=a，BD=b，则 ABCD 的面积是（）AabsinBabsinCabcosDabcos考点：平行四边形的性质；解直角三角形分析：过点 C 作 CEDO 于点 E，进而得出 EC 的长，再利用三角形面积公式求出即可解答：解：过点 C 作 CEDO 于点 E，在 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交成的锐角为，AC=a，BD=b，sin=，EC=COsin=asin，SBCD=CEBD=asinb=absin，ABCD 的面积是：absin2=absin故选；A点评：此题主要考查了平行四边形的性质以及解直角三角形，得出 EC 的长是解题关键2.（2014泰州，第 6 题，3 分）如果三角形满足一个角是另一个角的 3 倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（）A1，2，3B1，1，C1，1，D1，2，考点：解直角三角形专题：新定义分析：A、根据三角形三边关系可知，不能构成三角形，依此即可作出判定；B、根据勾股定理的逆定理可知是等腰直角三角形，依此即可作出判定；C、解直角三角形可知是顶角 120，底角 30的等腰三角形，依此即可作出判定；D、解直角三角形可知是三个角分别是 90，60，30的直角三角形，依此即可作出判定解答：解：A、1+2=3，不能构成三角形，故选项错误；B、12+12=（）2，是等腰直角三角形，故选项错误；C、底边上的高是=，可知是顶角 120，底角 30的等腰三角形，故选项错误；D、解直角三角形可知是三个角分别是 90，60，30的直角三角形，其中 9030=3，符合“智慧三角形”的定义，故选项正确故选：D点评：考查了解直角三角形，涉及三角形三边关系，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定，“智慧三角形”的概念3.（2014扬州，第 8 题，3 分）如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD=6，ABBC，ADCD，BAD=60，点 M、N 分别在 AB、AD 边上，若 AM：MB=AN：ND=1：2，则 tanMCN=（）（第 2 题图）ABCD2考点：全等三角形的判定与性质；三角形的面积；角平分线的性质；含 30 度角的直角三角形；勾股定理专题：计算题分析：连接 AC，通过三角形全等，求得BAC=30，从而求得 BC 的长，然后根据勾股定理求得 CM 的长，连接 MN，过 M 点作 MEON 于 E，则MNA 是等边三角形求得 MN=2，设 NF=x，表示出 CF，根据勾股定理即可求得 MF，然后求得 tanMCN解答：解：AB=AD=6，AM：MB=AN：ND=1：2，AM=AN=2，BM=DN=4，连接 MN，连接 AC，ABBC，ADCD，BAD=60在 RtABC 与 RtADC 中，RtABCRtADC（LH）BAC=DAC=BAD=30，MC=NC，BC=AC，AC2=BC2+AB2，即（2BC）2=BC2+AB2，3BC2=AB2，BC=2，在 RtBMC 中，CM=2AN=AM，MAN=60，MAN 是等边三角形，MN=AM=AN=2，新$课$标$第$一$网过 M 点作 MEON 于 E，设 NE=x，则 CE=2x，MN2NE2=MC2EC2，即 4x2=（2）2（2x）2，解得：x=，EC=2=，ME=，tanMCN=故选 A点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理以及解直角三角函数，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键4.（2014滨州，第 11 题 3 分）在 RtACB 中，C=90，AB=10，sinA=，cosA=，tanA=，则 BC 的长为（）A6B7.5C8D12.5考点：解直角三角形分析：根据三角函数的定义来解决，由 sinA=，得到BC=解答：解：C=90AB=10，sinA=，BC=AB=10=6故选 A点评：本题考查了解直角三角形和勾股定理的应用，注意：在 RtACB中，C=90，则 sinA=，cosA=，tanA=5.（2014德州，第 7 题 3 分）如图是拦水坝的横断面，斜坡 AB 的水平宽度为 12 米，斜面坡度为 1：2，则斜坡 AB 的长为（）A4米B6米C12米D24 米考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题分析：先根据坡度的定义得出 BC 的长，进而利用勾股定理得出 AB 的长解答：解：在 RtABC 中，=i=，AC=12 米，BC=6 米，根据勾股定理得：AB=6米，故选 B点评：此题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，勾股定理，难度适中根据坡度的定义求出 BC 的长是解题的关键二二.填空题填空题1（2014新疆，第13题5分）如图，在RtABC中，C=90，B=37，BC=32，则AC=（参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75）考点：解直角三角形专题：计算题分析：根据正切的定义得到 tanB=，然后把 tan370.75 和 BC=32 代入计算即可解答：解：在 RtABC 中，C=90，所以 tanB=，即 tan37=，所以 AC=32tan37=320.75=24故答案为 24点评：本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形2（2014舟山，第 12 题 4 分）如图，在地面上的点 A 处测得树顶 B 的仰角为度，AC=7米，则树高 BC 为米（用含的代数式表示）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题分析：根据题意可知 BCAC，在 RtABC 中，AC=7 米，BAC=，利用三角函数即可求出 BC 的高度解答：解：BCAC，AC=7 米，BAC=，=tan，BC=ACtan=7tan（米）故答案为：7tan点评：x k b 1本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解3（2014浙江宁波，第 17 题 4 分）为解决停车难的问题，在如图一段长 56 米的路段开辟停车位，每个车位是长 5 米宽 2.2 米的矩形，矩形的边与路的边缘成 45角，那么这个路段最多可以划出 17 个这样的停车位（1.4）考点：解直角三角形的应用分析：如图，根据三角函数可求 BC，CE，则 BE=BC+CE 可求，再根据三角函数可求 EF，再根据停车位的个数=（56BE）EF+1，列式计算即可求解解答：解：如图，BC=2.2sin45=2.21.54 米，CE=5sin45=53.5 米，BE=BC+CE5.04，EF=2.2sin45=2.23.14 米，（565.04）3.14+1=50.963.14+116+1=17（个）故这个路段最多可以划出 17 个这样的停车位故答案为：17点评：考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算4.（2014株洲，第 13 题，3 分）孔明同学在距某电视塔塔底水平距离 500 米处，看塔顶的仰角为 20（不考虑身高因素），则此塔高约为182米（结果保留整数，参考数据：sin200.3420，sin700.9397，tan200.3640，tan702.7475）（第 1 题图）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题分析：作出图形，可得 AB=500 米，A=20，在 RtABC 中，利用三角函数即可求得 BC的长度解答：解：在 RtABC 中，AB=500 米，BAC=20，=tan20，BC=ACtan20=5000.3640=182（米）故答案为：182点评：本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解5.（2014泰州，第 16 题，3 分）如图，正方向 ABCD 的边长为 3cm，E 为 CD 边上一点，DAE=30，M 为 AE 的中点，过点 M 作直线分别与 AD、BC 相交于点 P、Q若 PQ=AE，则 AP 等于1 或 2cm（第 2 题图）考点：全等三角形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形分析：根据题意画出图形，过 P 作 PNBC，交 BC 于点 N，由 ABCD 为正方形，得到AD=DC=PN，在直角三角形 ADE 中，利用锐角三角函数定义求出 DE 的长，进而利用勾股定理求出 AE 的长，根据 M 为 AE 中点求出 AM 的长，利用 HL 得到三角形 ADE与三角形 PQN 全等，利用全等三角形对应边，对应角相等得到 DE=NQ，DAE=NPQ=30，再由 PN 与 DC 平行，得到PFA=DEA=60，进而得到 PM 垂直于 AE，在直角三角形 APM 中，根据 AM 的长，利用锐角三角函数定义求出 AP 的长，再利用对称性确定出 AP的长即可解答：解：根据题意画出图形，过 P 作 PNBC，交 BC 于点 N，四边形 ABCD 为正方形，AD=DC=PN，在 RtADE 中，DAE=30，AD=3cm，tan30=，即 DE=cm，根据勾股定理得：AE=2cm，M 为 AE 的中点，AM=AE=cm，在 RtADE 和 RtPNQ 中，RtADERtPNQ（HL），DE=NQ，DAE=NPQ=30，PNDC，PFA=DEA=60，PMF=90，即 PMAF，在 RtAMP 中，MAP=30，cos30=，AP=2cm；由对称性得到 AP=DP=ADAP=32=1cm，综上，AP 等于 1cm 或 2cm故答案为：1 或 2点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键6.（2014济宁，第 12 题 3 分）如图，在ABC 中，A=30，B=45，AC=，则 AB的长为3+考点：解直角三角形分析：过 C 作 CDAB 于 D，求出BCD=B，推出 BD=CD，根据含 30 度角的直角三角形求出 CD，根据勾股定理求出 AD，相加即可求出答案解答：解：过 C 作 CDAB 于 D，ADC=BDC=90，B=45，BCD=B=45，CD=BD，A=30，AC=2，CD=，BD=CD=，由勾股定理得：AD=3，AB=AD+BD=3+故答案为：3+点评：本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质和判定，含 30 度角的直角三角形性质等知识点的应用，关键是构造直角三角形，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目三三.解答题解答题1.（2014安徽省,第 18 题 8 分）如图，在同一平面内，两条平行高速公路 l1和 l2间有一条“Z”型道路连通，其中 AB 段与高速公路 l1成 30角，长为 20km；BC 段与 AB、CD 段都垂直，长为 10km，CD 段长为 30km，求两高速公路间的距离（结果保留根号）考点：解直角三角形的应用分析：过 B 点作 BEl1，交 l1于 E，CD 于 F，l2于 G在 RtABE 中，根据三角函数求得 BE，在 RtBCF 中，根据三角函数求得 BF，在 RtDFG 中，根据三角函数求得 FG，再根据 EG=BE+BF+FG 即可求解解答：解：过 B 点作 BEl1，交 l1于 E，CD 于 F，l2于 G在 RtABE 中，BE=ABsin30=20=10km，在 RtBCF 中，BF=BCcos30=10=km，CF=BFsin30=km，DF=CDCF=（30）km，在 RtDFG 中，FG=DFsin30=（30）=（15）km，EG=BE+BF+FG=（25+5）km故两高速公路间的距离为（25+5）km点评：此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算2.（2014广东，第 20 题 7 分）如图，某数学兴趣小组想测量一棵树 CD 的高度，他们先在点 A 处测得树顶 C 的仰角为 30，然后沿 AD 方向前行 10m，到达 B 点，在 B 处测得树顶C 的仰角高度为 60（A、B、D 三点在同一直线上）请你根据他们测量数据计算这棵树 CD的高度（结果精确到 0.1m）（参考数据：1.414，1.732）考点：解直角三角形的应用仰角俯角问题分析：首先利用三角形的外角的性质求得ABC 的度数，得到 BC 的长度，然后在直角BDC中，利用三角函数即可求解解答：解：CBD=A+ACB，ACB=CBDA=6030=30，A=ACB，BC=AB=10（米）在直角BCD 中，CD=BCsinCBD=10=551.732=8.7（米）答：这棵树 CD 的高度为 8.7 米点评：本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形3.（2014珠海，第 17 题 7 分）如图，一艘渔船位于小岛 M 的北偏东 45方向、距离小岛180 海里的 A 处，渔船从 A 处沿正南方向航行一段距离后，到达位于小岛南偏东 60方向的B 处（1）求渔船从 A 到 B 的航行过程中与小岛 M 之间的最小距离（结果用根号表示）；（2）若渔船以 20 海里/小时的速度从 B 沿 BM 方向行驶，求渔船从 B 到达小岛 M 的航行时间（结果精确到 0.1 小时）（参考数据：1.41，1.73，2.45）考点：解直角三角形的应用-方向角问题分析：（1）过点 M 作 MDAB 于点 D，根据AME 的度数求出AMD=MAD=45，再根据 AM 的值求出和特殊角的三角函数值即可求出答案；（2）在 RtDMB 中，根据BMF=60，得出DMB=30，再根据 MD 的值求出 MB的值，最后根据路程速度=时间，即可得出答案解答：解：（1）过点 M 作 MDAB 于点 D，AME=45，AMD=MAD=45，AM=180 海里，MD=AMcos45=90（海里），答：渔船从 A 到 B 的航行过程中与小岛 M 之间的最小距离是 90海里；（2）在 RtDMB 中，BMF=60，DMB=30，MD=90海里，MB=60，6020=3=32.45=7.357.4（小时），答：渔船从 B 到达小岛 M 的航行时间约为 7.4 小时点评：本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键4.（2014广西贺州，第 24 题 8 分）如图，一艘海轮在 A 点时测得灯塔 C 在它的北偏东42方向上，它沿正东方向航行 80 海里后到达 B 处，此时灯塔 C 在它的北偏西 55方向上（1）求海轮在航行过程中与灯塔 C 的最短距离（结果精确到 0.1）；（2）求海轮在 B 处时与灯塔 C 的距离（结果保留整数）（参考数据：sin550.819，cos550.574，tan551.428，tan420.900，tan350.700，tan481.111）考点：解直角三角形的应用-方向角问题分析：（1）过 C 作 AB 的垂线，设垂足为 D，则 CD 的长为海轮在航行过程中与灯塔 C 的最短距离；（2）在 RtBCD 中，根据 55角的余弦值即可求出海轮在 B 处时与灯塔 C 的距离解答：解：（1）C 作 AB 的垂线，设垂足为 D，根据题意可得：1=2=42，3=4=55，设 CD 的长为 x 海里，在 RtACD 中，tan42=，则 AD=xtan42，在 RtBCD 中，tan55=，则 BD=xtan55，AB=80，AD+BD=80，xtan42+xtan55=80，解得：x34.4，答：海轮在航行过程中与灯塔 C 的最短距离是 34.4 海里；（2）在 RtBCD 中，cos55=，BC=60 海里，答：海轮在 B 处时与灯塔 C 的距离是 60 海里点评：本题考查了解直角三角形的应用：方向角问题，具体就是在某点作出东南西北，即可转化角度，也得到垂直的直线5(2014 年四川资阳，第 19 题 8 分)如图，湖中的小岛上有一标志性建筑物，其底部为 A，某人在岸边的 B 处测得 A 在 B 的北偏东 30的方向上，然后沿岸边直行 4 公里到达 C 处，再次测得 A 在 C 的北偏西 45的方向上（其中 A、B、C 在同一平面上）求这个标志性建筑物底部 A 到岸边 BC 的最短距离考点：解直角三角形的应用-方向角问题分析：过 A 作 ADBC 于 D，先由ACD 是等腰直角三角形，设 AD=x，得出 CD=AD=x，再解 RtABD，得出 BD=x，再由 BD+CD=4，得出方程x+x=4，解方程求出 x 的值，即为 A 到岸边 BC 的最短距离解答：解：过 A 作 ADBC 于 D，则 AD 的长度就是 A 到岸边 BC 的最短距离在 RtACD 中，ACD=45，设 AD=x，则 CD=AD=x，在 RtABD 中，ABD=60，由 tanABD=，即 tan60=，所以 BD=x，又 BC=4，即 BD+CD=4，所以x+x=4，解得 x=62答：这个标志性建筑物底部 A 到岸边 BC 的最短距离为（62）公里点评：本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，难度适中，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键6(2014 年天津市，第 22 题 10 分)解放桥是天津市的标志性建筑之一，是一座全钢结构的部分可开启的桥梁（）如图，已知解放桥可开启部分的桥面的跨度 AB 等于 47m，从 AB 的中点 C 处开启，则 AC 开启至 AC的位置时，AC的长为m；（）如图，某校数学兴趣小组要测量解放桥的全长 PQ，在观景平台 M 处测得PMQ=54，沿河岸 MQ 前行，在观景平台 N 处测得PNQ=73，已知 PQMQ，MN=40m，求解放桥的全长 PQ（tan541.4，tan733.3，结果保留整数）考点：解直角三角形的应用专题：应用题分析：（1）根据中点的性质即可得出 AC的长；（2）设 PQ=x，在 RtPMQ 中表示出 MQ，在 RtPNQ 中表示出 NQ，再由 MN=40m，可得关于 x 的方程，解出即可解答：解：（I）点 C 是 AB 的中点，AC=AB=23.5m（II）设 PQ=x，在 RtPMQ 中，tanPMQ=1.4，MQ=，在 RtPNQ 中，tanPNQ=3.3，NQ=，MN=MQNQ=40，即=40，解得：x97答：解放桥的全长约为 97m点评：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是熟练锐角三角函数的定义，难度一般7（2014 年云南省，第 21 题 6 分）如图，小明在 M 处用高 1 米（DM=1 米）的测角仪测得旗杆 AB 的顶端 B 的仰角为 30，再向旗杆方向前进 10 米到 F 处，又测得旗杆顶端 B 的仰角为 60，请求出旗杆 AB 的高度（取1.73，结果保留整数）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题分析：首先分析图形，根据题意构造直角三角形本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造三角关系，进而可求出答案解答：解：BDE=30，BCE=60，CBD=60BDE=30=BDE，BC=CD=10 米，在 RtBCE 中，sin60=，即=，BE=5，AB=BE+AE=5+110 米答：旗杆 AB 的高度大约是 10 米点评：主要考查解直角三角形的应用，本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形8（2014四川自贡，第 18 题 8 分）如图，某学校新建了一座吴玉章雕塑，小林站在距离雕塑 2.7 米的 A 处自 B 点看雕塑头顶 D 的仰角为 45，看雕塑底部 C 的仰角为 30，求塑像CD 的高度（最后结果精确到 0.1 米，参考数据：）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题分析：首先分析图形：根据题意构造两个直角三角形DEB、CEB，再利用其公共边 BE求得 DE、CE，再根据 CD=DECE 计算即可求出答案解答：解：在 RtDEB 中，DE=BEtan45=2.7 米，在 RtCEB 中，CE=BEtan30=0.9米，则 CD=DECE=2.70.91.2 米故塑像 CD 的高度大约为 1.2 米点评：本题考查解直角三角形的知识要先将实际问题抽象成数学模型分别在两个不同的三角形中，借助三角函数的知识，研究角和边的关系9（2014云南昆明，第 20 题 6 分）如图，在数学实践课中，小明为了测量学校旗杆 CD 的高度，在地面 A 处放置高度为 1.5 米的测角仪 AB，测得旗杆顶端 D 的仰角为 32，AC 为 22 米，求旗杆 CD 的高度.（结果精确到 0.1 米.参考数据：sin32=0.53，cos32=0.85，tan32=0.62）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题。分析：根据已知条件转化为直角三角形中的有关量，然后选择合适的边角关系求得长度即可解答：解：过点 B 作CDBE，垂足为E（如图），在 RtDEB 中，90EB D，22 ACBE（米），BEDE32tan64.1362.02232tanBEDE（米）5.1 ABEC1.1514.1564.135.1EDCECD（米）答：旗杆 CD 的高度为 15.1 米点评：本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是利用仰俯角的定义将题目中的相关量转化为直角三角形 BDE 中的有关元素10（2014浙江宁波，第 21 题 8 分）如图，从 A 地到 B 地的公路需经过 C 地，图中 AC=10千米，CAB=25，CBA=37，因城市规划的需要，将在 A、B 两地之间修建一条笔直的公路（1）求改直的公路 AB 的长；（2）问公路改直后比原来缩短了多少千米？（sin250.42，cos250.91，sin370.60，tan370.75）考点：解直角三角形的应用分析：（1）作 CHAB 于 H在 RtACH 中，根据三角函数求得 CH，AH，在 RtBCH 中，根据三角函数求得 BH，再根据 AB=AH+BH 即可求解；（2）在 RtBCH 中，根据三角函数求得 BC，再根据 AC+BCAB 列式计算即可求解解答：解：（1）作 CHAB 于 H在 RtACH 中，CH=ACsinCAB=ACsin25100.42=4.2 千米，AH=ACcosCAB=ACcos25100.91=9.1 千米，在 RtBCH 中，BH=CHtanCBA=4.2tan374.20.75=5.6 千米，AB=AH+BH=9.1+5.6=14.7 千米故改直的公路 AB 的长 14.7 千米；（2）在 RtBCH 中，BC=CHsinCBA=4.2sin374.20.6=7 千米，则 AC+BCAB=10+714.7=2.3 千米答：公路改直后比原来缩短了 2.3 千米点评：此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算11.（2014益阳，第 18 题，8 分）“中国益阳”网上消息，益阳市为了改善市区交通状况，计划在康富路的北端修建通往资江北岸的新大桥如图，新大桥的两端位于 A、B 两点，小张为了测量 A、B 之间的河宽，在垂直于新大桥 AB 的直线型道路 l 上测得如下数据：BAD=76.1，BCA=68.2，CD=82 米求 AB 的长（精确到 0.1 米）参考数据：sin76.10.97，cos76.10.24，tan76.14.0；sin68.20.93，cos68.20.37，tan68.22.5（第 1 题图）考点：解直角三角形的应用分析：设 AD=x 米，则 AC=（x+82）米在 RtABC 中，根据三角函数得到 AB=2.5（x+82），在 RtABD 中，根据三角函数得到 AB=4x，依此得到关于 x 的方程，进一步即可求解解答：解：设 AD=x 米，则 AC=（x+82）米在 RtABC 中，tanBCA=，AB=ACtanBCA=2.5（x+82）在 RtABD 中，tanBDA=，AB=ADtanBDA=4x2.5（x+82）=4x，解得 x=AB=4x=4546.7答：AB 的长约为 546.7 米点评：此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是用数学知识解决实际问题12.（2014益阳，第 21 题，12 分）如图，在直角梯形 ABCD 中，ABCD，ADAB，B=60，AB=10，BC=4，点 P 沿线段 AB 从点 A 向点 B 运动，设 AP=x（1）求 AD 的长；（2）点 P 在运动过程中，是否存在以 A、P、D 为顶点的三角形与以 P、C、B 为顶点的三角形相似？若存在，求出 x 的值；若不存在，请说明理由；（3）设ADP 与PCB 的外接圆的面积分别为 S1、S2，若 S=S1+S2，求 S 的最小值（第 2 题图）考点：相似形综合题分析：（1）过点 C 作 CEAB 于 E，根据 CE=BCsinB 求出 CE，再根据 AD=CE 即可求出 AD；（2）若以 A、P、D 为顶点的三角形与以 P、C、B 为顶点的三角形相似，则PCB必有一个角是直角 分两种情况讨论：当PCB=90时，求出 AP，再根据在 RtADP中DPA=60，得出DPA=B，从而得到ADPCPB，当CPB=90时，求出 AP=3，根据且，得出PCB 与ADP 不相似（3）先求出 S1=x，再分两种情况讨论：当 2x10 时，作 BC 的垂直平分线交 BC 于 H，交 AB 于 G；作 PB 的垂直平分线交 PB 于 N，交 GH 于 M，连结 BM，在 RtGBH 中求出 BG、BN、GN，在 RtGMN 中，求出 MN=（x1），在 RtBMN中，求出 BM2=x2x+，最后根据 S1=xBM2代入计算即可当 0 x2 时，S2=x（x2x+），最后根据 S=S1+S2=x（x）2+x 即可得出 S 的最小值解答：解：（1）过点 C 作 CEAB 于 E，在 RtBCE 中，B=60，BC=4，CE=BCsinB=4=2，AD=CE=2（2）存在若以 A、P、D 为顶点的三角形与以 P、C、B 为顶点的三角形相似，则PCB 必有一个角是直角当PCB=90时，在 RtPCB 中，BC=4，B=60，PB=8，AP=ABPB=2又由（1）知 AD=2，在 RtADP 中，tanDPA=，DPA=60，DPA=CPB，ADPCPB，存在ADP 与CPB 相似，此时 x=2当CPB=90时，在 RtPCB 中，B=60，BC=4，PB=2，PC=2，AP=3则且，此时PCB 与ADP 不相似（3）如图，因为 RtADP 外接圆的直径为斜边 PD，则 S1=x（）2=x，当 2x10 时，作 BC 的垂直平分线交 BC 于 H，交 AB 于 G；作 PB 的垂直平分线交 PB 于 N，交 GH 于 M，连结 BM则 BM 为PCB 外接圆的半径在 RtGBH 中，BH=BC=2，MGB=30，BG=4，BN=PB=（10 x）=5 x，GN=BGBN=x1在 RtGMN 中，MN=GNtanMGN=（x1）在 RtBMN 中，BM2=MN2+BN2=x2x+，S1=xBM2=x（x2x+）当 0 x2 时，S2=x（x2x+）也成立，S=S1+S2=x+x（x2x+）=x（x）2+x当 x=时，S=S1+S2取得最小值x点评：此题考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的性质与判定、二次函数的最值、勾股定理，关键是根据题意画出图形构造相似三角形，注意分类讨论13.（2014株洲，第 17 题，4 分）计算：+（3）0tan45考点：实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值分析：原式第一项利用平方根定义化简，第二项利用零指数幂法则计算，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果解答：解：原式=4+11=4点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键14.（2014株洲，第 22 题，8 分）如图，在 RtABC 中，C=90，A 的平分线交 BC 于点 E，EFAB 于点 F，点 F 恰好是 AB 的一个三等分点（AFBF）（1）求证：ACEAFE；（2）求 tanCAE 的值考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义分析：（1）根据角的平分线的性质可求得 CE=EF，然后根据直角三角形的判定定理求得三角形全等（2）由ACEAFE，得出 AC=AF，CE=EF，设 BF=m，则 AC=2m，AF=2m，AB=3m，根据勾股定理可求得，tanB=，CE=EF=，在 RTACE 中，tanCAE=；解答：（1）证明：AE 是BAC 的平分线，ECAC，EFAF，CE=EF，在 RtACE 与 RtAFE 中，RtACERtAFE（HL）；（2）解：由（1）可知ACEAFE，AC=AF，CE=EF，设 BF=m，则 AC=2m，AF=2m，AB=3m，BC=m，在 RTABC 中，tanB=，在 RTEFB 中，EF=BFtanB=，CE=EF=，在 RTACE 中，tanCAE=；tanCAE=点评：本题考查了直角三角形的判定、性质和利用三角函数解直角三角形，根据已知条件表示出线段的值是解本题的关键15.（2014株洲，第 23 题，8 分）如图，PQ 为圆 O 的直径，点 B 在线段 PQ 的延长线上，OQ=QB=1，动点 A 在圆 O 的上半圆运动（含 P、Q 两点），以线段 AB 为边向上作等边三角形 ABC（1）当线段 AB 所在的直线与圆 O 相切时，求ABC 的面积（图 1）；（2）设AOB=，当线段 AB、与圆 O 只有一个公共点（即 A 点）时，求的范围（图 2，直接写出答案）；（3）当线段 AB 与圆 O 有两个公共点 A、M 时，如果 AOPM 于点 N，求 CM 的长度（图3）（第 5 题图）考点：圆的综合题；等边三角形的性质；勾股定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质；特殊角的三角函数值分析：（1）连接 OA，如下图 1，根据条件可求出 AB，然后 AC 的高 BH，求出 BH 就可以求出ABC 的面积（2）如下图 2，首先考虑临界位置：当点 A 与点 Q 重合时，线段 AB 与圆 O 只有一个公共点，此时=0；当线段 AB 所在的直线与圆 O 相切时，线段 AB 与圆 O 只有一个公共点，此时=60从而定出的范围（3）设 AO 与 PM 的交点为 D，连接 MQ，如下图 3，易证 AOMQ，从而得到PDOPMQ，BMQBAO，又 PO=OQ=BQ，从而可以求出 MQ、OD，进而求出 PD、DM、AM、CM 的值解答：解：（1）连接 OA，过点 B 作 BHAC，垂足为 H，如图 1 所示AB 与O 相切于点 A，OAABOAB=90OQ=QB=1，OA=1AB=ABC 是等边三角形，AC=AB=，CAB=60sinHAB=，HB=ABsinHAB=SABC=ACBH=ABC 的面积为（2）当点 A 与点 Q 重合时，线段 AB 与圆 O 只有一个公共点，此时=0；当线段 A1B 所在的直线与圆 O 相切时，如图 2 所示，线段 A1B 与圆 O 只有一个公共点，此时 OA1BA1，OA1=1，OB=2，cosA1OB=A1OB=60当线段 AB 与圆 O 只有一个公共点（即 A 点）时，的范围为：060（3）连接 MQ，如图 3 所示PQ 是O 的直径，PMQ=90OAPM，PDO=90PDO=PMQPDOPMQ=PO=OQ=PQPD=PM，OD=MQ同理：MQ=AO，BM=ABAO=1，MQ=OD=PDO=90，PO=1，OD=，PD=PM=DM=ADM=90，AD=A0OD=，AM=ABC 是等边三角形，AC=AB=BC，CAB=60BM=AB，AM=BMCMABAM=，BM=，AB=AC=CM=CM 的长度为点评：本题考查了等边三角形的性质、相似三角形的性质与判定、直线与圆相切、勾股定理、特殊三角函数值等知识，考查了用临界值法求角的取值范围，综合性较强16（2014 年江苏南京，第 23 题）如图，梯子斜靠在与地面垂直（垂足为 O）的墙上，当梯子位于 AB 位置时，它与地面所成的角ABO=60；当梯子底端向右滑动 1m（即 BD=1m）到达 CD 位置时，它与地面所成的角CDO=5118，求梯子的长（参考数据：sin51180.780，cos51180.625，tan51181.248）考点：解直角三角形的应用分析：设梯子的长为 xm在 RtABO 中，根据三角函数得到 OB，在 RtCDO 中，根据三角函数得到 OD，再根据 BD=ODOB，得到关于 x 的方程，解方程即可求解解答：设梯子的长为 xm在 RtABO 中，cosABO=，OB=ABcosABO=xcos60=x在 RtCDO 中，cosCDO=，OD=CDcosCDO=xcos51180.625xBD=ODOB，0.625x x=1，解得 x=8故梯子的长是 8 米点评：此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算17.（2014泰州，第 22 题，10 分）图、分别是某种型号跑步机的实物图与示意图，已知踏板 CD 长为 1.6m，CD 与地面 DE 的夹角CDE 为 12，支架 AC 长为 0.8m，ACD 为80，求跑步机手柄的一端 A 的高度 h（精确到 0.1m）（参考数据：sin12=cos780.21，sin68=cos220.93，tan682.48）考点：解直角三角形的应用分析：过C点作FGAB于F，交DE于G 在RtACF中，根据三角函数可求CF，在RtCDG中，根据三角函数可求 CG，再根据 FG=FC+CG 即可求解解答：解：过 C 点作 FGAB 于 F，交 DE 于 GCD 与地面 DE 的夹角CDE 为 12，ACD 为 80，ACF=90+1280=22，CAF=68，在 RtACF 中，CF=ACsinCAF0.744m，在 RtCDG 中，CG=CDsinCDE0.336m，FG=FC+CG1.1m故跑步机手柄的一端 A 的高度约为 1.1m点评：此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是用数学知识解决实际问题18（2014呼和浩特，第 18 题 6 分）如图，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 65方向，距离灯塔 80 海里的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 45方向上的 B 处，这时，海轮所在的 B 处距离灯塔 P 有多远？（结果用非特殊角的三角函数及根式表示即可）考点：解直角三角形的应用方向角问题分析：首先根据题意得出MPA=A=65，以及DBP=DPB=45，再利用解直角三角形求出即可新$课$标$第$一$网解答：解：如图，过点 P 作 PDAB 于点 D由题意知DPB=DBP=45在 RtPBD 中，sin45=，PB=PD点 A 在点 P 的北偏东 65方向上，APD=25在 RtPAD 中，cos25=PD=PAcos25=80cos25，PB=80cos25点评：此题主要考查了方向角含义，正确记忆三角函数的定义得出相关角度是解决本题的关键