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第三章流体力学第1页，共123页，编辑于2022年，星期二2022/9/242 流体运动学研究流体的运动规律，如速度、加速度等运动参数的变化规律，而流体动力学则研究流体在外力作用下的运动规律，即流体的运动参数与所受力之间的关系。本章主要介绍流体运动学和流体动力学的基本知识，推导出流体动力学中的几个重要的基本方程：连续性方程、动量方程和能量方程，这些方程是分析流体流动问题的基础。第2页，共123页，编辑于2022年，星期二2022/9/243第一节 描述流体运动的两种方法 连续介质模型的引入，使我们可以把流体看作为由无数个流体质点所组成的连续介质，并且无间隙地充满它所占据的空间。我们把流体质点运动的全部空间称为流场。由于流体是连续介质，所以描述流体运动的各物理量(如速度、加速度等)均应是空间点的坐标和时间的连续函数。根据着眼点的不同，流体力学中研究流体的运动有两种不同的方法，一种是拉格朗日（Lagrange）方法，另一种是欧拉（Euler）方法。拉格朗日方法又称随体法，是从分析流场中个别流体质点着手来研究整个流体运动的。这种研究方法，最基本第3页，共123页，编辑于2022年，星期二2022/9/244 的参数是流体质点的位移，在某一时刻，任一流体质点的位置可表示为：X=x(a，b，c，t)y=y(a，b，c，t)z=z(a，b，c，t)(3-1)式中a、b、c为初始时刻任意流体质点的坐标，即不同的a、b、c代表不同的流体质点。对于某个确定的流体质点，a、b、c为常数，而t为变量，则得到流体质点的运动规律。对于某个确定的时刻，t为常数，而a、b、c为变量，得到某一时刻不同流体质点的位置分布。通常称a、b、c为拉格朗日变量，它不是空间坐标的函数，而是流体质点标号。第4页，共123页，编辑于2022年，星期二2022/9/245 将式（3-1）对时间求一阶和二阶导数，可得任意流体质点的速度和加速度为：(3-2)(3-3)第5页，共123页，编辑于2022年，星期二2022/9/246 同样，流体的密度、压强和温度也可写成a、b、c、的函数，即=（a，b，c，），P=P(a，b，c，)，t=t(a，b，c，)。欧拉法，又称局部法，是从分析流场中每一个空间点上的流体质点的运动着手，来研究整个流体的运动的，即研究流体质点在通过某一空间点时流动参数随时间的变化规律。所以流体质点的流动是空间点坐标（x，y，z）和时间t的函数，例如：流体质点的三个速度分量、压强和密度可表示为：u=u(x，y，z，t)v=v(x，y，z，t)（3-4）w=w(x，y，z，t)式中，u，v，w分别表示速度矢量在三个坐标轴上的分量：第6页，共123页，编辑于2022年，星期二2022/9/247 P=p(x，y，z，t)=（x，y，z，t)(3-5)式（3-4）中，当参数x，y，z不变而改变时间t，则表示空间某固定点的速度随时间的变化规律。当参数t不变，而改变x，y，z，则代表某一时刻，空间各点的速度分布。x，y，z有双重意义，一方面它代表流场的空间坐标，另一方面它代表流体质点在空间的位移。根据流体连续介质假设，每一个空间点上都有流体质点所占据。而占据每一个空间点上的流体质点都有自己的速度，有速度必然产生位移。也就是说，空间坐标x，y，z也是流体质点位移的变量，它也是时间t的函数：x=x(t)y=y(t)z=z(t)(3-6)第7页，共123页，编辑于2022年，星期二2022/9/248 式（3-6）是流体质点的运动轨迹方程，将上式对时间求导就可得流体质点沿运动轨迹的三个速度分量 （3-7）现在用欧拉法求流体质点的加速度。由于加速度定义为在dt时刻内，流体质点流经某空间点附近运动轨迹上一段微小距离时的速度变化率，于是可按复合函数的求导法则，分别将式（3-4）中三个速度分量对时间取全导数，并将式（3-7）代入，即可得流体质点在某一时刻经过某空间点时的三个加速度分量第8页，共123页，编辑于2022年，星期二2022/9/249 (3-8)用矢量 表示加速度，即 。根据矢量分析的点积公式 （3-9）式中 是矢量微分算子。由式（3-8）可知，用欧拉法求得的流体质点的加速度由两部分组成；第一部分是由于某一空间点上的流体质点第9页，共123页，编辑于2022年，星期二2022/9/2410 的速度随时间的变化而产生的，称为当地加速度，即式（3-8）中等式右端的第一项 、；第二部分是某一瞬时由于流体质点的速度随空间点的变化称为迁移加速度，即式（3-8）中等式右端的后三项 、等；当地加速度和迁移加速度之和称为总加速度。为了加深对当地加速度和迁移加速度的理解，现举例说明这两个加速度的物理意义。如图3-1所示，不可压缩流体流过一个中间有收缩形的变截面管道，截面2比截面1小，则截面2的速度就要比截面1的速度大。所以当流体质点从1点流到2点时，由于截面的收缩引起速度的增加，从而产生了迁移加速度，如果在某一段时间内流进管道的流体输入量有变化（增加或减少），则管道中每一点上流体质点的速第10页，共123页，编辑于2022年，星期二2022/9/2411图 3-1 中间有收缩形的变截面管道内的流动第11页，共123页，编辑于2022年，星期二2022/9/2412 度将相应发生变化（增大或减少），从而产生了当地加速度。应该注意，流体质点和空间点是两个截然不同的概念，空间点指固定在流场中的一些点，流体质点不断流过空间点，空间点上的速度指流体质点正好流过此空间点时的速度。用欧拉法求流体质点其他物理量的时间变化率也可以采用式(3-9)的形式，即 （3-10）式中，括弧内可以代表描述流体运动的任一物理量，如密度、温度、压强，可以是标量，也可以是矢量。称为全导数，称为当地导数，称为迁移导数。第12页，共123页，编辑于2022年，星期二2022/9/2413 由上述可知，采用欧拉法描述流体的流动，常常比采用拉格朗日法优越，其原因有三。一是利用欧拉法得到的是场，便于采用场论这一数学工具来研究。二是采用欧拉法，加速度是一阶导数，而拉格朗日法，加速度是二阶导数，所得的运动微分方程分别是一阶偏微分方程和二阶偏微分方程，在数学上一阶偏微分方程比二阶偏微分方程求解容易。三是在工程实际中，并不关心每一质点的来龙去脉。基于上述三点原因，欧拉法在流体力学研究中广泛被采用。当然拉格朗日法在研究爆炸现象以及计算流体力学的某些问题中还是方便的。第13页，共123页，编辑于2022年，星期二2022/9/2414 【例例3-1】已知用拉格朗日变量表示得速度分布为 u=(a+2)et-2，v=(b+2)et-2，且t=0时，x=a，y=b。求（1）t=3时质点分布；（2）a=2，b=2质点的运动规律；（3）质点加速度。【解解】根据（3-2）式得 将上式积分，得 上式中c1、c2为积分常数，它仍是拉格朗日变量的函数。利用t=0时，x=a，y=b得c1=-2，c2=-2第14页，共123页，编辑于2022年，星期二2022/9/2415 X=(a+2)et-2t-2 y=(b+2)et-2t-2 （1）将t=3代入上式 得 X=(a+2)e3-8 y=(b+2)e3-8 （2）a=2，b=2时 x=4et-2t-2 y=4et-2t-2 (3)第15页，共123页，编辑于2022年，星期二2022/9/2416 【例例3-2】在任意时刻，流体质点的位置是x=5t2，其迹线为双曲线xy=25。质点速度和加速度在x和y方向的分量为多少？【解解】根据式（3-7）得 由式（3-8）得第16页，共123页，编辑于2022年，星期二2022/9/2417第二节 流体运动的一些基本概念 在讨论流体运动的基本规律和基本方程之前，为了便于分析、研究问题，先介绍一些有关流体运动的基本概念。一、定常流动和非定常流动一、定常流动和非定常流动 根据流体的流动参数是否随时间而变化，可将流体的流动分为定常流动和非定常流动，现举例说明如下：如图3-2所示装置，将阀门A和B的开度调节到使水箱中的水位保持不变，则水箱和管道中任一点(如1点、2点和3点等)的流体质点的压强和速度都不随时间而变化，但由于1、2、3各点所处的空间位置不同，故其压强和速度值也就各第17页，共123页，编辑于2022年，星期二2022/9/2418图 3-2 流体的出流第18页，共123页，编辑于2022年，星期二2022/9/2419图 3-2 流体的出流第19页，共123页，编辑于2022年，星期二2022/9/2420 不相同。这时从管道中流出的射流形状也不随时间而变。这种运动流体中任一点的流体质点的流动参数(压强和速度等)均不随时间变化，而只随空间点位置不同而变化的流动，称为定常流动。现将阀门A关小，则流入水箱的水量小于从阀门B流出的水量，水箱中的水位就逐渐下降，于是水箱和管道任一点流体质点的压强和速度都逐渐减小，射流的形状也逐渐向下弯曲。这种运动流体中任一点流体质点的流动参数(压强和速度等)随时间而变化的流动，称为非定常流动。由上可见，定常流动的流场中，流体质点的速度、压强和密度等流动参数仅是空间点坐标x、y、z的函数，而与时间t无关，用表示任一流动参数（即可表示u，v，w，p，等），则 =(x，y，z)(3-11)第20页，共123页，编辑于2022年，星期二2022/9/2421 由于是定常流动，故其流动参数对时间的偏导数等于零，即 （3-12）因此，定常流动时流体加速度可简化成 （3-13）由式(3-13)可知，在定常流动中只有迁移加速度。例如图3-2中，当水箱的水位保持不变时，2点到3点流体质点的速度减小，而4点到5点速度增加，都是由于截面变化而引起的迁移加速度。若迁移加速度为零，则为均匀流动，例如流体质点在等截面管道中的流动(3点到4点)。在供水和通风系统中，只要泵和风机的转速不变，运转稳定，则水管和风道中的流体流动都是定常流动。又如第21页，共123页，编辑于2022年，星期二2022/9/2422 火电厂中，当锅炉和汽轮机都稳定在某一工况下运行时，主蒸汽管道和给水管道中的流体流动也都是定常流动。可见研究流体的定常流动有很大的实际意义。二、迹线与流线二、迹线与流线 迹线是流场中某一质点运动的轨迹。例如在流动的水面上撒一片木屑，木屑随水流漂流的途径就是某一水点的运动轨迹，也就是迹线。流场中所有的流体质点都有自己的迹线，迹线是流体运动的一种几何表示，可以用它来直观形象地分析流体的运动，清楚地看出质点的运动情况。迹线的研究是属于拉格朗日法的内容，迹线表示同一流体质点在不同时刻所形成的曲线，其数学表达式为：（3-14）第22页，共123页，编辑于2022年，星期二2022/9/2423 式(3-14)就是迹线微分方程，是自变量。流线是某一瞬时在流场中所作的一条曲线，在这条曲线上的各流体质点的速度方向都与该曲线相切，因此流线是同一时刻，不同流体质点所组成的曲线，如图3-3所示。流线可以形象地给出流场的流动状态。通过流线，可以清楚地看出某时刻流场中各点的速度方向，由流线的密集程度，也可以判定出速度的大小。流线的引入是欧拉法的研究特点。例如在流动水面上同时撤一大片木屑，这时可看到这些木屑将连成若干条曲线，每一条曲线表示在同一瞬时各水点的流动方向线就是流线。1、流线的基本特性 (1)在定常流动时，因为流场中各流体质点的速度不随第23页，共123页，编辑于2022年，星期二2022/9/2424图 3-3 流线的概念第24页，共123页，编辑于2022年，星期二2022/9/2425 时间变化，所以通过同一点的流线形状始终保持不变，因此流线和迹线相重合。而在非定常流动时，一般说来流线要随时间变化，故流线和迹线不相重合。(2)通过某一空间点在给定瞬间只能有一条流线，一般情况流线不能相交和分支。否则在同一空间点上流体质点将同时有几个不同的流动方向。只有在流场中速度为零或无穷大的那些点，流线可以相交，这是因为，在这些点上不会出现在同一点上存在不同流动方向的问题。速度为零的点称驻点，速度为无穷大的点称为奇点。(3)流线不能突然折转，是一条光滑的连续曲线。(4)流线密集的地方，表示流场中该处的流速较大，稀疏的地方，表示该处的流速较小。第25页，共123页，编辑于2022年，星期二2022/9/2426 2、流线微分方程 现由矢量分析法导出流线微分方程。设在某一空间点上流体质点的速度矢量 ，通过该点流线上的微元线段 。由流线的定义知，空间点上流体质点的速度与流线相切。根据矢量分析，这两个矢量的矢量积应等于零，即 即 上式又可写成第26页，共123页，编辑于2022年，星期二2022/9/2427 （3-15）式（3-15）就是流线的微分方程，式中时间t是个参变量。【例例3-3】有一流场，其流速分布规律为：u=-ky，v=kx，w=0，试求其流线方程。【解解】由于w=0，所以是二维流动，二维流动的流线方程微分为 将两个分速度代入流线微分方程（3-15），得到 即 xdx+ydy=0 积分上式得到 x2+y2=c 即流线簇是以坐标原点为圆心的同心圆。第27页，共123页，编辑于2022年，星期二2022/9/2428 三、流管、流束和总流三、流管、流束和总流 在流场中任取一条不是流线的封闭曲线，通过曲线上各点作流线，这些流线组成一个管状表面，称之为流管。如图3-4所示。因为流管是由流线构成的，所以它具有流线的一切特性，流体质点不能穿过流管流入或流出(由于流线不能相交)。流管就像固体管子一样，将流体限制在管内流动。过流管横截面上各点作流线，则得到充满流管的一束流线簇，称为流束。当流束的横截面积趋近于零时，则流束达到它的极限流线。在流束中与各流线相垂直的横截面称为有效截面。流线相互平行时，有效截面是平面。流线不平行时，有效截面是曲面，如图3-5所示。有效截面面积为无限小的流束第28页，共123页，编辑于2022年，星期二2022/9/2429 和流管，称为微元流束和微元流管。在每一个微元流束的有效截面上，各点的速度可认为是相同的。无数微元流束的总和称为总流。自然界和工程中所遇到的管流或渠流都是总流。根据总流的边界情况，可以把总流流动分为三类：（1）有压流动 总流的全部边界受固体边界的约束，即流体充满流道，如压力水管中的流动。（2）无压流动 总流边界的一部分受固体边界约束，另一部分与气体接触，形成自由液面，如明渠中的流动。（3）射流 总流的全部边界均无固体边界约束，如喷嘴出口的流动。在总流的有效截面上，流体与固体边界接触的长度称为湿周，用符号表示。第29页，共123页，编辑于2022年，星期二2022/9/2430图 3-4 流管和流束第30页，共123页，编辑于2022年，星期二2022/9/2431图 3-5 有效截面第31页，共123页，编辑于2022年，星期二2022/9/2432 总流的有效截面面积与湿周之比称为水力半径，用符号Rh表示，即 关于湿周和水力半径的概念在非圆截面管道和管束的水力计算中常常用到。四、流量和平均流速四、流量和平均流速 单位时间内通过有效截面的流体体积称为体积流量，以qv表示。其单位为m3/s、m3/h等。单位时间内通过有效截面的流体质量称为质量流量,以qm表示，其单位为kg/s、t/h等。由于微元流束有效截面上各点的流速V是相等的，所以通过微元流束有效截面积为的体积流量dqv和质量流量dqm分别为：dqv=VdA (3-16)dqm=VdA (3-17)第32页，共123页，编辑于2022年，星期二2022/9/2433 由于流束是由无限多的微元流束组成的，所以通过流束有效截面面积为的流体体积流量和质量流量分别由式(3-16)和式(3-17)积分求得，即 (3-18)(3-19)以上计算必须先找出微元流束的速度V在整个流束有效截面上的分布规律，这在大部分工程问题中是不能用解析法来确定的。在工程计算中为了方便起见，引入平均流速的概念。平均流速是一个假想的流速，即假定在有效截面上各点都以相同的平均流速流过，这时通过该有效截面上的体积流量仍与各点以真实流速流动时所得到的体积流量相同。第33页，共123页，编辑于2022年，星期二2022/9/2434 若以表示平均流速，按其定义可得：(3-20)(3-21)五、一维、二维和三维流动五、一维、二维和三维流动 一般的流动都是在三维空间的流动，流动参数是x、y、z三个坐标的函数，在流体力学中又称这种流动为三维流动。当我们适当地选择坐标或将流动作某些简化，使其流动参数在某些情况下，仅是x、y两个坐标的函数，称这种流动为二维流动。是一个坐标的函数的流动，称为一维流动。如图3-6所示的带锥度的圆管内黏性流体的流动，流体质点运动参数，如速度，即是半径r的函数，又是沿轴第34页，共123页，编辑于2022年，星期二2022/9/2435图 3-6 管内流动速度分布第35页，共123页，编辑于2022年，星期二2022/9/2436 线距离的函数，即：u=u(r，x)。显然这是二元流动问题。工程上在讨论其速度分布时，常采用其每个截面的平均值u。就将流动参数如速度，简化为仅与一个坐标有关的流动问题，这种流动就叫一维流动，即：u=u(x)。如图3-7所示的绕无限翼展的流动就是二维流动，二维流动的参数以速度为例，可写成：如图3-8所示的绕有限宽翼展的流动就是三维流动，三维流动的参数以速度为例，可写成：六、均匀流和非均匀流六、均匀流和非均匀流 根据流场中同一条流线各空间点上的流速是否相同，可将总流分为均匀流和非均匀流。若相同则称为均匀流，第36页，共123页，编辑于2022年，星期二2022/9/2437图 3-7 绕无限翼展的流动第37页，共123页，编辑于2022年，星期二2022/9/2438图 3-8绕有限翼展的流动第38页，共123页，编辑于2022年，星期二2022/9/2439 否则称为非均匀流。由此定义可知在均匀流中，流线是彼此平行的直线，过水断面（有效截面）是平面。如在等直径的直管道内的水流都是均匀流(图3-9)。注意在均匀流中各流线上的流速大小不定彼此相等在非均匀流中，流线或者是不平行的直线，或者是曲线，如图3-10所示。一般非均匀流的过水断面（有效截面）是曲面。非均匀流按流速的大小和方向沿流线变化的缓、急程度又可分为缓（渐）变流和急变流两种（图3-11）。流速的大小和方向沿流线逐渐改变的非均匀流，称为缓（渐）变流。显然，缓（渐）变流的流线的曲率半径r较大，流线之间的夹角较小。因此，缓（渐）变流是一种流线几乎平行又近似直线的流动，其极限情况就是均匀流。缓（渐）变流的有效截面可看作平面，但是缓（渐）变流各个过水断面的形状和大小是沿程逐渐改变的，各个过水断面上的流速分布图形也是沿程逐渐改变的。流速的大小和第39页，共123页，编辑于2022年，星期二2022/9/2440方向沿流线急剧变化的非均匀流，称为急变流。显然其流线之间的夹角较大，或者流线曲率半径较小，或者两者兼而有之。第40页，共123页，编辑于2022年，星期二2022/9/2441图 3-9 均匀流第41页，共123页，编辑于2022年，星期二2022/9/2442图 3-10 非均匀流第42页，共123页，编辑于2022年，星期二2022/9/2443急变流缓变流缓变流缓变流缓变流缓变流急变流急变流急变流急变流图 3-11 缓变流和急变流第43页，共123页，编辑于2022年，星期二2022/9/2444第三节 流体流动的连续性方程 连续性方程是质量守恒定律在流体力学中的应用。我们认为流体是连续介质，它在流动时连续地充满整个流场。在这个前提下，当研究流体经过流场中某一任意指定的空间封闭曲面时，可以断定：若在某一定时间内，流出的流体质量和流入的流体质量不相等时，则这封闭曲面内一定会有流体密度的变化，以便使流体仍然充满整个封闭曲面内的空间；如果流体是不可压缩的，则流出的流体质量必然等于流入的流体质量。上述结论可以用数学分析表达成微分方程，称为连续性方程。第44页，共123页，编辑于2022年，星期二2022/9/2445 一、直角坐标系下连续性微分方程式一、直角坐标系下连续性微分方程式 设在流场中任取一个微元平行六面体，其边长分别为dx、dy和dz，如图3-12所示。假设微元平行六面体形心的坐标为x、y、z，在某一瞬时t经过形心的流体质点沿各坐标轴的速度分量为u、v、w，流体的密度为。现讨论流体经六面体各面的流动情况。先分析x轴方向，由式(3-4)和式(3-5)可知，u和都是坐标和时间的连续函数，即u=u(x，y，z，t)和=(x，y，z，t)。根据泰勒级数展开式，略去高于一阶的无穷小量，得在d时间内，沿轴方向从左边微元面积dydz流入的流体质量为第45页，共123页，编辑于2022年，星期二2022/9/2446图 3-12 流场中的微元平行六面体第46页，共123页，编辑于2022年，星期二2022/9/2447 同理可得在dt时间内从右边微元面积dydz流出的流体质量为 (3-22)上述两者之差为在dt时间内沿x轴方向流体质量的变化，即 (3-23)第47页，共123页，编辑于2022年，星期二2022/9/2448 同理可得，在dt时间内沿y轴和z轴方向流体质量的变化分别为：因此，在dt时间内经过微元六面体的流体质量总变化为 (3-24)由于流体是作为连续介质来研究的，所以式(3-24)所表示的六面体内流体质量的总变化，唯一的可能是因为六面体内流体密度的变化而引起的。因此式(3-24)应和由于流体密度的变化而产生的六面体内的流体质量变化相等。设开始瞬时流体的密度为，经过dt时间后的密度为第48页，共123页，编辑于2022年，星期二2022/9/2449 则可求出在dt时间内，六面体内因密度的变化而引起的质量变化为 (3-25)根据连续性条件，式(3-24)和式(3-25)应相等，经简化得到 (3-26)式（3-26）为可压缩流体非定常三维流动的连续性方程。若流体是定常流动，则 ，上式成为 (3-27)式（3-27）为可压缩流体定常三维流动的连续性方程。若流体是不可压缩的，不论是定常或非定常流动均第49页，共123页，编辑于2022年，星期二2022/9/2450 为常数，故式(3-27)成为 (3-28)式（3-28）为不可压缩流体三维流动的连续性的方程。它的物理意义是：在同一时间内通过流场中任一封闭表面的体积流量等于零，也就是说，在同一时间内流入的体积流量与流出的体积流量相等。在流体力学中时常讨论所谓平面（二维）流动，即平行任何一个坐标平面的流动。若这种流动的流动参数（如速度、压强）只沿x、y两个坐标轴方向发生变化，则式（3-28）可以写成 (3-29)由于在推导上述连续性方程时，没有涉及作用力的问题，所以不论是对理想流体还是实际流体都是适用的。第50页，共123页，编辑于2022年，星期二2022/9/2451 二、微元流束和总流的连续性方程二、微元流束和总流的连续性方程 在工程上和自然界中，流体流动多数都是在某些周界所限定的空间内沿某一方向流动，即一维流动的问题，所谓一维流动是指流动参数仅在一个方向上有显著的变化，而在其它两个方向上的变化非常微小，可忽略不计。例如在管道中流动的流体就符合这个条件。在流场中取一微元流束(图3-13)。假定流体的运动是连续的、定常的，则微元流管的形状不随时间而改变。又根据流管的特性，流体质点不能穿过流管表面，因此在单位时间内通过微元流管的任一有效截面的流体质量都应相等，即 1V1dA1=2V2dA2=VdA=常数 （3-30）式中 dA1、dA2分别为1、2两个有效截面的面积，m2；第51页，共123页，编辑于2022年，星期二2022/9/2452图 3-13 流场中的微元流束第52页，共123页，编辑于2022年，星期二2022/9/2453 V1 、V2分别为dA1和dA2上的流速，也称为真实流速，m/s；1 、2分别为和处的流体密度，kg/m3。对于由无限多微元流束所组成的总流（例如流体在管道中的流动），可对式（3-30）进行积分得 （3-31）式中 A1 和A2分别为总流1和2两个有效截面的面积，m2。式（3-31）为一维流动积分形式总流的连续性方程。设 和 是总流两个有效截面l和2上的平均流速，则式（3-31）可写成 (3-32)第53页，共123页，编辑于2022年，星期二2022/9/2454 式中1和2分别代表截面和上的平均密度，kg/m3。式（3-32）表示当流动为可压缩流体定常流体动时，沿流动方向的质量流量为一个常数。对不可压缩均质流体常数，则式（3-32）成为 (3-33)式（3-33）为不可压缩流体一维定常流动的总流连续性方程。该式说明一维总流在定常流动条件下，沿流动方向的体积流量为一个常数，平均流速与有效截面面积成反比，即有效截面面积大的地方平均流速小，有效截面面积小的地方平均流速就大。第54页，共123页，编辑于2022年，星期二2022/9/2455 【例例3-4】假设有一不可压缩流体三维流动，其速度分布规律为）U=3（x+y3)，v=4y+z2，w=x+y+2z。试分析该流动是否连续。【解解】根据式（3-28）所以 故此流动不连续。不满足连续性方程的流动是不存在的 第55页，共123页，编辑于2022年，星期二2022/9/2456 【例例3-5】有一不可压缩流体平面流动，其速度分布规律为u=x2siny，v=2xcosy，试分析该流动是否连续。【解解】根据式（3-29）所以 故此流动是连续的。第56页，共123页，编辑于2022年，星期二2022/9/2457 【例例3-6】有一输水管道，如图3-14所示。水自截面1-1流向截面2-2。测得截面1-1的水流平均流速 m/s，已知d1=0.5m，d2=1m，试求截面2-2处的平均流速 为多少？【解解】由式（3-33）得 (m/s)第57页，共123页，编辑于2022年，星期二2022/9/2458图 3-14 输水管道第58页，共123页，编辑于2022年，星期二2022/9/2459第四节 理想流体的运动微分方程 在流动的理想流体中，取出一个微元平行六面体的微团，它的各边长度分别为dx、dy和dz，如图3-15所示。由于是理想流体，没有黏性，运动时不产生内摩擦力，所以作用在流体微团上的外力只有质量力和压强。该压强与静压强一样，垂直向内，作用在流体微团的表面上。假设六面体形心的坐标为x、y、z，压强为p。先分析x方向的运动，在垂直于x轴的左右两个平面中心点上的压强各等于 由于是微元面积，所以这些压强可以作为各表面上的第59页，共123页，编辑于2022年，星期二2022/9/2460图 3-15 推导欧拉运动微分方程用图第60页，共123页，编辑于2022年，星期二2022/9/2461 平均压强。设在六面体形心上的单位质量的质量力分量为fx、fy和fz，则作用在微元平行六面体的流体微团上的质量力在轴方向的分量为 fxdxdydz 又流体微团的加速度在x轴上的投影为 ，则根据牛顿第二定律得x轴方向的运动微分方程 将上式各项除以流体微团的流体质量dxdydz，化简后得：同理 (3-34)第61页，共123页，编辑于2022年，星期二2022/9/2462 这就是理想流体的运动微分方程，早在1755年就为。对于静止的流体u=v=w=0，则由式（3-34）可以直接得出流体平衡微分方程，即欧拉平衡微分方程式（2-3）。因此欧拉平衡微分方程只是欧拉运动微分方程的一个特例。如果把加速度写成展开式，可将欧拉运动微分方程写成如下形式 (3-35)第62页，共123页，编辑于2022年，星期二2022/9/2463 在一般情况下，作用在流体上的质量力fx、fy和fz 是已知的，对理想不可压缩流体其密度为一常数。在这种情况下，式（3-35）中有四个未知数u、v、w和p，而式（3-35）中有三个方程，再加上不可压缩流体的连续性方程（3-28），就从理论上提供了求解这四个未知数的可能性。第63页，共123页，编辑于2022年，星期二2022/9/2464 第五节 理想流体微元流束的伯努利方程 一、理想流体微元流束的伯努利方程一、理想流体微元流束的伯努利方程 理想流体的运动微分方程（3-35）只有在少数特殊情况下才能求解。在下列几个假定条件下：(1)不可压缩理想流体的定常流动；(2)沿同一微元流束（也就是沿流线）积分；(3)质量力只有重力。即可求得理想流体微元流束的伯努利方程。假定流体是定常流动，则有 ，第64页，共123页，编辑于2022年，星期二2022/9/2465 因此式(3-35)可写成 (3-36)假如流体微团沿流线的微小位移ds在三个坐标轴上的投影为dx、dy和dz。现用dx、dy和dz分别乘以式（3-36）的第一式、第二式和第三式，则可得到第65页，共123页，编辑于2022年，星期二2022/9/2466 (3-37)由流线微分方程（3-15）有 udy=vdx ydz=wdy (3-38)wdx=udz 将式（3-38）代入式（3-37）中的对应项，则得第66页，共123页，编辑于2022年，星期二2022/9/2467 (3-39)将式（3-39）的三个方程相加，得到 (3-40)由于式（3-40）中的dx、dy和dz是流体微团沿流线微小位移ds的三个分量，所以要沿流线（或微元流束）进行积分。第67页，共123页，编辑于2022年，星期二2022/9/2468 式（3-40)中的 假设质量力只有重力，fx=0，fy=0，fz=-g，即z轴垂直向上，oxy为水平面。则式(3-40)可写成 又假设为不可压缩均质流体，即=常数，积分后得 或 (3-41)式（3-41）称为理想流体微元流束的伯努利方程。方程右边的常数对不同的流线有不同的值。该方程的适用范围第68页，共123页，编辑于2022年，星期二2022/9/2469 是：理想不可压缩均质流体在重力作用下作定常流动，并沿同一流线（或微元流束）。若1、2为同一条流线（或微元流束）上的任意两点，则式（3-41）也可写成 (3-42)在特殊情况下，绝对静止流体V=0，由式(3-41)可以得到静力学基本方程 二、方程的物理意义和几何意义二、方程的物理意义和几何意义 为了进一步理解理想流体微元流束的伯努利方程，现来叙述该方程的物理意义和几何意义。1、物理意义 理想流体微元流束的伯努利方程式（3-41）中，左端第69页，共123页，编辑于2022年，星期二2022/9/2470 前两项的物理意义，在静力学中已有阐述，即第一项z表示单位重量流体所具有的位势能；第二项p/(g)表示单位重量流体的压强势能；第三项V2/(2g)理解如下：由物理学可知，质量为m的物体以速度V运动时，所具有的动能为Mv2/2，则单位重量流体所具有的动能为V2/(2g)即(mV2/2)/(mg)=V2/(2g)。所以该项的物理意义为单位重量流体具有的动能。位势能、压强势能和动能之和称为机械能。因此，伯努利方程可叙述为：理想不可压缩流体在重力作用下作定常流动时，沿同一流线（或微元流束）上各点的单位重量流体所具有的位势能、压强势能和动能之和保持不变，即机械能是一常数，但位势能、压强势能和动能三种能量之间可以相互转换，所以伯努利方程是能量守恒定律在流体力学中的一种特殊表现形式。第70页，共123页，编辑于2022年，星期二2022/9/2471 2、几何意义图 理想流体微元流束的伯努利方程式（3-41）中，左端前两项的几何意义，同样在静力学中已有阐述，即第一项z表示单位重量流体的位置水头，第二项p/(g)表示单位重量流体的压强水头，第三项V2/(2g)与前两项一样也具有长度的量纲。它表示所研究流体由于具有速度V，在无阻力的情况下，单位重量流体所能垂直上升的最大高度，称之为速度水头。位置水头、压强水头和速度水头之和称为总水头。由于它们都表示某一高度，所以可用几何图形表示它们之间的关系，如图3-16所示。因此伯努利方程也可叙述为：理想不可压缩流体在重力作用下作定常流动时，沿同一流线(或微元流束)上各点的单位重量流体所具有的位置水头、压强水头和速度水头之和保持不变，即总水头是一常数。第71页，共123页，编辑于2022年，星期二2022/9/2472图 3-16 总水头线和静水头线第72页，共123页，编辑于2022年，星期二总流的伯努利方程一、总流伯努力方程的建立一、总流伯努力方程的建立 不可压缩实际液体定常流动微小流束的伯努力方程为 总流是无数元流的累加实际工程中，考实际工程中，考虑的流体都是总虑的流体都是总流流应用伯努力方程解决实际问应用伯努力方程解决实际问题，需把微小流束的伯努力题，需把微小流束的伯努力方程推广到总流中去。方程推广到总流中去。第73页，共123页，编辑于2022年，星期二总流的伯努利方程dA1u11212 p1z1z2u2 p2dA2 由连续性方程，单位时间内从dA1、dA2流过的液体质量相等，即第74页，共123页，编辑于2022年，星期二总流的伯努利方程 单位时间内流过二过流断面的流体的总能量应满足单位时间内流过二过流断面的流体的总能量应满足 把组成总流的每条微小流束的能量叠加起来，即沿总流过水断面积分，得单位时间内流过总流过流断面A1、A2的能量关系：第75页，共123页，编辑于2022年，星期二总流的伯努利方程 第第类积分类积分势能积分；势能积分；第第类积分类积分动能积分；动能积分；第第类积分类积分能量损失积分。能量损失积分。类积分类积分类积分第76页，共123页，编辑于2022年，星期二总流的伯努利方程确定三种类型的积分确定三种类型的积分第类积分条件：渐变流过水断面条件：渐变流过水断面第77页，共123页，编辑于2022年，星期二总流的伯努利方程第类积分解决动能积分用断面平均流速v代替实际流速u引入动能修正系数第78页，共123页，编辑于2022年，星期二总流的伯努利方程第类积分解决能量损失积分引入平均能量损失hw定义hw单位重量流体总流从过水断面1-1到2-2之间 的平均能量损失。第79页，共123页，编辑于2022年，星期二总流的伯努利方程将、式代入式，有各项同除以 ，有上式即为实际不可压缩单位重量流体定常总流的伯努力平衡方程。上式即为实际不可压缩单位重量流体定常总流的伯努力平衡方程。或第80页，共123页，编辑于2022年，星期二总流的伯努利方程二、应用总流伯努力方程的注意事项1.1.总流伯努力方程的应用条件总流伯努力方程的应用条件 总流的伯努力方程是在一定的限制条件下推导出来，因此在应用时须满足这些条件：流体必须是定常流动，且不可压缩；作用于流体上的力只有重力；选取的过流断面必须符合渐变缓断面；在选取的两过流断面间，流量保持不变；两过流断面间，能量损失必须是以热能形式扩散。第81页，共123页，编辑于2022年，星期二总流的伯努利方程2.2.总流伯努力方程中各项的取值总流伯努力方程中各项的取值基准面基准面z z的选取的选取断面压强的计算断面压强的计算 基准面的选取是任意的，但在计算不同断面的位置水头基准面的选取是任意的，但在计算不同断面的位置水头z z时，时，应选同一基准面。应选同一基准面。位能与压强的计算点要统一。位能与压强的计算点要统一。计算断面上计算断面上 值时，明渠取液面点，管道取管轴线上点的数值为代值时，明渠取液面点，管道取管轴线上点的数值为代表点。表点。压强的表述要一致。压强的表述要一致。第82页，共123页，编辑于2022年，星期二总流的伯努利方程动能修正系数动能修正系数 紊流时取紊流时取1 1，层流时取，层流时取2 2，同一基准面取同一值。，同一基准面取同一值。阻力水头损失阻力水头损失h hw w 包括沿程水头损失和局部水头损失两类，可写成包括沿程水头损失和局部水头损失两类，可写成 。第83页，共123页，编辑于2022年，星期二总流的伯努利方程三、总流伯努力方程中的扩充1.1.两断面有能量输入或输出的情况两断面有能量输入或输出的情况 以上所推导的总流伯努力方程，没有考虑由1-1断面到2-2断面之间