第八章二重积分 (2)精选文档.ppt

第八章二重积分1本讲稿第一页，共六十页3）作和）作和4）取极限）取极限则则（2）求曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积1）将区域任意分割成个小区域：）将区域任意分割成个小区域：，也表示第块小区域的面积。也表示第块小区域的面积。2）任取点，）任取点，。o2本讲稿第二页，共六十页（3）.二重积分的定义二重积分的定义定义设二元函数在有界闭区域上定义设二元函数在有界闭区域上有定义，用任意分法将分成个小闭区域有定义，用任意分法将分成个小闭区域其中表示第个小区域（也表示它的面积），其中表示第个小区域（也表示它的面积），表示的直径中的最大者。在上任表示的直径中的最大者。在上任取一点，作乘积，并作和取一点，作乘积，并作和当时，如果这个和的极限存在，则称此极限为当时，如果这个和的极限存在，则称此极限为函数在区域上的二重积分，记为函数在区域上的二重积分，记为，即，即3本讲稿第三页，共六十页积积积积分分分分区区区区域域域域积积积积分分分分和和和和被被被被积积积积函函函函数数数数积积积积分分分分变变变变量量量量被被被被积积积积表表表表达达达达式式式式面面面面积积积积元元元元素素素素 Ddyxfs s),(kknkkfs sh hx xdD D=),(lim104本讲稿第四页，共六十页0 xyD直角坐标系下面积元素直角坐标系下面积元素5本讲稿第五页，共六十页（4）二重积分的几何意义）二重积分的几何意义1)、若，表示以区域为底的曲、若，表示以区域为底的曲顶柱体的体积。顶柱体的体积。2)、若，表示以区域为底的曲、若，表示以区域为底的曲顶柱体的体积的相反数。顶柱体的体积的相反数。3)、若在区域上的值有正有负，则曲顶、若在区域上的值有正有负，则曲顶柱体的体积取其二重积分的代数和。柱体的体积取其二重积分的代数和。（其中其中xoy面上方柱体的体积取正，面上方柱体的体积取正，xoy面下方面下方柱体的体积取负）。柱体的体积取负）。6本讲稿第六页，共六十页2.二重积分的性质（与定积分对照）二重积分的性质（与定积分对照）7本讲稿第七页，共六十页(5)比较定理：比较定理：(6)估值定理：估值定理：(7)积分中值定理：积分中值定理：(9)被积函数的奇偶性与积分区域的对称性被积函数的奇偶性与积分区域的对称性8本讲稿第八页，共六十页12若若D对称于对称于x 轴，关于变量轴，关于变量y被积函数被积函数 是奇函数，是奇函数，其积分值为其积分值为0；若是偶函数，其积分值两倍于；若是偶函数，其积分值两倍于y0 的区域上的积分；的区域上的积分；若若D对称于对称于y 轴，关于变量轴，关于变量x被积函数被积函数 是奇函数，是奇函数，其积分值为其积分值为0；若是偶函数，其积分值两倍于；若是偶函数，其积分值两倍于x0 的区域上的积分；的区域上的积分；39本讲稿第九页，共六十页011-122-2xyxy-221-110本讲稿第十页，共六十页二、二重积分的计算二、二重积分的计算步骤：步骤：(1)画积分区域的草图，求交点坐标；画积分区域的草图，求交点坐标；（2）根据被积函数及积分区域）根据被积函数及积分区域D的形状选择积的形状选择积分次序分次序:*如果如果D由上下曲线围成，一般先对由上下曲线围成，一般先对y后对后对x积分积分,此时各交点向此时各交点向x轴引垂线并确定垂足坐标；轴引垂线并确定垂足坐标；如积分区域为：如积分区域为：a、平行于、平行于y轴且穿过区域的直线与区域边界的交点不多于两个；轴且穿过区域的直线与区域边界的交点不多于两个；b、.一般二重积分的计算一般二重积分的计算直角坐标系下：直角坐标系下：11本讲稿第十一页，共六十页*如果如果D由左、右曲线围成，一般先对由左、右曲线围成，一般先对x后对后对y积分，此时各交点向积分，此时各交点向 轴引垂线并确定垂足轴引垂线并确定垂足坐标；坐标；12本讲稿第十二页，共六十页*若若D不是简单区域，用平行于坐标轴的直线穿不是简单区域，用平行于坐标轴的直线穿过区域时交点多于两个，或过区域时交点多于两个，或D内不同的两条平内不同的两条平行于坐标轴的直线穿过区域时会交于不同的两行于坐标轴的直线穿过区域时会交于不同的两条曲线，则要分块积分，此时各交点向坐标轴条曲线，则要分块积分，此时各交点向坐标轴引垂线（若要对引垂线（若要对y积分，交点向积分，交点向x轴引垂线轴引垂线,若要对若要对x积分，交点向积分，交点向y轴引垂线）轴引垂线）.a、穿过区域且平行于、穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界的交点不多轴的直线与区域边界的交点不多于两个。于两个。b、13本讲稿第十三页，共六十页*如果二重积分是以二次积分的形式给出的，如果二重积分是以二次积分的形式给出的，一般要更换积分次序。一般要更换积分次序。都是 的不可积函数.(3)(3)积分限的确定积分限的确定*如果被积函数是如果被积函数是x的不可积函数，则先对的不可积函数，则先对y后后x积分；是积分；是y的不可积函数时，则先对的不可积函数时，则先对x后对后对y积分；如积分；如14本讲稿第十四页，共六十页1若先对若先对y后对后对x积分，则积分，则y的积分限可这样的积分限可这样确定：用平行于确定：用平行于y轴的直线沿轴的直线沿y轴方向穿过轴方向穿过区域，穿进的边界曲线为区域，穿进的边界曲线为下限，穿出的边界曲线为下限，穿出的边界曲线为上限，后对上限，后对x积分其积分限是常量（由交点积分其积分限是常量（由交点向向x轴作垂线的垂足耒确定）轴作垂线的垂足耒确定）15本讲稿第十五页，共六十页2若先对若先对x后对后对y积分，则积分，则x的积分限可这样的积分限可这样确定：用平行于确定：用平行于x轴的直线沿轴的直线沿x轴方向穿过轴方向穿过区域，穿进的边界曲线为区域，穿进的边界曲线为下限，穿出的边界曲线为下限，穿出的边界曲线为上限，后对上限，后对y积分其积分限是常量（由交点积分其积分限是常量（由交点向向y轴作垂线的垂足耒确定）轴作垂线的垂足耒确定）16本讲稿第十六页，共六十页(4)(4)更换积分次序的方法：更换积分次序的方法：12由所给的累次积分上下限列出关于由所给的累次积分上下限列出关于x,y的联立不的联立不等式等式;根据联立不等式画出根据联立不等式画出D的草图（先将不等号换成的草图（先将不等号换成等号画出边界曲线，再用等号画出边界曲线，再用“以点示面以点示面”的方法确定的方法确定积分区域）；积分区域）；3根据积分区域根据积分区域D写出新的积分限。写出新的积分限。例如：改变下面二重积分的次序17本讲稿第十七页，共六十页极坐标系下极坐标系下令令分析：由累次积分限画出积分区域草图202于是18本讲稿第十八页，共六十页步骤：步骤：（1）画出积分区域）画出积分区域D的草图，将的草图，将D的边界曲线的边界曲线的直角坐标方程化极坐标方程的直角坐标方程化极坐标方程;（2）将二重积分化为极坐标系下的二重积分）将二重积分化为极坐标系下的二重积分(3)将极坐标系下的二重积分一般化为先对将极坐标系下的二重积分一般化为先对 r后后对对 的二次积分；的二次积分；（4）积分限的确定：）积分限的确定：先对先对r积分，则从极点作射线穿过区域，穿进的边界曲积分，则从极点作射线穿过区域，穿进的边界曲线的极坐标方程是下限，穿出的线的极坐标方程是下限，穿出的是上限；后对积分其积分限是常量是上限；后对积分其积分限是常量,由过极点的射由过极点的射19本讲稿第十九页，共六十页线自极轴开始反时针旋转到区域的边界或顶点（扫过线自极轴开始反时针旋转到区域的边界或顶点（扫过整个区域）。整个区域）。注注1：在极坐标系下计算二重积分主要适用于积分区：在极坐标系下计算二重积分主要适用于积分区域为园域、园环域、扇形域或边界曲线用极坐标表域为园域、园环域、扇形域或边界曲线用极坐标表示又比较简单，被积函数常为示又比较简单，被积函数常为等形式时，通常将二重积分化为极坐标系下的二重积等形式时，通常将二重积分化为极坐标系下的二重积分耒计算。分耒计算。20本讲稿第二十页，共六十页注注2：几种常见曲线的极坐标方程：几种常见曲线的极坐标方程.-110ra2a00.a2axyY=x0rr21本讲稿第二十一页，共六十页解解:先对先对y后对后对x积分积分22本讲稿第二十二页，共六十页先对先对x后对后对y:23本讲稿第二十三页，共六十页例例2 2解：解：24本讲稿第二十四页，共六十页解解：（如图）如图）-12例例25本讲稿第二十五页，共六十页0D-22分析：注意到被积函数只与分析：注意到被积函数只与y有关有关解解1：在直角坐标系下，先：在直角坐标系下，先x对后对对后对y积分积分26本讲稿第二十六页，共六十页解解2.化为矩形域上的二重积分减去半圆上的二重积分化为矩形域上的二重积分减去半圆上的二重积分27本讲稿第二十七页，共六十页01128本讲稿第二十八页，共六十页12029本讲稿第二十九页，共六十页030本讲稿第三十页，共六十页利用对称性利用对称性,积分为积分为031本讲稿第三十一页，共六十页例例9计算计算，解：画图解：画图2o32本讲稿第三十二页，共六十页例例10计算，计算，是由圆周是由圆周，及直线所围第一象限部分及直线所围第一象限部分解：画图解：画图3131o33本讲稿第三十三页，共六十页.被积函数带绝对值符号的二重积分被积函数带绝对值符号的二重积分34本讲稿第三十四页，共六十页35本讲稿第三十五页，共六十页36本讲稿第三十六页，共六十页37本讲稿第三十七页，共六十页38本讲稿第三十八页，共六十页.由累次积分表示的二重积分的计算由累次积分表示的二重积分的计算对此类二重积分的计算，往往要通过更换积分次序，对此类二重积分的计算，往往要通过更换积分次序，或改变坐标系或交换上、下限再积分或改变坐标系或交换上、下限再积分39本讲稿第三十九页，共六十页40本讲稿第四十页，共六十页41本讲稿第四十一页，共六十页42本讲稿第四十二页，共六十页43本讲稿第四十三页，共六十页44本讲稿第四十四页，共六十页45本讲稿第四十五页，共六十页解：解：积分区域如图积分区域如图xyo231原式原式46本讲稿第四十六页，共六十页三、课后练习三、课后练习48本讲稿第四十八页，共六十页49本讲稿第四十九页，共六十页9.求求提示：50本讲稿第五十页，共六十页10.公共部分构成公共部分构成.提示：化为极坐标系下二次积分51本讲稿第五十一页，共六十页提示：改变积分次序，先作区域D的草图.D由曲线围成围成.D012.计算所围所围区域区域.52本讲稿第五十二页，共六十页解解：积分区域D如图13.（答：（答：2/3）014.（10分）计算二重积分53本讲稿第五十三页，共六十页解：积分区域D如图所示：其中D是由圆心在点 ，半径为 且与坐标轴相切的圆周的较短弧和坐标轴所围成的区域.圆的方程为54本讲稿第五十四页，共六十页15.计算其中解：积分区域D如图所示：55本讲稿第五十五页，共六十页其中D：解：积分区域D如图，化为极坐标系的二重积分.16.计算二重积分计算二重积分56本讲稿第五十六页，共六十页57本讲稿第五十七页，共六十页17.设区域D由直线及曲线围成的平面区域，试计算二重积分解：积分区域D如图所示：58本讲稿第五十八页，共六十页18.计算的第一象限部分.提示：化为极坐标系下的二重积分19.计算，其中区域D是由曲线所围成.提示：59本讲稿第五十九页，共六十页对于第一个积分，由于20.提示：如图，将D分为，则60本讲稿第六十页，共六十页